有限體積法1有限體積法基本原理上一章講到的有限差分法將數值網格的節點上定義為計算節點，并在網格節點上對微分形式的流體基本方程進行離散，用網格節點上的物理量的代數方程作為原PDE的近似。在本章所要學習的有限體積法則采用了不同的離散形式。首先，有限體積法離散的是積分形式的流體力學基本方程：jp伽-nds=j「n-V^ds+jq^dQ*計算域用數值網格劃分成若干小控制體。和有限差分法不同的是，有限體積法的網格定義了控制體的邊界，而不是計算節點。有限體積法的計算節點定義在小控制體內部。一般有限體積法的計算節點有兩種定義方法，一種是將網格節點定義在控制體的中心，另一種方法中，相鄰兩個控制體的計算節點到公共邊界的距離相等。第一種方法的優點在于用計算節點的值作為控制體上物理量的平均值具有二階的精度;第二種方法的好處是在控制體邊界上的中心差分格式具有較高的精度。2面積分的近似采用結構化網格，在二維情況下，每一個控制體有4個面，二維情況，每一個控制體有6個表面。計算節點用大寫字母表示，控制體邊界和節點用小寫字母表示。為了保證守恒性，控制體不能重疊，每一個面都是相鄰兩個控制體的唯一公共邊界。控制體邊界上的積分等于控制體個表面的積分的和：(2)jfdS=Ejfds伽上式中，f可以表示pnu或r—-ndn(2)0-NN00ONWnwN°nneNE口邙wWWwp0e一seeqEE。0sWS。SE°0&SS°0■0顯然，為了獲得邊界上的積分，必須知道f在邊界上的詳細分布情況，這是不可能實現的，由于只是計算節點上的函數值，因此必須采用近似的方法來計算積分。整個近似過程分成兩步第一步：用邊界上幾個點的近似積分公式第二步：邊界點上的函數值用計算節點函數值的插值函數近似面積分可采用以下不同精度的積分公式：二階精度積分：F=jfds=fS注fSeeeeeSe上式中fe為邊界中點出的函數值。近似為方格中心點的值乘以方格的面積。三階精度積分：F=jfdsrf+fSeS2ee四階精度積分：F=jfdsr九+4f+九SeS6ee應該注意的是，采用不同精度的積分公式，在相應的邊界點的插值時也應采用相應精度的插值函數。積分公式的精度越高，近似公式就越復雜。3體積分的近似和面積分相似，體積分也有不同精度的近似公式二階精度積分公式(6)Q=jqds=qS牝qAQSe采用雙二次樣條函數q(x,y)=a+ax+ay+ax2+ay2+axy+ax2y+axy2+ax2y2012345678可以得到四階精度的積分公式：(6)Q=jqdsR竺^(16q+4q+4q+4q+4q+4q+4q+4q+4q)(8)S36Pswnsseswnen^w、e4函數的插值在上節講到的積分的近似公式中用到了非計算節點上的函數值，被積函數f中包含了多個物理量及其偏微分，如對流項fc=pnV-n，擴散項fd=「n?V4，在源項中也有類似情況，這里假定流場和流體的物性參數是已知的，物理量4及其偏導數在控制面上的值需要通過計算節點上物理量的插值得到。下面已e面為例進行討論。4.1迎風插值(UDS)七用上游計算節點的函數值近似相當于對一階偏導數采用迎風格式，因此用UDS來表示這種近似方法，在UDS中：「8if(v?n)>0f：if(v?n)：<0⑼UDS是唯一無條件滿足有界性要求的近似格式，在數值過程中不會產生數值振蕩。UDS存在數值粘性。根據Taylor公式，該格式具有一階精度，并具有數值粘性：Vnum=(pU)AX/2(10)在多維問題中，如果流動方向和網格是斜交的，截斷誤差會在垂直于流動方向以及流線方向產生擴散，這是一種非常嚴重的誤差，函數的峰值或函數值的快速變化會被抹平，為了得到高精度結果需要采用非常精細的網格。4.2線性插值(CDS)(11)(12)線性插值具有二階精度，線性插值相當于FDM中的CDS格式，因此用CDS表示。CDS格式會產生數值振蕩。對于擴散項(13)

4.3三階迎風格式（QUICK）和UDS類似，QUICK格式也和流動方向有關g8—g8+(1-g+g)8if(v?n)>01E2W12P/eg8—g8+(1—g+g)8if(v-n)<0*34Ee3P4EE其中:G—xlu1+Xe,pL(+xX—xe,W<1+Xe,E-"e,PP——g，g45",P(14)(15a)(15b)4.4高階格式（4階精度CDS）采用三次曲線可擬合出四階精度的中心插值公式，在均勻網格中，四階公式為:278〃+27虬-3虹-38.―P"48~~WEE(16)%8)=278-278p+8W-8偵xJ24Axe(17)5邊界的處理對于對流項，在入口處一般給出了流量或函數值，在邊界和對稱面上流量為零，在出口處假設和出口的法向坐標無關，因此可采用迎風格式。對于擴散項則可能需要采用偏心格式。6有限體積法應用舉例例：考慮一標量在已知流場中的輸運過程（如圖4.4所示），輸運方程為:jp8v-ndS=jrv8-ndSSS(18)邊界條件:8=0；北部入口邊界8=1—y；西部壁面邊界對稱條件；南部邊界梯度為0；東部出口條件u=-y，流線方程xy=c對流項:Fc=jp^v-ndS澆成8=jpv-ndS=(pu)Ay為質量通量。Se(19)forUDSforCDS(20)Ac-=min(m,0)；Ac=min(m,0)EeforUDSforCDS(20)Ac-=min(m,0)；Ac=min(m,0)EeWwAc-=min(m,0)；Ac=min(m,0)NnSsAc-p=—(Ac+Ac+AcN+Ac)S若采用UDS格式，代數方程組中各項系數為:若采用CDS格式，代數方程組中各項系數為(21)e[mt(1—人)8+mx8AcE=z&X；AcW=mxAcN=戒x；AcS=戒xssAcP=—(AcE+AcW+ANc+ASc)(22)根據連續性方程:(22)(23)相鄰CV之間的關系:(24)生,p"畔,"七,P=1-Xe,W其余相鄰CV有類似關系(24)擴散項采用CDS格式Fc=jrV^-ndS?eSe'「糾AyIox)~rAy?xE(25)代數方程組中擴散項系數為:AdE「Ayx—x；AdWAdN「Ax；AdWrAx(26)AdP=—(Ad+Ad—WE對于任意控制體+AdN+Ad)S=Q(27)A=Ac+Ad邊界條件的處理：對于西部和北部邊界，由于給定了函數值，對流項可直接代入函數值而無需插值，擴散項則采用一側差分，l為任意指標P，E，W，S，N。(28)?項—PW-xP-xWIEW這里，W點和P的w邊中點重合。(29)南邊和西邊的梯度為零，以南邊為例，由于梯度為零，，代數方程變為:A。+(A+A)。+A。+A。=QWWSPPNNEEP(30)6SIMPLE方法考慮定常不可壓流動問題，控制方程為：連續性方程：jpv-ndS=0SV動量方程：jpvv-ndS=jpn-VvdS—jpndS+jpbdQSVSVSVCV(31)(32)不可壓縮問題求解的困難在于壓力場的求解。主要原因在于壓力p沒有獨立的方程組。先考慮一維問題：對于動量方程：(puu)-(puu)(8")I8x)w(33)若采用CDS格式(P"")+(pu")(P"")+(P"")^2^u-uu-up(P"")+(pu")(P"")+(P"")^2^AxAx22簡化后得:(puu)(puu)—(puu)^2Wu+u—2u

f*AXP—pe+pw-E2W(34)根據連續性方程，u=u=u=c，則有p=p，由于相鄰節點之間的壓力沒有聯i+1ii—1i—1i+1系方程，容易造成壓力交錯現象。為了解決這一問題，可采用交錯網格技術，即速度場和壓力場采用不同的網格。以二維問題為例，交錯網格的布置如下圖所示：1~r~_1_■1.._.1_.1IN11fv?1iTn1%i1IW1i1lviTs11i1_1_.i..—.1—.1IS11i1主控制體為壓力控制體（黑色實線網格），u的控制體（紅色虛線網格）的計算節點在主控制體的e邊，控制體的e，w邊界通過主控制體的計算節點，v控制體（藍色雙點劃線網格）的計算節點在主控制體的n邊，該控制體的n，s面經過主控制體的計算節點。在u的控制體中，采用有限體積法離散可得u的代數方程:￡aunb￡aunbnbL*+Q+(pp-pe)Ae+Q+(pp—pN)A(35)壓力場的求解采用壓力校正方法。即采用預估的壓力場求速度，再用連續性方程校正壓力場。當連續性方程得到滿足時，壓力場就是真實的壓力場。具體步驟如下1.2.預測壓力場p將預測壓力場代入動量方程，分別求解速度場磯vaueeavnn=￡=￡au+Q+(p—p)AanbVnb+Q+(Pp-pN)A(36)3.用連續性方程校正壓力設方程的精確解為u,v,pu=u+u'；v=v+vf；p—p+p'(37)其中u',v',p'為校正量。則校正量滿足方程:au'avf=￡a/+Q+(pf—p‘)AEnbnbPEeavf+Q+(p'—pf)A可得：nbnbaM-「略去相鄰節點速度校正量的影響，(38)生(p，aPe-p')=d(p，-p?(39a)生(p，

aPn代入連續性方程:-p，)=d-p'N)(39b)(u+uf)A—(u+u')A+(v+v')A—(v+v')A=0(40)整理得：de,pKPUp=—(uAP—dA+(d，P，=—u了ELdeWAeW—Ww,P