中考總溫習(xí)：圖形的類似--常識解說（進步）【考綱要求】了解線段的比、成份額線段、黃金分割、類似圖形有關(guān)概念及性質(zhì)．探究并把握三角形類似的性質(zhì)及條件，并能使用類似三角形的性質(zhì)處理簡略的實踐問題．把握圖形位似的概念，能用位似的性質(zhì)將一個圖形擴大或縮小．它的坐標(biāo)，靈活運用不同辦法確認物體的方位．【常識網(wǎng)絡(luò)】類似多邊形的特征類似的圖形概念圖形 相似三角的相似

識別辦法性質(zhì)

界說兩角對應(yīng)持平兩頭對應(yīng)成份額且夾角持平三邊對應(yīng)成份額對應(yīng)角持平對應(yīng)高線、周長的比等于類似比面積的比等于相似比的平方使用:處理實踐問題位似圖形與坐標(biāo)

用坐標(biāo)來確認方位圖形的運動與坐標(biāo)【考點整理】考點一、份額線段份額線段的相關(guān)概念假如選用同一長度單位量得兩條線段a，b的長度別離為m，n，那么就說這兩條線段的比是mn，或?qū)懗蒩：b=m：n.在兩條線段的比a：b中，a叫做比的前項，b叫做比的后項.在四條線段中，假如其間兩條線段的比等于別的兩條線段的比，那么這四條線段叫做成份額線段，簡稱份額線段.若四條a，b，c，d滿意或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做組成份額的項，線段a，d叫做份額外項，線段b，c叫做份額內(nèi)項.a b如果作為比例內(nèi)項的是兩條相同的線段，即例中項.2、份額的性質(zhì)

b c或a：b=b：c，那么線段b叫做線段a，c的比①a：b=c：dad=bc②a：b=b：cb2ac.更比性質(zhì)（交流份額的內(nèi)項或外項）acc dd bdc

bd （交換內(nèi)項）ca （交換外項）ba （同時交換內(nèi)項和外項）a c b d反比性質(zhì)（交換比的前項、后項）：

b d a c合比性質(zhì)：

c abcdd bda（5）

cem (bacema等比 b性

df n d bd fnbfn0)3、黃金分割把線段ABAC，BC（AC>BC），而且使AC是ABBC的份額中項，叫做把線段AB黃金分割，5 1點C叫做線段AB的黃金分割點，其中AC=考點二、類似圖形

AB0.618AB.2也就是說：兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作由另一個圖形放大或縮小得到的.(全等是特殊的相似圖形).類似多邊形的性質(zhì)：類似多邊形的對應(yīng)角持平，對應(yīng)邊成的比持平.類似多邊形的周長的比等于類似比，類似多邊形的面積的比等于類似比的平方.類似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等.都等于類似比.相似三角形的周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方.【要害詮釋】結(jié)合兩個圖形類似，得出對應(yīng)角持平，對應(yīng)邊的比持平，這樣能夠由題中已知條件求得其它角的度數(shù)和線段的長.對于復(fù)雜的圖形，采用將部分需要的圖形(或基本圖形)“抽”出來的辦法處理.類似三角形的斷定：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個三角形相似；如果兩個三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個三角形相似；如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似.等，那么這兩個三角形類似.考點三、位似圖形位似圖形的界說：兩個多邊形不只類似，而且對應(yīng)極點的連線相交于一點，不通過交點的對應(yīng)邊相互平行，像這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫位似中心.位似圖形的分類：外位似：位似中心在連接兩個對應(yīng)點的線段之外.內(nèi)位似：位似中心在連接兩個對應(yīng)點的線段上.位似圖形的性質(zhì)位似圖形的對應(yīng)點和位似中心在同一條直線上；位似圖形的對應(yīng)點到位似中心的間隔之比等于類似比；位似圖形中不通過位似中心的對應(yīng)線段平行.【要害詮釋】位似圖形是一種特別的類似圖形，而類似圖形未必能構(gòu)成位似圖形.作位似圖形的過程第一步：在原圖上找若干個要害點，并任取一點作為位似中心；第二步：作位似中心與各要害點連線；第三步：在連線上取要害點的對應(yīng)點，使之滿意放縮份額；第四步：依次銜接截取點.【要害詮釋】在平面直角坐標(biāo)系中，假如位似改換是以原點為位似中心，類似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于k或-k.【典型例題】類型一、份額線段1,23數(shù)則這個數(shù)是 .剖析：這是一道開放型試題,因為題中沒有奉告構(gòu)成份額的各數(shù)次序,故應(yīng)考慮各種或許方位.【思路指點】這是一道開放型試題,因為題中沒有奉告構(gòu)成份額的各數(shù)次序,故應(yīng)考慮各種或許方位.【答案與解析】依據(jù)份額式的概念，可得：31×3÷2= ；22×3÷1=23231×2÷3=3【總結(jié)提高】要構(gòu)成一個份額式，依據(jù)份額式的概念：假如其間兩條線段的乘積等于別的兩條線段的乘積，則四條線段叫成份額線段．觸類旁通：【變式】將一個菱形放在2倍的放大鏡下，則下列說法不正確的是()A．菱形的各角擴大為本來的2B2倍C2D4【答案】A.類型二、類似圖形（2015資陽）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=，1E、FAB上兩動點，且∠ECF=45°，過點E、F別離作BCAC的垂線相交于點M，垂足別離為H、G．現(xiàn)有以下定論：①AB=；②當(dāng)點E與點B重合時，MH=；③AF+BE=E；F④MG?MH=，其中正確結(jié)論為（）A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④【思路指點】使用類似三角形的特征和等高三角形的面積比等于底邊之比高之比）.【答案】C.【解析】解：①由題意知，△ABC是等腰直角三角形，∴AB==，故①正確；②如圖1，當(dāng)點E與點B重合時，點H與點B重合，⊥，∠90，∵MG⊥AC，∴90∠∠，∴MG∥BC，四邊形MGCB是矩形，∴MH=MB=C，G∵∠FCE=45°=∠ABC，∠A=∠ACF=45°，∴CE=AF=B，F(xiàn)∴FG是△ACB的中位線，∴GC=AC=M，H故②正確；③如圖2所示，

（共底三角形的面積之比等于∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠A=∠5=45°．將△ACF順時針旋轉(zhuǎn)90°至△BCD，則CF=CD，∠1=∠4，∠A=∠6=45°；BD=AF；∵∠2=45°，∴∠1+∠3=∠3+∠4=45°，∴∠DCE=∠2．在△ECF和△ECD中，，∴△ECF≌△ECD（SAS），∴EF=DE．∵∠5=45°，∴∠BDE=90°，∴DE，即EF2=BD2+BE2=AF2+BE22，故③過錯；④∵∠7=∠1+∠A=∠1+45°=∠1+∠2=∠ACE，∵∠A=∠5=45°，∴△ACE∽△BFC，∴=，∴AE?BF=AC?BC=1，由題意知四邊形CHMG是矩形，∴MG∥BC，MH=C，GMG∥BC，MH∥AC，∴=；=，，∴MG=AE；MH=BF，∴MG?MH=AE?BF=AC?BC=，故④正確．故選：C．【總結(jié)提高】考察了類似形歸納題，觸及的常識點有：等腰直角三角形的斷定和性質(zhì)，矩形的斷定和性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，勾股定理，類似三角形的斷定和性質(zhì)等，歸納性較強，有必定的難度．3．（2015杭州模擬）ABCDFABEBCAF=EC，EF，DEDF，MFEMCFEDCN4DN=D；G②△BFG∽△EDG∽△BDE；③CM筆直BD；④若MC=，則BF=2；正確的定論有（）A．①②B．①②③C．②③④D．①②③④【思路指點】依據(jù)正方形的性質(zhì)可得AD=CD，然后使用“邊角邊”證明△ ADF和△CDE全等，依據(jù)全三角形對應(yīng)角相等可得∠ADF=∠CDE，然后求出∠EDF=∠ADC=9°0，而∠DGN=4°5+∠FDG，∠DNG=4°5+∠CDE，∠FDG≠∠CDE，于是∠DGN≠∠DNG，判斷出①錯誤；根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DE=DF，然后判別出△ DEF是等腰直角三角形，依據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠DEF=45°，再依據(jù)兩組角對應(yīng)持平的三角形類似得到△ BFG∽△EDG∽△BDE，判別出②正確；銜接BM、DM，依據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BM=DM=EF，然后判別出直線CM筆直平分BD，判別出③正確；過MMH⊥BCHMCH=4°5MH，再依據(jù)三角形的中位線平行于第三邊而且等于第BF=2MH，判別出④正確．【答案】C.【答案與解析】ABCDAD=CD，在△ADF和△CDE中，，∴△ADF≌△CDE（SAS），∴∠ADF=∠CDE，DE=DF，∴∠EDF=∠FDC+∠CDE=∠FDC+∠ADF=∠ADC=9°0，∴∠DEF=45°，∵∠DGN=4°5+∠FDG，∠DNG=4°5+∠CDE，∠FDG≠∠CDE，∴∠DGN≠∠DNG，∵△DEF是等腰直角三角形，∵∠ABD=∠DEF=45°，∠BGF=∠EGD（對頂角持平），∴△BFG∽△EDG，∵∠∠5，∠∠，∴△EDG∽△BDE，∴△BFG∽△EDG∽△BDE，故②正確；銜接BM、DM．∵△AFD≌△CED，∴∠FDA=∠EDC，DF=DE，∴∠FDE=∠ADC=90，∵M是EF∴MD=∵BM=∴MD=M，B在△DCM與△BCM中，，∴△DCM≌△BCM（∴∠BCM∠=DCM，∴CM在正方形ABCD的角平分線AC上，∴MC筆直平分BD；故③正確；過點M作MH⊥BC于H，則∠MCH=45，∵MC=，∴MH=×=1，∵M是EFBF⊥BC，MHBC，∴MH是△BEF的中位線，∴BF=2MH=，2綜上所述，正確的定論有②③④．故選C．【總結(jié)提高】本題考察了正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的斷定與性質(zhì)，類似三角形的斷定與性質(zhì)，等腰直角三角形的斷定與性質(zhì)，到線段兩端點間隔持平的點在線段的筆直平分線，三角形的中位線平行于第三邊而且等于第三邊的一半，熟記各性質(zhì)與定理并作輔助線是解題的要害．觸類旁通：【變式（】湖南懷化）ADBCBC=40cm,AD=30cm,從這張硬紙片上剪下一個長HG是寬HE的2倍的矩形EFGH，使它的一邊EF在BC上，極點G、H別離在AC，ABADHGM.AMHGADBCEFGH的周長.【答案】（1）EFGH為矩形，∴EF∥GH，∴∠AHG=∠ABC，∴△AHG∽△ABC，AMHG∴ADBC ；（2）解：由（HE=xcm，MD=HE=，x∵AD=30，∴AM=30-x，∵HG=2H，E∴HG=2x，AM=AD-DM=AD-HE=30（-xcm），

AMHGADBC30-x2x ，3040可得2x=24EFGH2×（12+24）=72（cm）．EFGH72cm．OA的坐標(biāo)為8，0BCB8，6，C0，6OABCOOABCOABC別離與直線BC相交于點P、Q．BP（1）四邊形OABC的形狀是，當(dāng)90°時， BQ 的值是；（2）①如圖1，當(dāng)四邊形OABC的極點B落在y軸正半軸時，求BP 的值BQ②如圖2，當(dāng)四邊形OABC的極點B落在直線BC上時，求△OPB的面積．旋轉(zhuǎn)

1（3）OABC

過程中，當(dāng) 0≤180°時，是否存在這樣的點P和點Q，使 BPBQ？2若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【思路指點】（1）依據(jù)有一個角是直角的平行四邊形即可得出四邊形OA′B′C′是矩形，當(dāng)α=90°時，BP4BPBP4BP4PQ3，根據(jù)比例的性質(zhì)得出 BQ79（2）①由△ COP∽△A'OB'，依據(jù)類似三角形對應(yīng)邊成份額得出CP=2CQ=3BQ，則可求；AAS證明△OCP△B'A'POP=B'P，即可求出；

，同理由△B'CQ∽△B'C'O，得出（3）當(dāng)點P坐落點B的右側(cè)時，過點Q畫QH⊥OA′于H，銜接OQ，則QH=O′C=OC，依據(jù)S△POQ=S，△POQ即可證明出PQ=O；P25設(shè)BP=x，在Rt△PCO中，運用勾股定理，得出x= 4 ，進而求得點P的坐標(biāo)．（1）∵OA的坐標(biāo)為（-8，0），BCB（-8，6），C（0，6），∴OA=BC=，8OC=AB=，6OABC的形狀是矩形；當(dāng)α=90°PC重合，如圖，BP 84根據(jù)題意，得BP 4

PQ 63 ，則 7；BQ（2）①1POC=∠B'OAPCO=∠OA'B'=90°，∴△COP∽△A'OB'，CPOC CP6∴ABOA ，即68 ，97.∴CP=,BP=BC－CP=22同理△B'CQ∽△B'C'O，CQBC CQ，即OCBC68∴CQ=3，BQ=BC+CQ=1，17

106 ，BP 7∴BQ 2 ;1122②圖2，在△OCP和△B′A′P中，，∴△OCP≌△B′A′P（AAS）．∴OP=B′P．設(shè)B′P=x，RtOCP中，（8-x）25

x，解得x= 4 ．S∴S△

125′= 24

6=75；4（3）過點Q作QH⊥OA′于H，銜接OQ，則QH=O′C=OC，1 1∵S =2PQ?OC，S△POQ= 2OP?QH，∴PQ=O．P△POQ設(shè)BP=x，1BQ，∴BQ=2x，2∵BP=如圖4，當(dāng)點P在點B左邊時，OP=PQ=BQ+BP=，3xRtPCO中，（8+x）

=（x），x=1+

3 36，x=1- 6（不符實際，舍去）1 2 2 23 6，∴PC=BC+BP=9+232∴P（-9- 6，6）．215PB右側(cè)時，∴OP=PQ=BQ-BP=，xPC=8-x．在△O中，（x） 25 74 =4，

．，解得=4∴PC=BC-BP=8-74∴P（- ，6），423綜上可知，存在點（ 6

76，），6BP=

1BQ．2

P -9-1

2 ，6），P（- 42【總結(jié)提高】本題考察了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的斷定與性質(zhì)，類似三角形的斷定與性質(zhì)，勾股定理．特別注意在旋轉(zhuǎn)的過程中的對應(yīng)線段持平，能夠用一個不知道數(shù)表明同一個直角三角形的不知道邊，依據(jù)勾股定理列方程求解．EABCDABEFDEBCF．①求證：ADE∽BEF；4AEx，BF=yxy有最大值?并求出這個最大值．【思路指點】本題觸及到的考點有類似三角形的斷定與性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值以及正方形的性質(zhì)．【答案與解析】（1）證明：∵ABCD是正方形，∴∠DAE=∠EBF=90°，∴∠ADE+∠AED=90°，又EF⊥DE，∴∠AED+∠BEF=90°，∴∠ADE=∠BEF，∴△ADE∽△BEF由（1）ADEBEF，AD=4，BE=4-xBFBE得：AEAD414

，即：1

y4xx4 ，y=

x=

4(x2)

2（0＜x＜4）（3