高考數學總復習《數列》第1節、等差數列及其前n項和一、等差數列的有關概念1、等差數列定義：一般地，如果一個數列從第項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，公差通常用字母表示。用遞推公式表示為或。2、等差數列的通項公式：；說明：等差數列（通常可稱為數列）的單調性：為遞增數列，為常數列，為遞減數列。3、等差中項的概念：，，成等差數列。4、等差數列的前和的求和公式：。5、要注意概念中的“從第2項起”．如果一個數列不是從第2項起，而是從第3項或第4項起，每一項與它前一項的差是同一個常數，那么此數列不是等差數列。6、注意區分等差數列定義中同一個常數與常數的區別。二、等差數列的前n項和：等差數列的前和的求和公式：。三、等差數列的相關性質1、等差數列的性質：（1）在等差數列中，從第2項起，每一項是它相鄰二項的等差中項；（2）在等差數列中，相隔等距離的項組成的數列是等差數列，如：，，，，……；，，，，……；（3）在等差數列中，對任意，，，；（4）在等差數列中，若，，，且，則,特殊地，SKIPIF1<0時，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的等差中項。（5）等差數列被均勻分段求和后，得到的數列仍是等差數列，即SKIPIF1<0成等差數列。（6）兩個等差數列與的和差的數列仍為等差數列。（7）若數列是等差數列,則仍為等差數列。2、設數列是等差數列，且公差為，（1）若項數為偶數，設共有項，則：①；②；（2）若項數為奇數，設共有項，則：①(中間項)；②。3、,則,。4、如果兩個等差數列有公共項，那么由它們的公共項順次組成的新數列也是等差數列，且新等差數列的公差是兩個原等差數列公差的最小公倍數。5、若與為等差數列，且前項和分別為與，則。6、等差數列的增減性：時為遞增數列，且當時前n項和有最小值；時為遞減數列，且當時前n項和有最大值。考點1、等差數列的定義、通項公式、基本運算1、等差數列的四種判斷方法（1）定義法：對于數列，若(常數)，則數列是等差數列；（2）等差中項：對于數列，若，則數列是等差數列；（3）通項公式：(為常數,)?是等差數列；（4）前項和公式：(為常數,)?是等差數列；（5）是等差數列?是等差數列。2、活用方程思想和化歸思想：在解有關等差數列的問題時可以考慮化歸為和等基本量，通過建立方程（組）獲得解．即等差數列的通項公式及前項和公式，共涉及五個量，知其中三個就能求另外兩個,即知三求二，多利用方程組的思想，體現了用方程的思想解決問題,注意要弄準它們的值.運用方程的思想解等差數列是常見題型，解決此類問題需要抓住基本量、，掌握好設未知數、列出方程、解方程三個環節，常通過“設而不求，整體代入”來簡化運算。3、特殊設法:三個數成等差數列，一般設為；四個數成等差數列，一般設為.這對已知和,求數列各項,運算很方便。4、若判斷一個數列既不是等差數列又不是等比數列，只需用驗證即可。5、等差數列的前n項和公式：若已知首項和末項，則，或等差數列{an}的首項是，公差是，則其前項和公式為。【例1-1】數列是等差數列，，，則。【例1-2】記為等差數列的前項和．若，，則的公差為。【例1-3】設an是公差不為0的等差數列,滿足a42+a52=a【例1-4】朱世杰是歷史上最偉大的數學家之一，他所著的《四元玉鑒》卷中“如像招數”五問中有如下問題：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日轉多七人，每人日支米三升”。其大意為“官府陸續派遣1864人前往修筑堤壩，第一天派出64人，從第二天開始每天派出的人數比前一天多7人，修筑堤壩的每人每天分發大米3升”，在該問題中第3天共分發了升大米？【例1-5】已知數列是公差為2的等差數列，且，，則。【練1-1】設是等差數列，且a1=3，a2+a5=36，則的通項公式為。【練1-2】下表中的數表為“森德拉姆篩”（森德拉姆，東印度學者），其特點是每行每列都成等差數列。234567…35791113…4710131619…5913172125…61116212631…Com]71319253137……在上表中，2017出現的次數為。:ZXXK]【練1-3】正項數列{}中，a1＝1，an＋1－eq\r(an＋1)＝an＋eq\r(an)。則=。【練1-4】已知數列{an}的各項均為正數，且滿足an＋1＝an＋2eq\r(an)＋1，a1＝2，則=。【練1-5】若數列是正項數列，且，則等于。考點2、等差數列的性質1、等差數列的性質是等差數列的定義、通項公式以及前n項和公式等基礎知識的推廣與變形，熟練掌握和靈活應用這些性質可以有效、方便、快捷地解決許多等差數列問題．2、等差數列的性質多與其下標有關，解題需多注意觀察，發現其聯系，加以應用,故應用等差數列的性質解答問題的關鍵是尋找項的序號之間的關系。3、應用等差數列的性質要注意結合其通項公式、前n項和公式。4、解綜合題的成敗在于審清題目，弄懂來龍去脈，透過給定信息的表象，抓住問題的本質，揭示問題的內在聯系和隱含條件，明確解題方向、形成解題策略。【例2-1】數列滿足，且，，則。【例2-2】我國古代名著《九章算術》中有這樣一段話：“今有金錘，長五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤,中間三尺重幾何．”意思是：“現有一根金錘，長5尺，頭部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且從頭到尾，每一尺的重量構成等差數列，問中間三尺共重斤。”【例2-3】在數列中，，，且（），則的值是。【例2-4】已知數列{an}為等差數列．公差d＝－2，且a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，求a3＋a6＋a9＋…＋a99=。【例2-5】在等差數列中，若，且，則的最小值為。【練2-1】已知是等差數列的前項和，且，給出下列五個命題：其中正確命題的為。①；②；③；④數列中的最大項為；⑤，【練2-2】在等差數列{an}中，a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，則3a9－a13的值為。【練2-3】等差數列{an}中，a1＋a2＋a3＋a4＝30，a5＋a6＋a7＋a8＝80，則a9＋a10＋a11＋a12的值為。【練2-4】我國古代數學著作《九章算術》有如下問題：“今有金箠，長五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤，問次一尺各重幾何？”意思是：“現有一根金杖，長5尺，一頭粗，一頭細，在粗的一端截下1尺，重4斤；在細的一端截下1尺，重2斤；問依次每一尺各重多少斤？”設該金杖由粗到細是均勻變化的，其重量為，現將該金杖截成長度相等的10段，記第段的重量為，且，若，則。【練2-5】已知函數f(x)＝2x，等差數列{an}的公差為2.若f(a2＋a4＋a6＋a8＋a10)＝4，則log2[f(a1)·f(a2)·f(a3)·…·f(a10)]＝.【練2-6】已知f(x)是定義在正整數集N*上的函數，當x為奇數時，f(x＋1)－f(x)＝1；當x為偶數時，f(x＋1)－f(x)＝3，且f(1)＋f(2)＝5。（1）求證：f(1)，f(3)，f(5)，…，f(2n－1)(n∈N*)成等差數列；（2）求f(n)的解析表達式。考點3、等差數列的前n項和公式的綜合應用1、求等差數列前項和的最值，常用的方法：（1）利用等差數列的單調性或性質，求出其正負轉折項，便可求得和的最值．當，時，有最大值；，時，有最小值；若已知，則最值時的值（）則當，，滿足的項數使得取最大值，(2)當，時，滿足的項數使得取最小值。（2）利用等差數列的前n項和：(為常數,)為二次函數，通過配方或借助圖像，二次函數的性質，轉化為二次函數的最值的方法求解；有時利用數列的單調性（,遞增；，遞減）；3、利用數列中最大項和最小項的求法：求最大項的方法：設為最大項，則有；求最小項的方法：設為最小項，則有.只需將等差數列的前n項和依次看成數列，利用數列中最大項和最小項的求法即可。4、在解含絕對值的數列最值問題時,注意轉化思想的應用。【例3-1】設數列{an}的前n項和為Sn＝n2－4n＋1，求其通項公式。【例3-2】在等差數列{an}中，已知a15＋a12＋a9＋a6＝20，則S20＝。【例3-3】在等差數列{an}中，a1＝－2010，其前n項的和為Sn。若eq\f(S2009,2009)－eq\f(S2007,2007)＝2，則S2010＝。【例3-4】設等差數列{an}、{bn}的前n項和分別為Sn、Tn，若有eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(2n－3,4n－3)，則eq\f(a9,b5＋b7)＋eq\f(a3,b8＋b4)的值為。【例3-5】已知函數f(x)＝eq\f(x2,1＋x2)，那么f(1)＋f(2)＋…＋f(2006)＋f(eq\f(1,2))＋f(eq\f(1,3))＋…＋f(eq\f(1,2006))＝。【例3-6】設等差數列{an}的前n項和Sn，a4=4,S5=15，若數列1【例3-7】在等差數列中，已知a1＝20，前n項和為，且S10＝S15，求當n取何值時，有最大值，并求出它的最大值。【例3-8】已知等差數列中，是數列的前項和，且（1）求數列的通項公式；（2）設數列的前項和為，求。【練3-1】已知正項數列的首項，前n項和為，若以為坐標的點在曲線上，則數列的通項公式為。【練3-2】已知等差數列{an}的公差為d，前n項和為Sn，則“d>0”是“S4+S6>2S5”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【練3-3】設Sn是等差數列{an}的前n項和，已知S6＝36，Sn＝324，若Sn－6＝144(n>6)，則項數n=。【練3-4】已知兩個等差數列｛an｝、｛bn｝的前n項和分別為Sn、Tn，且＝(n∈N+),則=。【練3-5】設函數f(x)對任意x∈R都有f(x)＋f(1－x)＝eq\f(1,2)。（1）求f(eq\f(1,n))＋f(eq\f(n－1,n))的值；（2）求f(0)＋f(eq\f(1,n))＋f(eq\f(2,n))＋…＋f(eq\f(n－2,n))＋f(eq\f(n－1,n))＋f(1)的值。【練3-6】已知數列是一個等差數列，且，。（1）求的通項；（2）求前n項和的最大值。【練3-7】已知遞增的等比數列和等差數列，滿足，是和的等差中項，且。（1）求數列和的通項公式；（2）若，求數列的前項和。【學生練習題1】1、已知等差數列的前項和為，且，則。2、已知數列為等差數列，為的前項和，，若，，則，。3、等差數列滿足，函數，，則數列的前項和