二次函數(shù)易錯清單二次函數(shù)與方程、不等式的聯(lián)系.【例1】(2014?湖北孝感)拋物線y二ax2+bx+c的頂點為D(T,2),與x軸的一個交點A在點(-3,0)和(-2,0)之間,其部分圖象如圖,則以下結(jié)論:①b2-4ac〈0；②a+b+c<0；③c-a=2；④方程ax2+bx+c-2=0有兩個相等的實數(shù)根.C.3個D.4個【解析】由拋物線與x軸有兩個交點得到b2-4ac〉0；由拋物線頂點坐標(biāo)得到拋物線的對稱軸為直線T,則根據(jù)拋物線的對稱性得拋物線與x軸的另一個交點在點(0,0)和(1,0)之間，所以當(dāng)x=1時,y<0，則a+b+c<0；由拋物線的頂點為D(T,2)得a-b+c=2,由拋物線bJt'=—--=的對稱軸為直線=1,得b=2a，所以c-a=2；根據(jù)二次函數(shù)的最大值問題，當(dāng)x=T時,二次函數(shù)有最大值為2,即只有x=1時,ax2+bx+c=2,所以說方程ax2+bx+c-2=0有兩個相等的實數(shù)根.【答案】T拋物線與x軸有兩個交點，b2-4ac>0，所以①錯誤.T頂點為D(-1,2),拋物線的對稱軸為直線x=-1.T拋物線與x軸的一個交點A在點(-3,0)和(-2,0)之間，拋物線與x軸的另一個交點在點(0,0)和(1,0)之間.當(dāng)x=1時，y〈0.a+b+c<0,所以②正確.T拋物線的頂點為D(-1,2),.a-b+c=2.■/拋物線的對稱軸為直線=1,b=2a.a-2a+c=2,即c-a=2,所以③正確.T當(dāng)x=-1時，二次函數(shù)有最大值為2,即只有x=1時,ax2+bx+c=2,方程ax2+bx+c-2=0有兩個相等的實數(shù)根，所以④正確.故選C.【誤區(qū)糾錯】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次函數(shù)y二ax2+bx+c(aZ0)的圖b91一二象為拋物線，當(dāng)a>0,拋物線開口向上;對稱軸為直線-；拋物線與y軸的交點坐標(biāo)為(0,c)；當(dāng)b2-4ac〉0，拋物線與x軸有兩個交點；當(dāng)b2-4ac=0，拋物線與x軸有一個交點；當(dāng)b2-4ac〈0，拋物線與x軸沒有交點.用二次函數(shù)解決實際問題.【例2】(2014?江蘇泰州)某研究所將某種材料加熱到10001時停止加熱,并立即將材料分為A,B兩組，采用不同工藝做降溫對比實驗，設(shè)降溫開始后經(jīng)過xmin時,A,B兩組材料的溫度分別為yA°C,yJC,yA,yB與x的函數(shù)關(guān)系式分別為yA=kx+b,(部分圖ABABA象如圖所示)，當(dāng)x=40時，兩組材料的溫度相同.⑴分別求yA,yB關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；AB當(dāng)A組材料的溫度降至120C時,B組材料的溫度是多少？在0〈x〈40的什么時刻，兩組材料溫差最大？【解析】(1)首先求出y函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而得出交點坐標(biāo)，即可得出yA函數(shù)關(guān)系式;BA⑵首先將y=120代入求出x的值，進(jìn)而代入yB求出答案;B(3)得出yA-y的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而求出最值即可(3)得出yA-y的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而求出最值即可.AB則1罠尸+和’解得m=100.yB=(x-60)2+100.【答案】(1)Ftl題蔗*得旳=+(工一商⑴'+in鏡過點CO*1000)，當(dāng)戈=4。時X（⑷一孫｝2十】0?解得yB=200.Bl40fi+fr=200-??.yA=-20x+1000.(2)當(dāng)A組材料的溫度降至1201時,120=-20x+1000,解得x=44.當(dāng)jr=+flt.Tfl=y(+4-50)2+100=lM(Vk???B組材料的溫度是164。?！?)當(dāng)(Xj<40時’刃一劃=—2眼+1000—*仁t—冀尸—100=—+戈±+1旳-=——20)5+100*?：當(dāng)x=20時,兩組材料溫差最大為100。.【誤區(qū)糾錯】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)最值求法等知識,得出兩種材料的函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵.二次函數(shù)存在性問題的討論.【例3](20】斗?山東濟(jì)寧)如圖’拋物線，=+〃+蘇+匚與捷軸交于呂書』)」(—丨厲)兩點’過點A作直線AC」.j軸‘交瓦線丁=肚F點心求該拋物線的解析式;求點A關(guān)于直線y=2x的對稱點A'的坐標(biāo)，判定點A'是否在拋物線上,并說明理由；點P是拋物線上一動點，過點P作y軸的平行線,交線段CA'于點M,是否存在這樣的點P,使四邊形PACM是平行四邊形?若存在，求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.g/1【解析】(1)利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；(2)首先求出對稱點A'的坐標(biāo)，然后代入拋物線解析式，即可判定點A'是否在拋物線上?本問關(guān)鍵在于求出A'的坐標(biāo)?如答圖所示，作輔助線,構(gòu)造一對相似三角形RtAA'EAsr弋\0AC,利用相似關(guān)系、對稱性質(zhì)、勾股定理，求出對稱點A'的坐標(biāo)；本問為存在型問題.解題要點是利用平行四邊形的定義,列出代數(shù)關(guān)系式求解.如答圖所示，平行四邊形的對邊平行且相等，因此PM=AC=10;利用含未知數(shù)的代數(shù)式表示出PM的長度,然后列方程求解.【答秦】(1)7，=+護(hù)+如一丄、與j■軸交于A(5,0-B(-1*0)兩點f—J"-B+C=t'rJ)=-1+解得5\c=~T'A拋物線的解析式為》=+亍一工一￥?⑵如團(tuán)所示,過點川柞AK丄茁軸于點E.AA「與(X交二.點6■/點C在直線了=險上0(5Jfl).■/點山和屮關(guān)于障線了=2直對稱*Z.00丄心'朋丁】=人口.■/Q4=5.Af：=10>/.AJJ=2V^r+'■AA=A■怎、在和RtAOAC中+■/ZArAE—ZAfAC=-^^ZACH_ZA'.AC=90'、；.“鼻￡=“陽又ZArEA=^0AC=9Q\二RtAATAtAOAC..A"EAArATAR4^5+，Q4"=AC=GC7+hfl_5_=lo=^~二AT=4+AE=S.；、OR=A^~OA=^.:.點川的坐標(biāo)為(-3,4),當(dāng)x=—3時訂—3嚴(yán)十3—-=1

叮255二胃線CV的解析式為y=嚴(yán)文+字+4■/叮255二胃線CV的解析式為y=嚴(yán)文+字+4■/PM//AC.「?要使四邊昭說〔：耐是平行四邊形’只齋RW=AC.又點AJ在點P的上方,誤區(qū)糾錯】本題是二次函數(shù)的綜合題型,考查了二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)、待定系數(shù)法、所以點M在該拋物線上（和存在.理由如下：設(shè)r俄lh'的塀析戊対龍+d=】X亠典7+解得設(shè)點F的坐標(biāo)為（」■*—,；■幾（卡+晉）-（右—一號尸】。.謂得;n=2“花=$（不含題達(dá)，舍去L9當(dāng)x=2時=—T幾當(dāng)點F運功到（氛一#）時.四邊BMCM是平行囲相似、平行四邊形、勾股定理、對稱等知識點,涉及考點較多,有一定的難度.第（2）問的要點是求對稱點A'的坐標(biāo)，第（3）問的要點是利用平行四邊形的定義列方程求解.名師點撥能通過畫二次函數(shù)圖象求一元二次方程的近似解，能說明二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系與區(qū)別.會借助函數(shù)思想及圖象求不等式的解集.借助二次函數(shù)思想解決實際問題.提分策略拋物線對稱性的應(yīng)用.（1）二次函數(shù)的圖象是拋物線，是軸對稱圖形，充分利用拋物線的軸對稱性，是研究利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題的關(guān)鍵.（2）已知二次函數(shù)圖象上幾個點的坐標(biāo)，一般用待定系數(shù)法直接列方程（組）求二次函數(shù)的解析式.（3）已知二次函數(shù)圖象上的點（除頂點外）和對稱軸，便能確定與此點關(guān)于對稱軸對稱的另一點的坐標(biāo).

【例1】如圖，拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A,B兩點，與y軸交于點C,點D為拋物線的頂點，點E在拋物線上，點F在x軸上，四邊形OCEF為矩形，且OF=2,EF=3.求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;⑵求△ABD的面積；將三角形AOC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，點A對應(yīng)點為點G,問點G是否在該拋物線上?請說明理由.【解析】(1)在矩形OCEF中，已知OF,EF的長，先表示出C,E的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法確定該函數(shù)的關(guān)系式.根據(jù)(1)的函數(shù)關(guān)系式求出A,B,D三點的坐標(biāo)，以AB為底、點D縱坐標(biāo)的絕對值為髙，可求出△ABD的面積.首先根據(jù)旋轉(zhuǎn)條件求出點G的坐標(biāo)，然后將點G的坐標(biāo)代入拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式中直接進(jìn)行判斷即可.【答案】(DV四邊電OCKP為矩形「?點C的坐標(biāo)赍W氧E的坐標(biāo)為(真引.把點口E的坐標(biāo)分別代人丫=一護(hù)+加4?中.="=一="=一4+上+*解得拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=-x2+2x+3.(2)Vy=-X2+2x+3二-(xT)2+4,?：拋物線的頂點坐標(biāo)為D(1,4).△ABD中邊AB的髙為4.令y=0,得-X2+2x+3=0,解得x1=-1，x2=3.所以AB=3-(-1)=4.:.3沁的園枳=〒n=&⑶AAOC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°,C0落在CE所在的直線上，由⑵可知OA=1,點A對應(yīng)點G的坐標(biāo)為(3,2).當(dāng)x=3時,y=-32+2X3+3=0工2,???點G不在該拋物線上.利用二次函數(shù)解決拋物線形問題.利用二次函數(shù)解決拋物線形問題,一般是先根據(jù)實際問題的特點建立直角坐標(biāo)系,設(shè)出合適的二次函數(shù)的解析式,把實際問題中已知條件轉(zhuǎn)化為點的坐標(biāo),代入解析式求解,最后要把求出的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實際問題的答案.【例2】如圖，排球運動員站在點0處練習(xí)發(fā)球，將球從點0正上方2m的A處發(fā)出，把球看成點，其運行的髙度y(m)與運行的水平距離x(m)滿足關(guān)系式y(tǒng)二a(x-6)2+h.已知球網(wǎng)與點O的水平距離為9m,髙度為2.43m,球場的邊界距點0的水平距離為18m.當(dāng)h=2.6時，求y與x的關(guān)系式；(不要求寫出自變量x的取值范圍)當(dāng)h=2.6時，球能否越過球網(wǎng)？球會不會出界?請說明理由；若球一定能越過球網(wǎng)，又不出邊界，求h的取值范圍.【解析】O根據(jù)函數(shù)圉象上面的點的坐標(biāo)應(yīng)該滿足曲數(shù)1解■析式*把工=及內(nèi)=艮6代入劃，=“<>—庁尸+h申|即可求函數(shù)博祈式找2】根抱函數(shù)懈析犬確定函敷田皋上恵的坐|標(biāo).并解塊實際問題；2）先杷工=0皿=比代入莖2—^:丁=旗工一$尸+矗中求出總=—^~:然肩井別羔示出兀=9皿=on；代時的值應(yīng)滿足的條件’解薛即可.【答案】C.）^^=0^=2^/s=2.0代人列『=4?—刖+：茶即2=ci3—&F+N6昇.2=-丄?斗：=9時/=—需ft-S)1+孤6=2L45>2.43*二球他越過網(wǎng).S^=18時裁=—需<13-6)2+2.6=0,2>0?A球會過界*2—ft胃)把.r=0t3'=2t代人到_y=￡j(Ctl'：-'-*:f—“；由①?,得心冬二次函數(shù)的實際應(yīng)用.【例3】某店因為經(jīng)營不善欠下38400元的無息貸款的債務(wù),想轉(zhuǎn)行經(jīng)營服裝專賣店又缺少資金.“中國夢想秀”欄目組決定借給該店30000元資金,并約定利用經(jīng)營的利潤償還債務(wù)（所有債務(wù)均不計利息）.已知該店代理的品牌服裝的進(jìn)價為每件40元,該品牌服裝日銷售量y（件）與銷售價x（元/件）之間的關(guān)系可用圖中的一條折線（實線）來表示?該店應(yīng)支付員工的工資為每人每天82元,每天還應(yīng)支付其他費用為106元（不包含債務(wù)）.（1）求日銷售量y（件）與銷售價x（元/件）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若該店暫不考慮償還債務(wù),當(dāng)某天的銷售價為48元/件時,當(dāng)天正好收支平衡（收人=支出）,求該店員工的人數(shù)；（3）若該店只有2名員工,則該店最早需要多少天能還清所有債務(wù),此時每件服裝的價格應(yīng)定為多少元?

解析】(1)解析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法,可得函數(shù)解析式;(2)根據(jù)收入等于指出,可得一元一次方程,根據(jù)解一元一次方程,可得答案;(3)分類討論40WxW58，或58WxW71，根據(jù)收入減去支出大于或等于債務(wù)，可得不等式，根據(jù)解不等式,可得答案.【答案】〔】)半怕衛(wèi)工迄施時*設(shè)丁與求的闌數(shù)解析式為

+0ft-j4*61=恥r58如一Ki=24f-2,5=140.:*j-2,5=140.:*j—1半訶V；f€了】時?設(shè)31與尢的朗數(shù)1解析式為y:=iax+/>2*護(hù)弧+加=陸(7U2+^=：L虹=_丨-解得由圖象，得解得/.丁=一芯+82?(-2x-140(4D<r<W>粽上所述片-十込WU

佗)設(shè)人數(shù)為「當(dāng)乂=舒時廿=—2X48—】40=4肛/.(48-40)X44=106+82a*解得a=3,(*)設(shè)需婆為天I該店還涓所有倩將?則肛(址一技)?jp—82X2—10&]^68400."'必"'必(t-40)-jr-BZX2-106'當(dāng)40<j：<58時，闊40068400…扒”｛需一技”一滋：一140》一2冗—一力＜一2驗一5S70'x=~2X(-2)=^時*一也聲+裁"—同加的最丸值為180.1OV當(dāng)50<(-<7'-時.68400&840068400—4AH—丈斗昭)一2巾一一護(hù)+12尬一3550*恥一六丁皿恥一六丁皿時一一卅+叱7麺的"值綜合兩種情形，得b±380,即該店最早需要380天能還清所有債務(wù)，此時每件服裝的價格應(yīng)定為55元.二次函數(shù)在幾何圖形中的應(yīng)用.二次函數(shù)在幾何圖形中的應(yīng)用,實際上是數(shù)形結(jié)合思想的運用,將代數(shù)與幾何融為一體,把代數(shù)問題與幾何問題進(jìn)行互相轉(zhuǎn)化,充分運用三角函數(shù)解直角三角形,相似、全等、圓等來解決問題,充分運用幾何知識求解析式是關(guān)鍵.二次函數(shù)與三角形、圓等幾何知識結(jié)合時,往往涉及最大面積、最小距離等問題,解決的過程中需要建立函數(shù)關(guān)系,運用函數(shù)的性質(zhì)求解.【例4】如圖，在邊長為24cm的正方形紙片ABCD上，剪去圖中陰影部分的四個全等的等腰直角三角形，再沿圖中的虛線折起，折成一個長方體形狀的包裝盒(A,C,D四個頂點正好重合于上底面上一點).已知E、F在邊AB上，是被剪去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點,設(shè)AE=BF=x(cm).若折成的包裝盒恰好是個正方體，試求這個包裝盒的體積V;某廣告商要求包裝盒的表面(不含下底面)面積S最大，試問x應(yīng)取何值？【解析】仁》根據(jù)巳蚱"建這個正方依的底而邊*a=應(yīng)』（cm）+EH=撫a=?xCcm）+再劑用Aii=24cm【解析】仁》根據(jù)巳蚱"建這個正方依的底而邊*a=應(yīng)』（cm）+EH=撫a=?xCcm）+再劑用Aii=24cm*求！BH*負(fù)而可得出這牛包裝盒的店眾卩?（2）利用已知表示出包裝盒的表面積,進(jìn)而利用函數(shù)最值求出即可.【答案】（1［根據(jù)題意*知遠(yuǎn)個正方體的底面邊悵出=厲+口=2樸+??k亠傘亠吾=24,解得丄=氣則—6^2?V—aI=<672)J=432/F(cnJ}_⑵設(shè)包裝盒的底0J也任為a髙角h⑴側(cè)血=丘2徭空=屈1一"A.y=(x+1)2-1B.y=(x+1)2+1C.y=(x-1)2+1D.y=(x-1)2-1（第1題）（第2題）—直2=4^/2,<*吃(12-jp)-\-(.-^-X=—軻亠:+9肛=—EGr——384.當(dāng)x=8時,S取得最大值384cm2.專項訓(xùn)練一、選擇題（2014?山東聊城模擬）如圖，拋物線y=x2與直線y二x交于點A,沿直線y二x平移拋物線,使得平移后的拋物線頂點恰好為A點，則平移后拋物線的解析式是（）.(2014?四川樂山模擬)如圖，拋物線y二ax2+bx+c與x軸交于點A(T,0),頂點坐標(biāo)為(l,n),與y軸的交點在(0,2),(0,3)之間(包含端點)?有下列結(jié)論：當(dāng)工>3時7②3a+內(nèi)>0彳③一1€肚電—￡百算<4.A.①②B.③④C.①③D.①③④(第3題)TOC\o"1-5"\h\z3.(2013-浙江寧波北侖區(qū)一模)如圖，在四邊形ABCD中,ZBAD=ZACB=90°,AB=AD,AC=4BC,設(shè)CD的長為x,四邊形ABCD的面積為y,則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是().'''二、填空題(2014?吉林四平育才中學(xué)模擬)點P在拋物線y=(x-2)2+1上，設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,y),當(dāng)0WxW3時,y的取值范圍為.(2014?江蘇常州模擬)已知二次函數(shù)y二ax2+bc+c中，函數(shù)y與自變量y=(x>0)的部分對應(yīng)值如下表：x…-101234…y…1052125…若A(m,y1),B(m+1,y2)兩點都在該函數(shù)的圖象上，當(dāng)m二時,丫］二y2?(2013?遼寧葫蘆島一模)已知點A(m,0)是拋物線y=X2-2xT與x軸的一個交點，則代數(shù)式2m2-4m+2013的值是.三、解答題(2014?山東濟(jì)南外國語學(xué)校模擬)如圖，矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上,0A=4,0C=3，若拋物線的頂點在邊BC上，且拋物線經(jīng)過O,A兩點，直線AC交拋物線于點D.求拋物線的解析式;求點D的坐標(biāo).(第7題)v=-7之'+廳上+忌庸:&(2014?山東日照模擬)已知拋物線經(jīng)過A(2,0).設(shè)頂點為點P,與x軸的另一交點為點B.求b的值,求出點P、點B的坐標(biāo)；如圖，在直線「上是否存在點D,使四邊形OPBD為平行四邊形?若存在，求出點D的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由；在x軸下方的拋物線上是否存在點皿,使厶AMP9AAMB?如果存在，試舉例驗證你的猜想;TOC\o"1-5"\h\z化(2013*T西南丹中學(xué)一撲】如圖，已卸拋物線，=■+e與坐標(biāo)軸交于A.乩C三點*點丄的坐標(biāo)為【一】也人過點C的耳線丁=譽(yù)丈一3與工軸交于點◎■點F是線段氐上的一個動點+過點尸作FH_OR于點H.芝FR=5f,且0<f<l.(1)填空：點C的坐標(biāo)是,b=,c=；求線段QH的長(用含t的式子表示)；依點P的變化，是否存在t的值，使以P,H,Q為頂點的三角形與△COQ相似?若存在，求出

所有t的值;若不存在，說明理由.(第9題)參考答案與解析C［解析］^得出A點的坐標(biāo)是(1,1),所以平移后以A點為頂點的解析式為y=(x-1)2+1.D［解析］①由拋物線的對稱軸為直線x=1，一個交點A(-1,0),得到另一個交點坐標(biāo)，利用圖象即可對于選項①作出判斷;根據(jù)拋物線開口方向判定a的符號，由對稱軸方程求得b與a的關(guān)系是b=-2a,將其代入(3a+b)，并判定其符號；棍蝎兩根之祝亍=一軌得列“=-刖無啟棍據(jù)「的取值也圄利用不等武的性匪來求<=的取值趙囲$la頂點坐標(biāo)優(yōu)人兩數(shù)烯析式得到n=乩亠5-\-c=-e利用c的取值范圍可以求得n的取值范圍.AL解析1因為心所?？蓪⒍切蜛BC饒點A徒轉(zhuǎn)9F變成dW屯.進(jìn)擇圏曲面親就轉(zhuǎn)ft為求悌形椚面鳳過點D佑DFLA件這擇氏=-y-FD.已知CD=Jt+根據(jù)勾股定理.得FC=￥■卅pFD=瞬么AC=AB,=FD=^x.5JD=K=^AC=———一———=—+所iy四邊形Aucn的面駅$=—CT-,1WyW5［解析］將x=0,x=2分別代入y=(x-2)2+1求出y的取值范圍為1WyW5,注意本題切忌直接將x=0,x=3代入，要考慮二次函數(shù)的對稱軸二邊增減性，1.5［解析］二次函數(shù)的解析式為y=X2-4x+5,y=y,m2-4m=(m+1)2-4(m+1),解得m=1.5.6.2015［解析］依題意知m2-2m-1=0,得m2-2m=1,所以2m2-4m+2013=2(m2-2m)+2013=2015.

7.⑴設(shè)拋物線頂點為E,根據(jù)題意，得E(2,3),設(shè)拋物線解析式為y二a(x-2)2+3,將堡每戟人*得0=4+3+aid=■-.則拋物斂席析式為工=-號口一廳+盤=-￡■護(hù)+加(訂設(shè)直線AC舒析孟為丿=鬼十觸也尹心?u+i=a,r=T'§t^AC.解折武燉=—r+3.b=3.與攤物統(tǒng)芾析式聯(lián)立?得解得工=1+解得工=1+—叫二則點D生標(biāo)迤CDCD由于竝物線$=號諮+加+聽再經(jīng)過血煒山片

所戲0=^X4斗26+6育、解得鳥=473.所嘆拋鞫踐的解析式為丫七忙-4需工十市屁海攤勒炭』=芻沁+張+&島配方?得4)24)2G所以頂點F的墜標(biāo)為牌’-273).令^=0.^^(^—4)J-2jI=0+刪得盤」=2皿=矗所取點B的寶標(biāo)足(AD).(貯在亢線》=孤上存茬占D，便四邊形CJFED溝平行回邊瞰理由如下M設(shè)直裟FE的解析丈為$=益+爪把目〔鴿OAF〔叭分別代A.得鍛分別代A.得鍛+矗=趴応》」嗣爭袴左=43、b=6-Z3.聽淑苴茂P/S的解析瓷加y=屈上2.兄直線(Q的解析式溝**打小聽U1宜毀PE^OD.盤儘血娥OF的堺析武為嚴(yán)叫」巴/