第三節向量組的秩與

向量空間一、向量組的秩二、向量空間三、向量空間的維數,基與坐標這一節我們利用向量的線性相關性的概念,來定義“向量組的秩”,并討論一個向量組中線性無關的向量最多有多少個。向量組的秩也是一個重要的概念,我們先看一個例子。a1a2a3k2a1a4k1a1在R3中,給定4個共面的向量a1,a2,a3,a4(如圖3.1所示),它們顯然是線性相關的。

圖3.1

一、向量組的秩定義3.9設有向量組A:a1,a2,…,as,若在向量組A中能選出r個向量a1,a2,…,ar,滿足(1)向量組A0:a1,a2,…,ar線性無關；(2)向量組A中任意r+1個向量(如果A中有r+1個向量的話)都線性相關。則稱向量組A0是向量組A的一個極大線性無關組(簡稱極大無關組)；極大無關組所含向量的個數r稱為向量組A的秩,記作r(A)。注：向量組的極大無關組可能不止一個。例如,二維向量組a1=(0,1)T,a2=(1,0)T,a3=(1,1)T,a4=(0,2)T因為任意三個二維向量的向量組必定線性相關,又a1,a2線性無關,故a1,a2是該向量組的一個極大無關組。易知a2,a3也是該向量組的極大無關組,r(a1,a2,a3,a4)=2。定義3.9的兩個條件分別表示出“線性無關”和“極大”兩個特點。由于一個非零向量本身線性無關,故包含非零向量的向量組一定存在極大無關組；而僅含零向量的向量組不存在極大無關組,規定它的秩為0。特別的,如果一個向量組線性無關,則其極大無關組就是該向量組本身。對于只含有限個向量的向量組A:a1,a2,…,an它可以構成矩陣A=(a1,a2,…,an)。把定義3.9與上一章矩陣的最高階非零子式及矩陣的秩的定義作比較,不難想到向量組A的秩就等于矩陣A的秩,即有推論3.3矩陣A的行向量組的秩與列向量組的秩相等。由定理3.7的證明知,若Ds是矩陣A的一個最高階非零子式,則Ds所在的s列就是A的列向量組的一個極大無關組；Ds所在的s行就是A的行向量組的一個極大無關組。例3.7全體n維向量構成的向量組記作Rn,求Rn的一個極大無關組及Rn的秩。解在例3.3中,我們已證明了n維單位坐標向量構成的向量組E:ε1,ε2,…,εn是線性無關的,又根據定理3.6的結論(2)知,Rn中任意個n+1向量都線性相關,因此向量組E是Rn的一個極大無關組,且Rn的秩等于n。顯然,Rn的極大無關組很多,任意n個線性無關的n維向量都是Rn的極大無關組。定義3.9′(極大無關組的等價定義)設有向量組A0:a1,a2,…,ar是向量組A的一個部分組,且滿足(1)向量組A0線性無關；(2)向量組A的任意向量都能由向量組A0線性表示,那么向量組A0是向量組A的一個極大無關組。例3.8求向量組1=(2,1,3,-1)T,2=(3,-1,2,0)T,3=(1,3,4,-2)T,4=(4,-3,1,1)T,的秩和一個極大無關組,并把不屬于極大無關組的向量用極大無關組線性表示。解以1,2,3,4為列構造矩陣A,并實施初等行變換化為行階梯形矩陣：知r(A)=2,故向量組的極大無關組含2個向量。而兩個非零行的非零首元分別在第1,2列,故1,2為向量組的一個極大無關組。這是因為知r(1,2)=2,故1,2線性無關。為把3,4用1,2線性表示,把A再變成行最簡形矩陣記矩陣B=(1,

2,

3,

4),由于方程Ax=0與Bx=0同解,即方程x11+x22+x33+x44=0與x11+x22+x33+x44=0同解,因此向量1,2,3,4與向量1,

2,

3,

4之間有相同的線性關系。而因此3=21-2,4=-1+22

。例3.9設Am×n

及Bn×s

為兩矩陣,證明A與B乘積的秩不大于A的秩和B的秩,即r(AB)≤min(r(A),r(B))。證明設A=(aij)m×n=(a1,a2,…,an),B=(bij)n×s,則AB=C=(cij)m×s=(1,2,…,s)，即

因此有

j

=b1ja1+

b2ja2+…+bnjan(j=1,2,…,s)即AB的列向量組1,2,…,s可由A的列向量組a1,a2,…,an線性表示,故1,2,…,s的極大無關組可由a1,a2,…,an的極大無關組線性表示,由向量組間線性關系的判定定理,有r(AB)≤r(A)。類似的,設也有r(AB)≤r(B)。因此r(AB)≤min(r(A),r(B))。例3.10設向量組B能由向量組A線性表示,且它們的秩相等,證明向量組A與向量組B等價。證明設向量組A與B合并成向量組C,根據定理3.2,因向量組B能由向量組A線性表示,故r(A)=r(C),又已知r(A)=r(B),從而有r(A)=r(B)=r(C)。根據推論3.1,即可得向量組A與向量組B等價。證畢二、向量空間定義3.10設V為n維向量的集合,若集合V非空,且集合V對于n維向量的加法及數乘兩種運算封閉,即(1)若V,V,則+V；(2)若V,R,則V。則稱集合V為R上的向量空間。例3.11集合V1={x=(0,x2,…,xn)Tx2,…,xnR}是一個向量空間。這是因為若=(0,a2,…,an)TV1,=(0,b2,…,bn)TV1,R,則+=(0,a2+b2,…,an+bn)TV1,=(0,a2,…,an)TV1例3.12集合V2={x=(1,x2,…,xn)Tx2,…,xnR}不是向量空間。因為若=(1,a2,…,an)TV2,則2=(2,2a2,…,2an)TV2。例3.13判斷齊次線性方程組Ax=0全體解的集合S={A=0}是否為向量空間？解顯然S非空(因0S)。任取,S,k為任意常數,則A(+)=A+A=0,即+SA(k)=kA=k0=0,即kS故S是一向量空間。稱S為齊次線性方程組Ax=0的解空間。例3.14非齊次線性方程組Ax=b的解集S={A=b}不是向量空間。這是因為當S為空集時,S不是向量空間；當S非空時,若S,則A(2)=2b≠b故2S。例3.16設向量組a1,a2,…,am與向量組b1,b2,…,bs等價,記L1={x=11+22+…+mm1,2,…,mR},L2={x=1b1+2b2+…+sbs1,2,…,sR},試證：L1=L2。證明設xL1,則x可由a1,a2,…,am線性表示。因a1,a2,…,am可由b1,b2,…,bs線性表示,故x可由b1,b2,…,bs線性表示,從而xL2。這就是說,若xL1,則xL2,因此L1L2。類似的可證：若xL2,則xL1,因此L2L1。因為L1L2,L2L1,所以L1=L2。證畢三、向量空間的維數,基與坐標定義3.11設V為向量空間,若有r個向量a1,a2,…,arV,且滿足(1)a1,a2,…,ar線性無關；(2)V中任一向量都可由a1,a2,…,ar線性表示,則稱向量組a1,a2,…,ar為向量空間V的一個基,r稱為向量空間V的維數,記作dimV=r,并稱V為r維向量空間。注：(1)只含零向量的向量空間稱為0維向量空間,它沒有基；(2)若把向量空間V看做向量組,則V的基就是向量組的極大無關組,V的維數就是向量組的秩；(3)若向量組a1,a2,…,ar為向量空間V的一個基,則V可表示為V={x=11+22+…+rr1,2,…,rR}此時,V又稱為由基a1,a2,…,ar所生成的向量空間。例如,由例3.11知,向量空間V1={x=(0,x2,…,xn)Tx2,…,xnR}的一個基可取為：e2=(0,1,0,…,0)T,…,en=(0,…0,1)T,并由此可知它是n-1維向量空間。例3.17證明n維單位坐標向量組1=(1,0,…,0)T,2=(0,1,…,0)T,…,n=(0,0,…,1)T,是n維向量空間Rn的一個基。證明(1)例3.3已證明n維單位坐標向量組1,2,…,n線性無關；(2)對于n維向量空間Rn中的任一向量a=(a1,a2,…,an)T,有a=a11+a22+…+ann即Rn中任一向量都可由單位坐標向量組線性表示。因此,向量組1,2,…,n是n維向量空間Rn的一個基。定義3.12如果在向量空間V中取定一個基a1,a2,…,ar,那么V中任一向量x可唯一地表示為x=11+22+…+rr,數組1,2,…,r稱為向量x在基a1,a2,…,ar中的坐標。特別地,在n維向量空間Rn中取單位坐標向量組1,2,…,n為基,則以x1,x2,…,xn為分量的向量x,可表示為x=x11+x22+…+xnn,可見向量在基1,2,…,n中的坐標就是該向量的分量。我們稱單位坐標向量組1,2,…,n為Rn中的自然基。例3.18設驗證a1,a2,a3是R3的一個基,并求b1,b2在這個基中的坐標。解要證a1,a2,a3是R3的一個基,只要證a1,a2,a3線性無關,即只要證A～E。設b1=x111+x212+x313,b2=x121+x222+x323,即

對矩陣(A,B)施行初等行變換,若A能變成E,則a1,a2,a3為R3的一個基,且當A變成時,B變成X=A-1B。記作B=AX

因有A～E,故a1,a2,a3是R3的一個基。且即1,

2在基a1,a2,a3中的坐標分別為(2,3,-1),(3,-3,-2)。例3.19設Rn的兩組基為自然基B1和B2={b1,b2,…,bn},其中b1=(1,-1,0,…,0)T,b2=(0,1,-1,0,…,0)T,…,bn-1=(0,…,0,1,-1)T,bn=(0,…,0,1)T求向量a=(a1,a2,…,an)T分別在兩組基下的坐標。

解a關于自然基B1={1,2,…,n},顯然有a=a11+a22+…+ann所以a在自然基B1下的坐標為(a1,a2,…,an)T。設a關于B2有a=x1b1+x2b2+…+xnbn=(b1,b2,…,bn)將a,b1,b2,…,bn代入上式,得由例3.19可見,Rn中同一個向量關于不同基的坐標一般是不同的。因此需要一般地討論基變換與坐標變換的問題。設B1=(a1,a2,…,an)和B2=(b1,b2,…,bn)是Rn的兩組基(分別稱為舊基和新基),他們之間有如下關系將其表示為矩陣形式(b1,b2,…,bn)=(a1,a2,…,an)記上式右端的矩陣為A,為敘述簡便,上式可寫作(b1,b2,…,bn)=(a1,a2,…,an)A我們把矩陣A稱為舊基B1到新基B2的過渡矩陣。

定理3.9向量a在兩組基B1=(a1,