2023高考數學模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數,關于的方程R)有四個相異的實數根,則的取值范圍是(

)A． B． C． D．2．已知向量與的夾角為，定義為與的“向量積”，且是一個向量，它的長度，若，，則（）A． B．C．6 D．3．在平面直角坐標系中，已知是圓上兩個動點，且滿足，設到直線的距離之和的最大值為，若數列的前項和恒成立，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．4．《九章算術》勾股章有一“引葭赴岸”問題“今有餅池徑丈，葭生其中，出水兩尺，引葭赴岸，適與岸齊，問水深，葭各幾何？”，其意思是：有一個直徑為一丈的圓柱形水池，池中心生有一顆類似蘆葦的植物，露出水面兩尺，若把它引向岸邊，正好與岸邊齊，問水有多深，該植物有多高？其中一丈等于十尺，如圖若從該葭上隨機取一點，則該點取自水下的概率為（）A． B． C． D．5．公比為2的等比數列中存在兩項，，滿足，則的最小值為（）A． B． C． D．6．“哥德巴赫猜想”是近代三大數學難題之一，其內容是：一個大于2的偶數都可以寫成兩個質數(素數)之和，也就是我們所謂的“1+1”問題.它是1742年由數學家哥德巴赫提出的，我國數學家潘承洞、王元、陳景潤等在哥德巴赫猜想的證明中做出相當好的成績.若將6拆成兩個正整數的和，則拆成的和式中，加數全部為質數的概率為（）A． B． C． D．7．水平放置的，用斜二測畫法作出的直觀圖是如圖所示的，其中，則繞AB所在直線旋轉一周后形成的幾何體的表面積為（）A． B． C． D．8．集合，，則()A． B． C． D．9．給出下列三個命題：①“”的否定；②在中，“”是“”的充要條件；③將函數的圖象向左平移個單位長度，得到函數的圖象．其中假命題的個數是（）A．0 B．1 C．2 D．310．已知平面向量，滿足，，且，則（）A．3 B． C． D．511．已知集合,則（）A． B． C． D．12．年某省將實行“”的新高考模式，即語文、數學、英語三科必選，物理、歷史二選一，化學、生物、政治、地理四選二，若甲同學選科沒有偏好，且不受其他因素影響，則甲同學同時選擇歷史和化學的概率為A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知實數，滿足約束條件，則的最大值是__________.14．若函數(R，)滿足，且的最小值等于，則ω的值為___________.15．已知一組數據1.6，1.8，2，2.2，2.4，則該組數據的方差是_______．16．已知點是拋物線的焦點，，是該拋物線上的兩點，若，則線段中點的縱坐標為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數，且．（1）若，求的最小值，并求此時的值；（2）若，求證:．18．（12分）已知函數，，（1）討論的單調性；（2）若在定義域內有且僅有一個零點，且此時恒成立，求實數m的取值范圍.19．（12分）如圖，焦點在軸上的橢圓與焦點在軸上的橢圓都過點，中心都在坐標原點，且橢圓與的離心率均為．（Ⅰ）求橢圓與橢圓的標準方程；（Ⅱ）過點M的互相垂直的兩直線分別與，交于點A，B（點A、B不同于點M），當的面積取最大值時，求兩直線MA，MB斜率的比值.20．（12分）若不等式在時恒成立，則的取值范圍是__________.21．（12分）已知函數的最小正周期是，且當時，取得最大值．（1）求的解析式；（2）作出在上的圖象（要列表）．22．（10分）已知函數，曲線在點處的切線方程為.（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）若，求證：對于任意，.

2023學年模擬測試卷參考答案（含詳細解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．A【答案解析】=,當時時,單調遞減，時,單調遞增,且當,當,

當時，恒成立，時,單調遞增且,方程R)有四個相異的實數根.令=則,,即.2．D【答案解析】

先根據向量坐標運算求出和，進而求出，代入題中給的定義即可求解.【題目詳解】由題意，則，，得，由定義知，故選:D.【答案點睛】此題考查向量的坐標運算，引入新定義，屬于簡單題目.3．B【答案解析】

由于到直線的距離和等于中點到此直線距離的二倍，所以只需求中點到此直線距離的最大值即可。再得到中點的軌跡是圓，再通過此圓的圓心到直線距離，半徑和中點到此直線距離的最大值的關系可以求出。再通過裂項的方法求的前項和，即可通過不等式來求解的取值范圍.【題目詳解】由，得，.設線段的中點，則，在圓上，到直線的距離之和等于點到該直線的距離的兩倍，點到直線距離的最大值為圓心到直線的距離與圓的半徑之和，而圓的圓心到直線的距離為，，，..故選：【答案點睛】本題考查了向量數量積，點到直線的距離，數列求和等知識，是一道不錯的綜合題.4．C【答案解析】

由題意知：，，設，則，在中，列勾股方程可解得，然后由得出答案.【題目詳解】解：由題意知：，，設，則在中，列勾股方程得：，解得所以從該葭上隨機取一點，則該點取自水下的概率為故選C.【答案點睛】本題考查了幾何概型中的長度型，屬于基礎題.5．D【答案解析】

根據已知條件和等比數列的通項公式，求出關系，即可求解.【題目詳解】，當時，，當時，，當時，，當時，，當時，，當時，，最小值為.故選:D.【答案點睛】本題考查等比數列通項公式，注意為正整數，如用基本不等式要注意能否取到等號，屬于基礎題.6．A【答案解析】

列出所有可以表示成和為6的正整數式子，找到加數全部為質數的只有，利用古典概型求解即可.【題目詳解】6拆成兩個正整數的和含有的基本事件有:(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),而加數全為質數的有(3,3),根據古典概型知，所求概率為.故選：A.【答案點睛】本題主要考查了古典概型，基本事件，屬于容易題.7．B【答案解析】

根據斜二測畫法的基本原理，將平面直觀圖還原為原幾何圖形，可得，,繞AB所在直線旋轉一周后形成的幾何體是兩個相同圓錐的組合體,圓錐的側面展開圖是扇形根據扇形面積公式即可求得組合體的表面積.【題目詳解】根據“斜二測畫法”可得，，，繞AB所在直線旋轉一周后形成的幾何體是兩個相同圓錐的組合體，它的表面積為.故選:【答案點睛】本題考查斜二測畫法的應用及組合體的表面積求法,難度較易.8．A【答案解析】

解一元二次不等式化簡集合A，再根據對數的真數大于零化簡集合B，求交集運算即可.【題目詳解】由可得，所以，由可得,所以,所以，故選A．【答案點睛】本題主要考查了集合的交集運算，涉及一元二次不等式解法及對數的概念，屬于中檔題.9．C【答案解析】

結合不等式、三角函數的性質,對三個命題逐個分析并判斷其真假,即可選出答案.【題目詳解】對于命題①,因為,所以“”是真命題,故其否定是假命題,即①是假命題;對于命題②,充分性:中,若,則,由余弦函數的單調性可知,,即,即可得到,即充分性成立;必要性:中,,若,結合余弦函數的單調性可知,,即,可得到,即必要性成立.故命題②正確;對于命題③,將函數的圖象向左平移個單位長度,可得到的圖象,即命題③是假命題．故假命題有①③.故選:C【答案點睛】本題考查了命題真假的判斷,考查了余弦函數單調性的應用,考查了三角函數圖象的平移變換,考查了學生的邏輯推理能力,屬于基礎題.10．B【答案解析】

先求出，再利用求出，再求.【題目詳解】解：由，所以，，，故選：B【答案點睛】考查向量的數量積及向量模的運算，是基礎題.11．B【答案解析】

計算，再計算交集得到答案【題目詳解】,表示偶數，故.故選：.【答案點睛】本題考查了集合的交集，意在考查學生的計算能力.12．B【答案解析】

甲同學所有的選擇方案共有種，甲同學同時選擇歷史和化學后，只需在生物、政治、地理三科中再選擇一科即可，共有種選擇方案，根據古典概型的概率計算公式，可得甲同學同時選擇歷史和化學的概率，故選B．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【答案解析】

令，所求問題的最大值為,只需求出即可，作出可行域，利用幾何意義即可解決.【題目詳解】作出可行域，如圖令，則，顯然當直線經過時，最大，且，故的最大值為.故答案為：.【答案點睛】本題考查線性規劃中非線性目標函數的最值問題，要做好此類題，前提是正確畫出可行域，本題是一道基礎題.14．1【答案解析】

利用輔助角公式化簡可得,由題可分析的最小值等于表示相鄰的一個對稱中心與一個對稱軸的距離為,進而求解即可.【題目詳解】由題,,因為,,且的最小值等于,即相鄰的一個對稱中心與一個對稱軸的距離為,所以,即,所以,故答案為:1【答案點睛】本題考查正弦型函數的對稱性的應用,考查三角函數的化簡.15．0.08【答案解析】

先求解這組數據的平均數，然后利用方差的公式可得結果.【題目詳解】首先求得，．故答案為：0.08.【答案點睛】本題主要考查數據的方差，明確方差的計算公式是求解的關鍵，側重考查數據分析的核心素養.16．2【答案解析】

運用拋物線的定義將拋物線上的點到焦點距離等于到準線距離，然后求解結果.【題目詳解】拋物線的標準方程為：，則拋物線的準線方程為，設，，則，所以，則線段中點的縱坐標為.故答案為：【答案點睛】本題考查了拋物線的定義，由拋物線定義將點到焦點距離轉化為點到準線距離，需要熟練掌握定義，并能靈活運用，本題較為基礎.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）最小值為，此時；（2）見解析【答案解析】

（1）由已知得，法一:，，根據二次函數的最值可求得；法二:運用基本不等式構造，可得最值；法三：運用柯西不等式得：，可得最值；（2）由絕對值不等式得，，又，可得證.【題目詳解】（1），法一:，，的最小值為，此時；法二:，，即的最小值為，此時；法三：由柯西不等式得：，,即的最小值為，此時；（2），，又，.【答案點睛】本題考查運用基本不等式，柯西不等式，絕對值不等式進行不等式的證明和求解函數的最值，屬于中檔題.18．（1）時，在上單調遞增，時，在上遞減，在上遞增．（2）．【答案解析】

（1）求出導函數，分類討論，由確定增區間，由確定減區間；（2）由，利用（1）首先得或，求出的最小值即可得結論．【題目詳解】（1）函數定義域是，，當時，，單調遞增；時，令得，時，，遞減，時，，遞增，綜上所述，時，在上單調遞增，時，在上遞減，在上遞增．（2）易知，由函數單調性，若有唯一零點，則或．當時，，，從而只需時，恒成立，即，令，，在上遞減，在上遞增，∴，從而．時，，，令，由，知在遞減，在上遞增，，∴．綜上所述，的取值范圍是．【答案點睛】本題考查用導數研究函數的單調性，考查函數零點個數與不等式恒成立問題，解題關鍵在于轉化，不等式恒成立問題通常轉化為求函數的最值．這又可通過導數求解．19．（1），（2）【答案解析】分析：(1)根據題的條件，得到對應的橢圓的上頂點，即可以求得橢圓中相應的參數，結合橢圓的離心率的大小，求得相應的參數，從而求得橢圓的方程；(2)設出一條直線的方程，與橢圓的方程聯立，消元，利用求根公式求得對應點的坐標，進一步求得向量的坐標，將S表示為關于k的函數關系，從眼角函數的角度去求最值，從而求得結果.詳解：（Ⅰ）依題意得對：，，得：；同理：.（Ⅱ）設直線的斜率分別為，則MA：，與橢圓方程聯立得：，得，得,，所以同理可得.所以,從而可以求得因為，所以，不妨設，所以當最大時，，此時兩直線MA，MB斜率的比值.點睛：該題考查的是有關橢圓與直線的綜合題，在解題的過程中，注意橢圓的對稱性，以及其特殊性，與y軸的交點即為橢圓的上頂點，結合橢圓焦點所在軸，得到相應的參數的值，再者就是應用離心率的大小找參數之間的關系，在研究直線與橢圓相交的問題時，首先設出直線的方程，與橢圓的方程聯立，求得結果，注意從函數的角度研究問題.20．【答案解析】

原不等式等價于在恒成立，令，，求出在上的最小值后可得的取值范圍.【題目詳解】因為在時恒成立，故在恒成立.令，由可得.令，，則為上的增函數，故.故.故答案為：.【答案點睛】本題考查含參數的不等式的恒成立，對于此類問題，優先考慮參變分離，把恒成立問題轉化為不含參數的新函數的最值問題，本題屬于基礎題.21．（1）；（2）見解析.【答案解析】

（1）根據函數的最小正周期可求出的值，由該函數的最大值可得出的值，再由，結合的取值范圍可求得的值，由此可得出函數的解析式；（2）由計算出的取值范圍，據此列表、描點、連線可得出函數在區間上的圖象.【題目詳解】（1）因為函數的最小正周期是，所以．又因為當時，函數取得最大值，所以，同時，得，因為，所以，所以；（2）因為，所以，列表如下：描點、連線得圖象：【答案點睛】本題考查正弦函數解析式的求解，同時也考查了利用五點作圖法作圖，考查分析問題與解決問題的能力，屬于中等題.22．（Ⅰ），（Ⅱ）見解析【答案解析】

（1）根據導數