PAGE第十六章二次根式1.理解二次根式的概念.2.理解(a≥0)是一個非負數(shù),()2=a(a≥0),=a(a≥0).3.掌握·=(a≥0,b≥0),=·(a≥0,b≥0),=(a≥0,b>0),=(a≥0,b>0).4.了解最簡二次根式的概念,并能靈活運用其對二次根式進行加減.1.通過先提出問題,讓學生探討、分析問題,師生共同歸納得出概念,再對概念的內(nèi)涵進行分析,得出幾個重要結(jié)論,并運用這些重要結(jié)論進行二次根式的計算和化簡.2.讓學生用具體數(shù)據(jù)探究規(guī)律,采用不完全歸納法得出二次根式的乘(除)法法則,并運用法則進行計算.3.讓學生利用逆向思維,得出二次根式的乘(除)法法則的逆向等式,并運用它們進行化簡.4.通過分析前面的計算和化簡結(jié)果,抓住它們的共同特點,給出最簡二次根式的概念.利用最簡二次根式的概念,讓學生對被開方數(shù)相同的二次根式進行合并,達到對二次根式進行計算和化簡的目的.1.培養(yǎng)學生利用二次根式的性質(zhì)和重要結(jié)論進行準確計算的能力,培養(yǎng)學生一絲不茍的科學精神.2.經(jīng)過探索二次根式的重要結(jié)論和二次根式的乘除法法則,發(fā)展學生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)問題的能力.二次根式是新課標中數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的重要內(nèi)容,它是在前面平方根、立方根的基礎(chǔ)上進行學習的,是對代數(shù)式及實數(shù)等內(nèi)容的延伸與補充.同時,也是后繼學習勾股定理、一元二次方程的求根公式及三角形的邊角關(guān)系等內(nèi)容的學習基礎(chǔ).因此,本章的相關(guān)知識對于整個初中階段學習數(shù)與代數(shù)有著承前啟后的重要意義.本章內(nèi)容分為三節(jié),第一節(jié)主要學習二次根式的概念和性質(zhì);第二節(jié)是二次根式的乘法和除法運算,主要研究二次根式的乘除法運算法則和二次根式的化簡;第三節(jié)是二次根式的加法和減法運算,主要研究二次根式的加減法運算法則和二次根式的化簡.【重點】1.對(a≥0)是一個非負數(shù)的理解和對()2=a(a≥0),=a(a≥0)的理解及應(yīng)用.2.二次根式乘除法的法則及其運用.3.最簡二次根式的概念.4.二次根式的加減運算.【難點】1.對(a≥0)是一個非負數(shù)的理解和對等式()2=a(a≥0),=a(a≥0)的理解及應(yīng)用.2.二次根式的乘法、除法的條件限制.3.利用最簡二次根式的概念把一個二次根式化成最簡二次根式.1.通過前面的學習,我們已經(jīng)知道了平方根、立方根的概念和求法,實數(shù)的有關(guān)概念和運算,對數(shù)的認識已經(jīng)由有理數(shù)的范圍擴大到實數(shù)范圍,并對實數(shù)的運算性質(zhì)和運算法則有了初步的感受.因此,本章應(yīng)充分注意與已有經(jīng)驗的聯(lián)系.同時,本章內(nèi)容與整式也有著密切的聯(lián)系.由于數(shù)式通性,當將二次根式中的實數(shù)看成字母時,二次根式的運算實際上就是整式的運算,所以整式的運算法則和公式在二次根式的運算中仍然適用.因此本章強調(diào)了與整式相關(guān)內(nèi)容的聯(lián)系.2.對于一些重要結(jié)論,要注意經(jīng)歷觀察、思考、討論等探究活動歸納得出結(jié)論的過程.例如,對于二次根式的乘法法則,首先利用二次根式的概念和性質(zhì)進行具體的計算,并觀察所得結(jié)果發(fā)現(xiàn)二次根式相乘與積的算術(shù)平方根之間的關(guān)系,并利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進行計算,再歸納得出二次根式的乘法運算法則.這個過程實際上就是反映了一個由特殊到一般的認識過程.要通過這樣的探究活動來發(fā)展我們的思維能力,有效改變學生的學習方式.3.熟練掌握二次根式的概念和運算需要一定的訓(xùn)練,可以適當增加練習,以便較好地理解二次根式的意義,較好地掌握二次根式的性質(zhì)和運算,為后續(xù)學習打下良好的基礎(chǔ).16.1二次根式2課時16.2二次根式的乘除2課時16.3二次根式的加減2課時單元概括整合1課時16.1二次根式1.了解二次根式的概念,理解二次根式有意義的條件.2.掌握二次根式的性質(zhì),并能將二次根式的性質(zhì)運用于化簡.3.了解最簡二次根式的概念,會判斷一個二次根式是不是最簡二次根式.經(jīng)歷觀察、比較,總結(jié)二次根式概念和被開方數(shù)取值范圍的過程,發(fā)展學生的歸納概括能力.經(jīng)歷觀察、比較和應(yīng)用等數(shù)學活動,感受數(shù)學活動充滿了探索性和創(chuàng)造性,體驗發(fā)現(xiàn)的快樂,并提高應(yīng)用的意識.【重點】會求二次根式中字母的取值范圍,理解和掌握二次根式的性質(zhì),熟練化簡二次根式.【難點】運用二次根式的雙重非負性解決問題,二次根式性質(zhì)的綜合運用.第課時使學生理解并掌握二次根式的概念,掌握二次根式中被開方數(shù)的取值范圍和二次根式的取值范圍.經(jīng)歷觀察、比較,總結(jié)二次根式概念和被開方數(shù)取值范圍的過程,發(fā)展學生的歸納概括能力.經(jīng)歷觀察、比較和應(yīng)用等數(shù)學活動,感受數(shù)學活動充滿了探索性和創(chuàng)造性,體驗發(fā)現(xiàn)的快樂,并提高應(yīng)用的意識.【重點】了解二次根式的概念,理解二次根式有意義的條件.【難點】會求二次根式中字母的取值范圍.【教師準備】教學所需的習題資料.【學生準備】復(fù)習平方根和立方根的有關(guān)知識.導(dǎo)入一:唐僧師徒在萬壽山五莊觀做客.豬八戒來到后花園,看見人參果樹上結(jié)滿了人參果,嘴饞得直流口水.正準備伸手摘時,突然一道金光,在同一個枝頭上一大一小的兩個果子同時掉了下來,噗的一聲同時著地.有愛好數(shù)學的電視迷算了人參果下落的時間t與h之間的關(guān)系式為t=,你覺得他算的正確嗎?要解決這個問題,我們得從二次根式說起.[設(shè)計意圖]將數(shù)學問題融入到學生喜愛的神話故事中,激發(fā)學生學習的興趣,拉近了數(shù)學與學生的距離,為探究本節(jié)課奠定了基礎(chǔ).導(dǎo)入二:1.教師出示復(fù)習題:(1)4的平方根是;0的平方根是;-16的平方根是.

(2)5的平方根是;5的算術(shù)平方根是.

學生口答:(1)4的平方根是±2;0的平方根是0;-16沒有平方根.(2)5的平方根是±;5的算術(shù)平方根是.2.教師出示教材第2頁“思考”題:用帶有根號的式子填空,看看寫出的結(jié)果有什么特點:(1)面積為3的正方形的邊長為,面積為S的正方形的邊長為.

(2)一個長方形的圍欄,長是寬的2倍,面積為130m2,則它的寬為m.

(3)一個物體從高處自由落下,落到地面所用的時間t(單位:s)與開始落下時離地面的高度h(單位:m)滿足關(guān)系h=5t2.如果用含有h的式子表示t,那么t為.

學生思考后回答,教師補充得出答案:(1),;(2);(3).[設(shè)計意圖]以回顧練習和思考的形式引導(dǎo)學生回憶,鞏固所學知識,并引入新課.1.二次根式的概念思路一[過渡語](針對導(dǎo)入二)讓我們一起來看下面的問題:上面得到的式子,,,分別表示什么意義?它們有什么共同特征?教師引導(dǎo)學生說出各式的意義,概括它們的共同特征:都表示一個非負數(shù)(包括字母或式子表示的非負數(shù))的算術(shù)平方根.討論:你能用一個式子表示一個非負數(shù)的算術(shù)平方根嗎?學生小組討論,全班交流.教師由此給出二次根式的定義:一般地,我們把形如(a≥0)的式子叫做二次根式,“”稱為二次根號.追問:在二次根式的概念中,為什么要強調(diào)“a≥0”?教師引導(dǎo)學生舉出例子說明,經(jīng)過討論知道二次根式被開方數(shù)必須是非負數(shù).[設(shè)計意圖]讓學生在填空過程中初步感知二次根式與實際生活的緊密聯(lián)系,體會研究二次根式的必要性,再讓學生體會由特殊到一般的過程,培養(yǎng)學生的概括能力,最后通過討論二次根式中被開方數(shù)a≥0,進一步加深學生對二次根式被開方數(shù)必須是非負數(shù)的理解.思路二像,,,這樣的式子有什么共同特點呢?學生觀察,交流發(fā)現(xiàn):一是從形式上看,都含有二次根號;二是被開方數(shù)的取值范圍有限制:被開方數(shù)必須是非負數(shù).教師進一步明確:形如(a≥0)的式子叫做二次根式.引導(dǎo)學生說一說對二次根式的認識:(1)表示a的算術(shù)平方根;(2)a可以是數(shù),也可以是代數(shù)式;(3)從形式上看,含有二次根號;(4)a≥0,≥0.[設(shè)計意圖]加深對二次根式的理解,進一步明確二次根式的非負性.2.例題講解[過渡語]二次根式的定義怎樣理解?讓我們一起來學習幾個例題.下列各式中,哪些是二次根式?并指出二次根式中的被開方數(shù).,,,(x≥3),(y>-1),,,(xy>0).引導(dǎo)學生觀察根指數(shù)和被開方數(shù)分析發(fā)現(xiàn):顯然不是二次根式(因為它的根指數(shù)是4,含有四次根號),其余式子都含有二次根號,關(guān)鍵看根號下的被開方數(shù)是否為非負數(shù).若根號下是負數(shù),則二次根式?jīng)]有意義.解:,(x≥3),,(xy>0)是二次根式.其中被開方數(shù)依次是7,x-3,(x+1)2,.[解題策略]①當被開方數(shù)形式是含有字母的代數(shù)式時,可以把這個代數(shù)式看成一個整體.如的被開方數(shù)是x2+2015.②當被開方數(shù)形式比較復(fù)雜時,可以將這個被開方數(shù)適當化簡.如,因為(-3)2-7=9-7=2,所以它的被開方數(shù)其實就是2.【變式訓(xùn)練】下列各式中,一定是二次根式的是()A.B.C.D.(其中a<0)〔解析〕的被開方數(shù)-9<0,的被開方數(shù)m-1可能是負數(shù),的根指數(shù)是3,所以選項A,B,C中的式子都不是二次根式.含有二次根號,并且無論a取什么負數(shù),被開方數(shù)a2+8都是正數(shù),所以一定是二次根式.故選D.(教材例1)當x是怎樣的實數(shù)時,在實數(shù)范圍內(nèi)有意義?引導(dǎo)學生從概念出發(fā)進行思考:二次根式的被開方數(shù)為非負數(shù),則x-2≥0.解:由x-2≥0,得x≥2.當x≥2時,在實數(shù)范圍內(nèi)有意義.【變式訓(xùn)練】若式子1+有意義,則x的取值范圍是.

〔解析〕根據(jù)二次根式的性質(zhì)可知:x+1≥0,即x≥-1;又因為分式的分母不能為0,所以x的取值范圍是x≥-1且x≠0.故填x≥-1且x≠0.[易錯分析]容易產(chǎn)生只考慮到x+1≥0,而忽略了x≠0的錯誤.[設(shè)計意圖]通過變式訓(xùn)練,加深學生對二次根式被開方數(shù)為非負數(shù)的理解,提高學生對所學知識的遷移能力和應(yīng)用意識.[知識拓展](1)二次根式的定義是從代數(shù)式的結(jié)果和形式上界定的,必須含有二次根號“”,如,都是二次根式,而就不是二次根式了.(2)在二次根式中,被開方數(shù)可以是具體的數(shù),也可以是含有字母的單項式、多項式、分式等代數(shù)式.(3)形如b(a≥0)的式子也是二次根式,其表示的是b與的乘積,如3表示3×,-表示-×,但是不能寫成3的形式.(4)當a≥0時,表示a的算術(shù)平方根.也就是說,有意義的條件是a≥0.(5)當a是非負數(shù)時,(其中a≥0)本身也是一個非負數(shù).師生共同回顧本節(jié)課所學主要內(nèi)容:知識要點關(guān)鍵點注意事項二次根式的概念形如≥0(a≥0)的式子叫做二次根式,其中被開方數(shù)是a被開方數(shù)也可以是含有字母的單項式、多項式、分式等二次根式有意義的條件被開方數(shù)必須是非負數(shù)求解二次根式中字母的取值范圍,要注意根號下的式子整體不小于零1.已知下列各式:,(a≥2),,,其中二次根式的個數(shù)是()A.1個B.2個C.3個D.4個解析:的被開方數(shù)不是非負數(shù),所以不是二次根式,其余3個都是二次根式.故選C.2.(2014·南通中考)若在實數(shù)范圍內(nèi)有意義,則x的取值范圍是()A.x≥B.x≥-C.x>D.x≠解析:是二次根式,因此2x-1≥0,在分母上,因此≠0.則解得x>.故選C.3.當x=時,二次根式有最小值,其最小值是.

解析:∵二次根式有意義,∴x+3≥0,即x+3的最小值是0,∴x+3=0,解得x=-3.答案:-304.求下列各式中字母a的取值范圍:(1);(2);(3);(4).解:(1)由a+1≥0,得a≥-1.∴字母a的取值范圍是大于或等于-1的實數(shù).(2)由>0,得1-2a>0,即a<.∴字母a的取值范圍是小于的實數(shù).(3)因為無論a取何值,都有(a-3)2≥0,所以字母a的取值范圍是全體實數(shù).(4)因為無論a取何值,都有|a|+1>0,所以字母a的取值范圍是全體實數(shù).第1課時1.二次根式的概念2.例題講解例1例2一、教材作業(yè)【必做題】教材第3頁練習第1,2題;教材第5頁習題16.1第1題.【選做題】教材第5頁習題16.1第7題.二、課后作業(yè)【基礎(chǔ)鞏固】1.若是二次根式,則下列結(jié)論正確的是()A.x≥0,y≥0B.x>0,y>0C.x,y同號D.≥02.已知實數(shù)x,y,m滿足+=0,且y為負數(shù),則m的取值范圍是()A.m>6B.m<6C.m>-6D.m<-63.如果式子+有意義,那么在直角坐標系中點A(a,b)的位置在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限4.(2015·遵義中考)使二次根式有意義的x的取值范圍是.

【能力提升】5.當x時,+在實數(shù)范圍內(nèi)有意義.

6.(2015·攀枝花中考)若y=++2,則xy=.

7.已知x,y為實數(shù),且滿足-(y-1)=0,求x2016-y2016的值.8.已知實數(shù)a滿足+=a,求a-20142的值.【拓展探究】9.若x,y,n滿足關(guān)系式+=·,試確定m的值.【答案與解析】1.D(解析:依題意得≥0,即≥0.故選D.)2.A(解析:根據(jù)題意,結(jié)合非負數(shù)的性質(zhì),得=0,=0,所以解得因為y是負數(shù),所以6-m<0.解得m>6.故選A.)3.A(解析:根據(jù)二次根式有意義的條件,易得a>0,b>0.故選A.)4.x≥(解析:要使二次根式有意義,則需滿足5x-2≥0,∴x≥.)5.≥-且x≠-1(解析:要使+在實數(shù)范圍內(nèi)有意義,必須同時滿足的被開方數(shù)2x+3≥0和的分母x+1≠0,即由①得x≥-,由②得x≠-1.∴當x≥-且x≠-1時,+在實數(shù)范圍內(nèi)有意義.)6.9(解析:由題意得x-3≥0,3-x≥0,得x=3,故y=2,∴xy=9.)7.解:∵-(y-1)=0,∴+(1-y)=0.∴x+1=0,1-y=0.解得x=-1,y=1.∴x2016-y2016=(-1)2016-12016=1-1=0.8.解:由a-2015≥0,得a≥2015,故已知式子可化為a-2014+=a.∴=2014.兩邊平方并整理,得a-20142=2015.9.解:由等式的右邊,根據(jù)二次根式有意義的條件得x-2013+y≥0且2013-x-y≥0,得x+y≥2013且x+y≤2013,所以x+y=2013.所以+=0.所以①-②,得x+2y=2.又x+y=2013,兩式相加,得2x+3y=2015.所以m=2015.我們經(jīng)常說過程比結(jié)果更重要.我對整節(jié)課的設(shè)計力求符合學生的認知特點,想方設(shè)法創(chuàng)設(shè)生動活潑的教學情境,使學生始終處在好奇、好學的高亢的學習情緒當中,同時,整節(jié)課努力做到先有框架,中有深化,后有突破.學生學有情趣,學有所獲,并由衷感到:學習是快樂的事,學會了更是幸福的事.在教學中,我適當增加了有拓展性的練習,層層遞進,想使不同的學生得到不同程度的發(fā)展和提高,但受到教材中練習題的局限,就當a是非負數(shù)時,本身也是一個非負數(shù)的練習沒有落實到位.根據(jù)教學時間多少調(diào)整例題教學,適當增加對二次根式非負性的例題的講解,注重變式練習,以加深對二次根式具有雙重非負性的理解.練習(教材第3頁)1.解:設(shè)長方形的長和寬分別為3acm,2acm.由題意,得3a·2a=18,∴a2=3,a=(舍去a=-),∴3a=3,2a=2.故長方形的長取3cm,寬取2cm.2.解:(1)當a-1≥0,即a≥1時,有意義.(2)當2a+3≥0,即a≥-時,有意義.(3)當-a≥0,即a≤0時,有意義.(4)當5-a≥0時,即a≤5時,有意義.若x,y為實數(shù),且滿足y=+-3,求x+2y的值.〔解析〕根據(jù)二次根式的被開方數(shù)不小于0,求得x,y的值,然后將其代入所求的代數(shù)式并計算.解:由二次根式有意義的條件得即x2-4=0,所以x=±2.當x=±2時,y=-3.①當x=2,y=-3時,x+2y=2+2×(-3)=-4;②當x=-2,y=-3時,x+2y=-2+2×(-3)=-8.所以x+2y的值是-4或-8.[解題策略]根據(jù)已知得出并得到x=±2是解決本題的關(guān)鍵.已知(3a-6)2+=0,求ba的值.〔解析〕根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì):若兩個非負數(shù)的和為0,則這兩個非負數(shù)的值都為0,解出a,b的值,再代入原式中計算.解:因為(3a-6)2與都是非負數(shù),且它們的和為0,所以3a-6=0,b-3=0,即a=2,b=3.此時ba=32=9.[解題策略]本題考查了非負數(shù)的性質(zhì),初中階段有三種類型的非負數(shù):(1)絕對值;(2)偶次方;(3)二次根式(算術(shù)平方根).當它們的和為0時,必須滿足其中的每一項都等于0.根據(jù)這個結(jié)論可以求解這類問題.第課時1.理解()2=a(a≥0)和=a(a≥0),并利用它們進行計算和化簡.2.用具體數(shù)據(jù)結(jié)合算術(shù)平方根的意義推出()2=a(a≥0)和探究=a(a≥0),會用這個結(jié)論解決具體問題.3.了解代數(shù)式的概念.在明確()2=a(a≥0)和=a(a≥0)的算理的過程中,感受數(shù)學的實用性.通過運用二次根式的性質(zhì)化簡的相關(guān)計算,解決一些實際問題,培養(yǎng)學生解決問題的能力.【重點】掌握二次根式的性質(zhì),并能將二次根式的性質(zhì)運用于化簡.【難點】能運用二次根式的性質(zhì)化簡.【教師準備】教學所需的習題資料.【學生準備】自學教材第3~4頁的內(nèi)容.導(dǎo)入一:教師出示問題:先化簡再求值:當a=9時,求a+值,甲、乙兩人的解答如下:甲的解答為:原式=a+=a+(1-a)=a+1-a=1;乙的解答為:原式=a+=a+(a-1)=2a-1=17.兩種解答中,誰的解答是錯誤的呢?本節(jié)課,我們一起來學習二次根式的性質(zhì),然后就可以解決上面的問題了.[設(shè)計意圖]以問題設(shè)疑,發(fā)揮問題導(dǎo)向作用,激發(fā)學生的求知欲,為本節(jié)課學習打下基礎(chǔ).導(dǎo)入二:1.什么叫二次根式?2.當a≥0時,叫什么?當a<0時,有意義嗎?學生口答,老師點評.通過前面的學習,我們知道了二次根式具有雙重非負性.今天我們主要學習一些二次根式的其他性質(zhì).[設(shè)計意圖]復(fù)習舊知導(dǎo)入新知,讓本節(jié)課自然過渡,為本節(jié)課學習奠定了基礎(chǔ).思路一1.二次根式的性質(zhì)1:()2=a(a≥0)[過渡語]我們先來探究性質(zhì)1:()2=a(a≥0).提問:你能解釋下列式子的含義嗎?()2,()2,,()2.學生口述,教師根據(jù)情況評價.()2表示4的算術(shù)平方根的平方;()2表示2的算術(shù)平方根的平方;表示的算術(shù)平方根的平方;()2表示0的算術(shù)平方根的平方.追問:根據(jù)算術(shù)平方根的意義填空,并說出得到結(jié)論的依據(jù).()2=;()2=;=;()2=.

學生獨立完成填空后,讓學生展示其思維過程,說出得到結(jié)論的依據(jù).教師引導(dǎo)學生說出每一個式子的含義.是4的算術(shù)平方根,根據(jù)算術(shù)平方根的意義,是一個平方等于4的非負數(shù),因此有()2=4.是2的算術(shù)平方根,根據(jù)算術(shù)平方根的意義,是一個平方等于2的非負數(shù),因此有()2=2.是的算術(shù)平方根,根據(jù)算術(shù)平方根的意義,是一個平方等于的非負數(shù),因此有=.表示0的算術(shù)平方根,因此有()2=0.討論:從以上的結(jié)論中你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?你能用一個式子表示這個規(guī)律嗎?引導(dǎo)學生歸納得出二次根式的性質(zhì):一個非負數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于這個非負數(shù),即()2=a(a≥0).(教材例2)計算:(1)()2;(2)(2)2.學生獨立完成,兩名學生板演,再集體訂正.〔解析〕(1)直接運用()2=a(a≥0)化簡即可.(2)運用冪的性質(zhì)(ab)2=a2b2.解:(1)()2=1.5.(2)(2)2=22×()2=4×5=20.[解題策略]把底數(shù)看成根號外因數(shù)與二次根式的積,按照積的乘方計算即可.【變式訓(xùn)練】計算:(-2)2.〔解析〕把原式的底數(shù)看成是-2與的積,先利用(mn)2=m2n2,再根據(jù)()2=a(a≥0)化簡.解:(-2)2=(-2)2()2=4×3=12.[知識拓展]形如(x)2的關(guān)于二次根式的運算可結(jié)合(ab)2=a2b2得到(x)2=x2a.[設(shè)計意圖]讓學生經(jīng)歷從特殊到一般的過程,概括出二次根式的性質(zhì)1,培養(yǎng)學生抽象概括的能力,并通過例題和變式訓(xùn)練及時鞏固二次根式的性質(zhì)1,學會靈活運用.2.二次根式的性質(zhì)2:=a(a≥0)[過渡語]我們再來探究一下性質(zhì)2:=a(a≥0).提問:你能解釋下列式子的含義嗎?,,,.教師引導(dǎo)學生說出每一個式子的含義.表示2的平方的算術(shù)平方根;表示0.1的平方的算術(shù)平方根;表示的平方的算術(shù)平方根;表示0的平方的算術(shù)平方根.追問:根據(jù)算術(shù)平方根的意義填空,并說出得到結(jié)論的依據(jù).=;=;=;=.

學生獨立完成填空后,讓學生展示其思維過程,說出得到結(jié)論的依據(jù).∵4=22,∴=2,因此=2;∵0.01=0.12,∴=0.1,因此=0.1;∵=,∴=,因此=;∵0=02,∴=0,因此=0.討論:從以上的結(jié)論中你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?你能用一個式子表示這個規(guī)律嗎?引導(dǎo)學生歸納得出:一個非負數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個數(shù).即=a(a≥0).(教材例3)化簡:(1);(2).引導(dǎo)學生根據(jù)=a(a≥0)進行分析:(1)因為16=42,所以=,再計算即可得出結(jié)果.(2)因為(-5)2=52,所以=.學生獨立完成,集體訂正.解:(1)==4.(2)==5.[知識拓展](1)中的a的取值范圍可以是任意實數(shù),即不論a取何值,一定有意義.(2)化簡時,一定要弄明白被開方數(shù)的底數(shù)a是正數(shù)還是負數(shù),若是正數(shù)或0,則等于a本身,即=a(a≥0);若a是負數(shù),則等于a的相反數(shù)-a,即=-a(a<0).小組討論:()2和有什么關(guān)系?學生自由討論,教師根據(jù)情況引導(dǎo)學生從式子的意義和結(jié)果兩個方面去分析,得出:()2表示a的算術(shù)平方根的平方,()2=a(a≥0);表示a的平方的算術(shù)平方根,=|a|=[設(shè)計意圖]讓學生經(jīng)歷從特殊到一般的過程,概括出二次根式的性質(zhì)2,培養(yǎng)學生抽象概括的能力,并通過例題練習及時鞏固二次根式的性質(zhì)2.思路二請同學們閱讀和自學課本第3~4頁的內(nèi)容,并思考下面的問題:1.(1)填空:()2=;()2=;=;()2=;=;()2=.

(2)猜想當a≥0時,()2=.

2.(1)觀察下列各式的特點,找出各式的共同規(guī)律,并用表達式表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律.==;==;==;==;….

通過觀察,你得到的結(jié)論是什么?試著說一說.(2)發(fā)現(xiàn):當a≥0時,=,當a<0時,=.

學生用充足的時間學習后,交流學習情況,教師分析并講解.1.(1)根據(jù)算術(shù)平方根與乘方運算的關(guān)系,得=2,所以()2=22=4;=4,所以()2=42=16;=,所以==.根據(jù)以上規(guī)律,可以得出()2=2;=;()2=0.(2)從第(1)問可以發(fā)現(xiàn),一個非負數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于這個非負數(shù),即()2=a(a≥0).2.先計算==2;==2;==3;==3;….可以看出:一個正數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個數(shù),一個負數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個數(shù)的相反數(shù).于是當a≥0時,=a,當a<0時,=-a.歸納并板書:二次根式的性質(zhì):1.()2=a(a≥0);2.=a(a≥0).提問:()2和有什么關(guān)系?學生自由討論,教師根據(jù)情況引導(dǎo)學生從式子的意義和結(jié)果兩個方面去分析,得出:()2表示a的算術(shù)平方根的平方,()2=a(a≥0);表示a的平方的算術(shù)平方根,=|a|=[設(shè)計意圖]在計算的基礎(chǔ)上,引導(dǎo)學生觀察、猜想、歸納得出二次根式的兩個性質(zhì),并從式子的意義和結(jié)果進行比較,得出二者之間的關(guān)系.3.代數(shù)式提問:回顧我們學過的式子,如a+b,-ab,,-x3,,(a≥0),這些式子有哪些共同特征?學生概括式子的共同特征,得出代數(shù)式的概念.這些式子都是用基本運算符號把數(shù)或表示數(shù)的字母連接起來的式子,我們稱這樣的式子為代數(shù)式.學生舉出一些例子,并書寫,教師針對學生書寫出現(xiàn)問題的地方進行指導(dǎo).[設(shè)計意圖]學生通過觀察式子的共同特征,形成代數(shù)式的概念,培養(yǎng)學生的概括能力.4.例題講解(補充)計算:(-5)2,,-.〔解析〕利用()2=a(a≥0)和=a(a≥0)化簡,注意被開方數(shù)的符號.解:(-5)2=(-5)2×()2=25×2=50.==.-=-=-.(補充)比較2與3的大小.〔解析〕直接比較這兩個二次根式的大小不太容易,由于這兩個二次根式平方后得到兩個有理數(shù),因此可以通過比較這兩個二次根式平方的大小來比較它們的大小.解:∵(2)2=22×()2=44,(3)2=32×()2=45,又∵44<45,且2>0,3>0,∴2<3.師生共同回顧本節(jié)課所學主要內(nèi)容:知識要點關(guān)鍵點注意事項()2=a(a≥0)任何非負數(shù)的算術(shù)平方根的平方,其結(jié)果仍然是它本身被開方數(shù)a是非負數(shù)=|a|=任何實數(shù)的平方的算術(shù)平方根是它的絕對值底數(shù)a可以是任何實數(shù)代數(shù)式用運算符號把數(shù)和表示數(shù)的字母連接起來的式子叫代數(shù)式①式子中不能出現(xiàn)“=,≠,≥,≤,<,>”;②單個的數(shù)字或單個的字母也是代數(shù)式1.計算的結(jié)果是()A.-3B.3C.-9D.9解析:==3.故選B.2.下列各式:①m2-3;②(a>0);③a-1=6;④3x-5>0;⑤;⑥66.其中代數(shù)式的個數(shù)是()A.2個B.3個C.4個D.5個解析:③a-1=6是方程,不是代數(shù)式;④3x-5>0是一元一次不等式,也不是代數(shù)式;其余都是代數(shù)式.故選C.3.+的值是.

解析:+=2+2=4.故填4.4.(1)當x時,=2-x成立;

(2)計算=.

解析:(1)當x-2≤0時,=2-x,所以x≤2;(2)因為3<π,所以3-π<0,因此=π-3.答案:(1)≤2(2)π-35.計算:(1);(2)(2)2;(3);(4)(-)2.解:(1)=0.9.(2)(2)2=22×()2=12.(3)=(-2)2×=2.(4)(-)2=(-1)2×()2=15.第2課時1.二次根式的性質(zhì)1:()2=a(a≥0)例12.二次根式的性質(zhì)2:=a(a≥0)例23.代數(shù)式4.例題講解例3例4一、教材作業(yè)【必做題】教材第4頁練習第1,2題;教材第5頁習題16.1第2,3,4,5,6題.【選做題】教材第5頁習題16.1第7,8,9,10題.二、課后作業(yè)【基礎(chǔ)鞏固】1.已知二次根式的值為3,那么x的值是()A.3B.9C.-3D.3或-32.若=1-2a,則()A.a<B.a≤C.a>D.a≥3.(2015·杭州中考)若k<<k+1(k是整數(shù)),則k等于()A.6B.7C.8D.94.實數(shù)a,b在數(shù)軸上的位置如圖所示,則化簡-|a+b|的結(jié)果為()A.2a+bB.-2a+bC.bD.2a-b【能力提升】5.若是一個正整數(shù),則正整數(shù)m的最小值是.

6.在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式:(1)x2-3=;

(2)n5-6n3+9n=.

7.列出下列代數(shù)式:(1)面積為3的圓的半徑;(2)面積為S且兩條鄰邊之比為3∶5的長方形的長、寬.8.計算:(1);(2)(3)2;(3);(4)-;(5).9.先化簡,再求值:-,其中x=6.【拓展探究】10.對于題目“化簡并求值:+,其中a=”,甲、乙兩人的解答不同.甲的解答是:+=+=+-a=-a=;乙的解答是:+=+=+a-=a=.誰的解答是錯誤的?為什么?【答案與解析】1.D(解析:根