..>基于ANSYS的圣維南原理數(shù)值驗(yàn)證謝友增〔航空工程學(xué)院航空宇航制造工程1201041〕一引言在軸向拉伸或壓縮時(shí)，可以假設(shè)：變形前原為平面的橫截面，變形后仍保持為平面且仍垂直于軸線。根據(jù)這一平面假設(shè)，可以推斷，桿件所有縱向纖維的伸長(zhǎng)或壓縮是相等的，因此各縱向纖維的受力是一樣的。我們得到，橫截面上各點(diǎn)應(yīng)力相等，于是得到〔1.1〕式中：—軸力—橫截面積假設(shè)以集中力作用于桿件端面上，則集中力作用點(diǎn)附近區(qū)域內(nèi)的應(yīng)力分布比較復(fù)雜，公式〔1.1〕只能計(jì)算這個(gè)區(qū)域內(nèi)橫截面上的平均應(yīng)力，不能描述作用點(diǎn)附近的真實(shí)情況。這就引出，端截面上外力作用方式不同，將有多大影響的問(wèn)題。實(shí)際上，在外力作用區(qū)域內(nèi)，外力分布方式有各種可能。例如在圖1a和b中，鋼索和拉伸試樣上的拉力作用方式就是不同的。不過(guò)，如用與外力系靜力等效的合力來(lái)代替原力系。則除在原力系作用區(qū)域內(nèi)有明顯差異外，在離外力系作用區(qū)域略遠(yuǎn)處〔例如，距離約等于截面尺寸處〕，上述代替的影響就非常微小，可以不計(jì)。這就是圣維南原理。根據(jù)這一原理，圖1a和b所示桿件雖上端外力的作用方式不同，但可用其合力代替，這就簡(jiǎn)化成一樣的計(jì)算簡(jiǎn)圖〔圖1c〕。在距離端截面略遠(yuǎn)處都可以用公式〔1.1〕計(jì)算應(yīng)力。圖1外力作用方式不同的桿件圣維南原理提出至今已有一百多年的歷史，雖然還沒有確切的數(shù)學(xué)表示和嚴(yán)格的理論證明，但無(wú)數(shù)的實(shí)際計(jì)算和實(shí)驗(yàn)測(cè)量都證實(shí)了它的正確性。本文將利用ANSYS軟件，通過(guò)對(duì)實(shí)例模型的數(shù)值分析計(jì)算，證明圣維南原理。選擇建立一個(gè)二維平面模型作為研究對(duì)象，然后對(duì)此模型進(jìn)展數(shù)值證明。分別對(duì)平面模型兩端施加均布載荷，以及與此集中力靜力等效的集中力載荷。繪制應(yīng)力圖以及路徑圖，比較兩種情況下其所受的平均應(yīng)力分布情況，從而利用此結(jié)果證明圣維南原理。運(yùn)用ANSYS軟件可以簡(jiǎn)單直觀的證明圣維南原理，從而可以更加深刻的理解圣維南原理。二ANSYS軟件簡(jiǎn)介ANSYS公司是由美國(guó)著名力學(xué)專家、美國(guó)匹茲堡大學(xué)力學(xué)教授JohnSwanson博士于1970年創(chuàng)立并開展起來(lái)的，總部設(shè)在美國(guó)賓夕法尼亞州的匹茲堡，是目前世界CAE行業(yè)中最大的公司。ANSYS軟件是集構(gòu)造、熱、流體、電磁場(chǎng)、聲場(chǎng)和耦合場(chǎng)分析于一體的大型通用有限元軟件。可廣泛用于核工業(yè)、鐵道、石油化工、航空航天、機(jī)械制造、能源、汽車交通、國(guó)防軍工、電子、土木工程、造船、生物醫(yī)學(xué)、輕工、地礦、水利、日用家電等一般工業(yè)及科學(xué)研究。該軟件可在大多數(shù)計(jì)算機(jī)及操作系統(tǒng)中運(yùn)行，從PC機(jī)到工作站直至巨型計(jì)算機(jī)，ANSYS文件在其所有的產(chǎn)品系列和工作平臺(tái)上均兼容。ANSYS軟件多物理場(chǎng)耦合的功能,允許在統(tǒng)一模型上進(jìn)展各式各樣的耦合計(jì)算,如：熱—流體耦合,磁—電耦合,以及電—磁—流體—熱耦合，確保了所有的ANSYS用戶的多領(lǐng)域多變工程問(wèn)題的求解。ANSYS基于Motif的菜單系統(tǒng)是用戶能夠通過(guò)對(duì)話框、下拉菜單和子菜單進(jìn)展數(shù)據(jù)輸入和功能選擇，為用戶使用ANSYS提供"導(dǎo)航〞。ANSYS軟件提供了一個(gè)不斷改進(jìn)的功能清單，具體包括：ANSYS采用了牛頓-拉普森迭代求解，并為了增強(qiáng)問(wèn)題的收斂性，提供了自適應(yīng)下降、線性搜索、自動(dòng)載荷步、二分法及弧長(zhǎng)法等一系列命令。可以計(jì)算由大的位移、應(yīng)變及有限轉(zhuǎn)動(dòng)引起的構(gòu)造幾何非線性問(wèn)題、與時(shí)間有關(guān)的材料非線性問(wèn)題以及接觸引起的狀態(tài)非線性問(wèn)題。ANSYS熱分析基于能量守恒原理的熱平衡方程，用有限元法計(jì)算各節(jié)點(diǎn)的溫度，并導(dǎo)出其它熱物理參數(shù)。包括熱傳導(dǎo)、熱對(duì)流及熱輻射三種傳導(dǎo)方式。此外，還可以分析相變、有內(nèi)熱源、接觸熱阻等問(wèn)題。熱分析用于計(jì)算一個(gè)系統(tǒng)或部件的溫度分布，如熱量獲取或損失、熱梯度、熱流密度等。ANSYS可分析電磁場(chǎng)的多方面問(wèn)題，如電感、電容、磁通量密度、渦流、電場(chǎng)分布、磁力線、力、運(yùn)動(dòng)效應(yīng)、電路和能量損失等。可用于有效地分析下面所列的各類設(shè)備：電力發(fā)電機(jī)、變壓器、螺線管傳動(dòng)器、電動(dòng)機(jī)、磁成像系統(tǒng)、圖象顯示設(shè)備傳感器、磁懸浮裝置、波導(dǎo)、開關(guān)等。ANSYS提供了兩種優(yōu)化方法，它們可以處理大多數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題。零階方法是一個(gè)很完美的處理方法，可以很有效的處理大多數(shù)的工程問(wèn)題。一階方法基于目標(biāo)函數(shù)對(duì)設(shè)計(jì)變量的敏感程度，因此更加適合于準(zhǔn)確的優(yōu)化分析。優(yōu)化中ANSYS采用一系列的分析-評(píng)估-修正的循環(huán)過(guò)程，這個(gè)過(guò)程重復(fù)進(jìn)展直到所有設(shè)計(jì)滿足要求為止。ANSYS程序中的FLOTRANCFD分析功能是一個(gè)用于分析二維及三維流體流動(dòng)場(chǎng)的先進(jìn)的工具，可解決如下的問(wèn)題：作用于氣動(dòng)翼型上的升力和阻力；超音速噴管中的流場(chǎng)；彎管中流體的復(fù)雜的三維流動(dòng)；計(jì)算發(fā)動(dòng)機(jī)排氣系統(tǒng)中氣體壓力及溫度分布；研究管路系統(tǒng)中熱的層化及別離；使用混合流研究來(lái)估計(jì)熱沖擊的可能性；用自然對(duì)流分析估計(jì)電子封裝芯片的熱性能；對(duì)含有多種流體的熱交換器進(jìn)展研究。ANSYS參數(shù)設(shè)計(jì)語(yǔ)言〔APDL〕的擴(kuò)展宏命令功能APDL有參數(shù)、數(shù)組參數(shù)、表達(dá)式和函數(shù)、分支和循環(huán)、重復(fù)和縮寫、宏以及用戶程序等功能。ANSYS有限元典型分析大致分為3個(gè)步驟：①建立有限元模型；②加載和求解；③結(jié)果后處理和結(jié)果查看。三利用ANSYS軟件驗(yàn)證圣維南原理根據(jù)ANSYS有限元典型分析的3個(gè)步驟進(jìn)展圣維南原理的數(shù)值驗(yàn)證。1建立有限元模型〈1〉設(shè)置單元屬性ANSYS中，常用的單元屬性包括單元類型、單元實(shí)常數(shù)、材料屬性。在這里為了獲得較好的計(jì)算精度，采用四節(jié)點(diǎn)四邊形板單元〔plane42〕。單元實(shí)常數(shù)確實(shí)定依賴于單元類型的特性，實(shí)常數(shù)的目的是用于補(bǔ)充必要的幾何信息和據(jù)算參數(shù)，這里無(wú)需定義。〈2〉建立實(shí)體模型平面可以表示二維實(shí)體，為簡(jiǎn)化計(jì)算，建立二維平面模型。模型尺寸為長(zhǎng)20cm寬6cm。〈3〉為實(shí)體模型分配單元屬性根據(jù)有限元理論，最終的有限元計(jì)算利用的是有限元模型，實(shí)體模型是不能進(jìn)展有限元計(jì)算的。在對(duì)實(shí)體模型進(jìn)展網(wǎng)格劃分前，要為實(shí)體模型分配單元屬性。將前面定義的單元屬性賦予實(shí)體模型。〈4〉對(duì)實(shí)體模型進(jìn)展網(wǎng)格劃分ansys有兩種方式對(duì)實(shí)體模型進(jìn)展網(wǎng)格劃分。①自由網(wǎng)格劃分該操作對(duì)實(shí)體模型無(wú)特殊要求、任何幾何模型，即使是不規(guī)則的，也可以進(jìn)展網(wǎng)格劃分。②映射網(wǎng)格劃分映射網(wǎng)格劃分要求被劃分的對(duì)象如面或體必須形狀規(guī)則。在這里由于模型簡(jiǎn)單，采用自由網(wǎng)格劃分的方式對(duì)實(shí)體模型進(jìn)展網(wǎng)格劃分。建立的有限元模型如圖2所示圖2建立的有限元模型通過(guò)實(shí)用菜單List可以查看在建立的有限元模型中生成的節(jié)點(diǎn)以及單元的數(shù)量和屬性，圖3為列表顯示的節(jié)點(diǎn)和單元的相關(guān)信息，包括單元屬性以及該單元包含哪些節(jié)點(diǎn)。圖3單元以及節(jié)點(diǎn)列表從列表中可以看出一共生成1216個(gè)單元和1300個(gè)節(jié)點(diǎn)。2加載和求解〈1〉施加載荷及約束有限元模型建立完畢后，要為模型施加一定的鼓勵(lì)，并根據(jù)問(wèn)題的要求設(shè)置一定的邊界條件。先在模型邊界施加面力167N，繪制模型施加面力的應(yīng)力分布圖和路徑圖，然后給模型施加與之等效的集中力載荷〔主矢量一樣，對(duì)于同一點(diǎn)的主矩也一樣〕1000N，繪制模型施加面力的應(yīng)力分布圖和路徑圖，進(jìn)展比較。本次求解設(shè)置的集中力為載荷對(duì)稱載荷，因此可以對(duì)模型中間線上的所有節(jié)點(diǎn)設(shè)置邊界條件，設(shè)置節(jié)點(diǎn)所有的自由度為0。施加完集中力載荷以及約束后的有限元模型如圖4.圖4施加載荷及約束后的有限元模型〈2〉求解定義分析類型為靜態(tài)分析，單擊求解命令，ANSYS就可以進(jìn)展分析計(jì)算。求解之前ANSYS會(huì)彈出狀態(tài)文本框和求解確認(rèn)對(duì)話框〔列舉本次分析的相關(guān)信息：?jiǎn)栴}維數(shù)、分析類型、載荷步和子步的設(shè)置等〕如圖5所示，確認(rèn)無(wú)誤后，便可進(jìn)展求解。圖5狀態(tài)文本框和求解確認(rèn)對(duì)話框3結(jié)果后處理和結(jié)果查看有限元模型建立并求解后，ANSYS工作目錄中會(huì)生成一個(gè)結(jié)果記錄文件，要使用通用后處理器進(jìn)展結(jié)果分析。ANSYS可以通過(guò)圖形方式顯示計(jì)算結(jié)果，可以繪制變形圖、等值圖、矢量圖等。〈1〉繪制應(yīng)力等值圖通過(guò)繪制節(jié)點(diǎn)的應(yīng)力等值圖，可以查看模型內(nèi)部應(yīng)力具體分布形式及其大小，圖6為施加均布載荷節(jié)點(diǎn)解的應(yīng)力等值圖，圖7為施加集中力載荷節(jié)點(diǎn)解的應(yīng)力等值圖。圖6施加均布載荷節(jié)點(diǎn)解的應(yīng)力等值圖圖7施加集中力載荷的節(jié)點(diǎn)解應(yīng)力等值圖〈2〉繪制路徑圖為了驗(yàn)證圣維南原理，采取路徑操縱的方式，通過(guò)繪制特定的路徑，查看路徑上的應(yīng)力分布情況，從而驗(yàn)證圣維南原理。①定義路徑〔9,3〕到〔9，-3〕，將要查看的結(jié)果數(shù)據(jù)映射到該路徑上，繪制路徑圖。圖8為施加集中力載荷模型，路徑〔9,3〕到〔9，-3〕的路徑等值圖。圖8點(diǎn)〔9,3〕到〔9，-3〕應(yīng)力分布路徑圖原圖較小，可放大后進(jìn)展查看，從圖中可以看出，在距離端截面很近的地方，應(yīng)力分布差異是非常大的，而且應(yīng)力分布復(fù)雜，因此不能采用計(jì)算平均應(yīng)力的方法來(lái)計(jì)算該區(qū)域的應(yīng)力。②定義路徑〔4,3〕到〔4，-3〕，將要查看的結(jié)果數(shù)據(jù)映射到該路徑上，繪制路徑圖。圖9為施加集中力載荷模型，路徑〔4,3〕到〔4，-3〕的路徑等值圖，圖10為路徑曲線圖。圖9點(diǎn)〔4,3〕到〔4，-3〕應(yīng)力分布路徑圖圖10點(diǎn)〔4,3〕到〔4，-3〕應(yīng)力分布路徑圖③定義路徑〔9,3〕到〔9，-3〕，將要查看的結(jié)果數(shù)據(jù)映射到該路徑上，繪制路徑圖。圖11為施加均布載荷模型，路徑〔9,3〕到〔9，-3〕的路徑等值圖。圖11點(diǎn)〔9,3〕到〔9，-3〕應(yīng)力分布路徑圖④定義路徑〔4,3〕到〔4，-3〕，將要查看的結(jié)果數(shù)據(jù)映射到該路徑上，繪制路徑圖。圖12為施加均布載荷模型，路徑〔4,3〕到〔4，-3〕的路徑等值圖，圖13為路徑曲線圖。圖12點(diǎn)〔4,3〕到〔4，-3〕應(yīng)力分布路徑圖圖13點(diǎn)〔4,3〕到〔4，-3〕應(yīng)力分布路徑圖比較圖8和圖11可以看出在與均布載荷等效的集中力載荷作用下，近處的應(yīng)力分布明顯改變；從圖9和圖10可以看出，在作用與均布載荷等效的集中力載荷下，在距離端截面一定距離〔距離約等于截面尺寸處〕，應(yīng)力分布相對(duì)均勻，最大應(yīng)力與最小應(yīng)力之差與最大應(yīng)力之比約為6%；比較圖9和圖11以及圖10和圖13可以看出施加均布載荷與施加集中力載荷在距端面一定距離處作用效果相似，同一路徑上應(yīng)力分布相差不大，從而利用公式〔1.1〕就可以計(jì)算該區(qū)域的平均應(yīng)力，這樣計(jì)算的結(jié)果影響較小可忽略不計(jì)。這說(shuō)明用與面力等效的集中力載荷代替分布載荷時(shí)，近處的應(yīng)力分布將有顯著的改變，但是遠(yuǎn)處所受的影響可以不計(jì)。因此，從應(yīng)力分布圖可以驗(yàn)證圣維南原理。4結(jié)論通過(guò)ANSYS數(shù)值驗(yàn)算可以外表：如果把物體的一小局部邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的集中力〔主矢量一樣，對(duì)于同一點(diǎn)的主矩也一樣〕，則，近處的應(yīng)力分布將有顯著的改變，但是遠(yuǎn)處所受的影響可以不計(jì)。從而驗(yàn)證了圣維南原理的正確性。四小結(jié)通過(guò)有限元法以非常直觀簡(jiǎn)單的方法驗(yàn)證了圣維南原理的正確性，加深了對(duì)圣維南原理的理解。借助ANSYS這一強(qiáng)大的有限元計(jì)算軟件，可以解決許多解析計(jì)算中無(wú)法解決的問(wèn)題。但是