絕密★啟用前2023~2024學年高二年級5月聯合測評數學試題試卷滿分：150分考試用時：120分鐘注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設全集，集合，，則（）A. B.C. D.2.已知為虛數單位，復數，為的共軛復數，則（）A. B.5 C. D.43.在各項均為正數的等比數列中，，，成等差數列，若，則（）A.14 B.28 C.42 D.564.從0，2，4中任取2個數字，從1，3，5中也任取2個數字，能組成無重復數字的四位數的個數為（）A.240 B.216 C.180 D.1085.已知，分別為雙曲線：的上、下兩個焦點，點恰為拋物線：的焦點，記點為兩曲線的一個公共點，且，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.6.湖北武漢的黃鶴樓是中國古代四大名樓之一，因唐代詩人崔顥的《黃鶴樓》而名揚天下，小張同學打算利用鏡面反射法測量黃鶴樓的高度.如圖所示，小張將平面鏡置于黃鶴樓前的水平地面上，他后退至從鏡中正好能看到樓頂的位置，測量出人與鏡子的距離.沿直線將鏡子向后移距離，再次從鏡中觀測樓頂，并測量出此時人與鏡子的距離.若小張的眼睛距離地面的高度為，則黃鶴樓的高度可表示為（）A. B.C. D.7.已知球與某圓臺的上、下底面及側面均相切，若球與圓臺的表面積之比為，則球與圓臺的體積之比為（）A. B. C. D.8.正數，滿足“”的充要條件是（）A. B.C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部答對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.某不透明的盒子里裝有若干個形狀、大小、材質完全相同的紅色和黑色的小球，現從盒子里隨機抽取小球，每次抽取一個，用隨機變量表示事件“抽到的小球為紅色”發生的次數，下列說法正確的有（）A.若盒子里有2個紅色小球，4個黑色小球，從盒子里不放回地抽取小球，則第一次抽到紅色小球且第二次抽到黑色小球的概率為B.若盒子里有2個紅色小球，4個黑色小球，從盒子里有放回地抽取6次小球，則且C.若盒子里有個小球，其中紅色小球有個，從盒子里不放回地隨機抽取6個小球，且有紅色球的數學期望為2，則盒子里黑色小球的個數是紅色小球個數的2倍D.若，，，，則10.如圖，在棱長為1的正方體中，，分別是，的中點，為線段上的動點，則下列說法正確的是（）A.存在點，使得B.平面時，截正方體的截面積為C.三棱錐的外接球的表面積為D.點到平面的距離最大值為11.已知函數與的定義域均為，，，且，為偶函數，則下列選項正確的是（）A.函數的圖象關于對稱 B.C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.的展開式中的常數項為______.（請用數字作答）13.已知直線：，點，，點在直線上的射影為，則線段長度的取值范圍為______.14.已知函數，其中表示，中的最大值，若函數有3個零點，則實數的取值范圍是______.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（本小題滿分13分）數列的前項和，數列滿足，.（1）求，；（2）記，求數列的前項和.16.（本小題滿分15分）如圖，在三棱錐中，，，，，.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.17.（本小題滿分15分）每年6月中旬到7月中旬，長江中下游區域內會出現一段連續陰雨天氣，俗稱“梅雨期”.依據某地河流“梅雨期”的水文觀測點的歷史統計數據，所繪制的頻率分布直方圖如圖甲所示；依據當地的地質構造，得到水位與災害等級的頻率分布條形圖如圖乙所示.（1）以頻率作為概率，試求河流在“梅雨期”水位的第80百分位數并估計該地在今年“梅雨期”發生1級災害的概率；（2）該地河流域某企業，在今年“梅雨期”，若沒受1，2級災害影響，利潤為1000萬元；若受1級災害影響，則虧損200萬元；若受2級災害影響則虧損2000萬元.現此企業有如下三種應對方案：方案防控等級費用（單位：萬元）方案一無措施0方案二防控1級災害80方案三防控2級災害200試問，若僅從利潤考慮，該企業應選擇這三種方案中的哪種方案？并說明理由.18.（本小題滿分17分）如圖，已知橢圓的左、右頂點分別為，，其離心率為，橢圓上的點到焦點的最短距離為1.過平面上一點作橢圓的切線，，當直線與的斜率都存在時，它們的斜率之積是，當其中一條切線的斜率不存在時，則另一條直線的斜率為0，記點的軌跡為曲線.直線，分別交橢圓于點，.（1）求橢圓的標準方程；（2）求曲線的方程；（3）求面積的最大值.19.（本小題滿分17分）如圖，對于曲線，若存在圓滿足如下條件：①圓與曲線有公共點，且圓心在曲線凹的一側；②圓與曲線在點處有相同的切線；③曲線的導函數在處的導數（即曲線在點的二階導數）等于圓在點處的二階導數（已知圓在點處的二階導數等于）；則稱圓為曲線在點處的曲率圓，其半徑稱為曲率半徑.（1）求拋物線在原點的曲率圓的方程；（2）（i）求證：平面曲線在點的曲率半徑為（其中表示的導函數）；（ii）若圓為函數的一個曲率圓，求圓半徑的最小值；（3）若曲線在，處有相同的曲率半徑，求證：.

2023~2024學年高二年級5月聯合測評數學試題參考答案題號123456答案CABCAA題號7891011答案BDACBCDABD1.【答案】C【解析】，，又，.2.【答案】A【解析】由題知，則，因此，則.3.【答案】B【解析】設等比數列的公比為，有，由，，成等差數列可知，即，解方程可得（舍去），則.4.【答案】C【解析】按照是否取到0進行分類：①若從0，2，4取的2個數字中不含0，則共有個無重復數字的四位數；②若從0，2，4取的2個數字中含0，則共有個無重復數字的四位數.因此滿足條件的共有個數.5.【答案】A【解析】拋物線的定義可知，因此平行于軸，即，由拋物線的定義，可知，，因此.6.【答案】A【解析】如圖，由可知，即，由可知，即，則，可得.7.【答案】B【解析】設球的半徑為，圓臺的上、下底面半徑分別為，，圓臺的高、母線長分別為，，由表面積公式知，.8.【答案】D【解析】對于A項，當時，有，必要性不成立，故A項錯誤；對于B項，當，時，但，必要性不成立，故B項錯誤；對于C項，令函數，則，由在區間上單調遞增，，，因此存在使得，即在區間上不單調，不滿足充要條件，故C項錯誤；對于D項，令函數，有恒成立，因此是在上的增函數，當時有，即恒成立，故D項正確.9.【答案】AC【解析】對于A項，第一次抽到紅色小球且第二次抽到黃色小球的概率為，故A項正確；對于B項，有放回地抽取，，則，故B項錯誤；對于C項，依題意得，得，黑色小球的個數為，故C項正確；對于D項，，，有，解得，則，因此，故D項錯誤.10.【答案】BCD【解析】以為坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，設，，則點坐標為.對于A項：，，若，則，即，得，又，故不存在點，使得，故A項錯誤；對于B項，過點，，的截面為六邊形且六邊形為正六邊形時垂直.此時過的截面經過對稱中心，截面交，，于中點，也為中點，為的中點時，取，，的中點為，，，連接，，，，，故此時截面為正六邊形，其面積，故B項正確；對于C項，設中點，外接球球心，則面，設，，解得，，外接球表面積，故C項正確；對于D項，設平面的法向量為，，，則即取，得一個法向量；點到平面的距離，考慮到，時，最大為，故D項正確.11.【答案】ABD【解析】為偶函數，，即有，A正確；，令，可得，又，，B正確；，，①，②將①②式與聯立化簡得，，，，即與的周期均為4，，，，，C錯誤；又，，，，，，，D正確.12.【答案】10【解析】展開式的通項，為了得到常數項，與相乘的項為，即，與1相乘的項為，即，因此常數項為.13.【答案】【解析】由直線方程可知，即該直線過定點，的軌跡為以為直徑的圓，因此長度的取值范圍為.14.【答案】【解析】令，，當時，，在區間內無零點；當時，，，當，即時，為函數的零點.當時，令，則，令，則，令，則，在區間上單調遞減，區間上單調遞增，，.當時，在區間內有兩個零點.綜上，當時函數有三個零點.15.解：（1）當時，；當時，檢驗滿足成立.數列的通項為，由可知，由等比數列的定義可知，數列是以為首項，以為公比的等比數列.數列的通項公式為.（2）由（1）得，，①②①②可知，解得.16.解：在中，由，，，知，以點為原點，，所在直線為軸、軸，作平面，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，由為正三角形可知，.在中，，，，由余弦定理知，解得，設點，解得.又，，可知，，...又，平面.（2）設平面的法向量的，，.則有令可得.由（1）知，平面的一個法向量為.，二面角余弦值為.17.解：（1）頻率分布直方圖中6個小矩形的面積分別是0.1，0.25，0.3，0.2，0.1，0.05，設“梅雨期”水位的第80百分位數為，，，“梅雨期”水位的第80百分位數為.設該河流“梅雨期”水位小于為事件，水位在至為事件，水位大于為事件，，，，設該地發生1級災害為事件，由條形圖可知：，，，，，.（2）由（1）可知“梅雨期”該河流不發生災害的概率為，發生1級災害的概率為0.155，發生2級災害的概率為，設第種方案的企業利潤為，若選擇方案一，則該企業在“梅雨期”的平均利潤（萬元），若選擇方案二，則該企業在“梅雨期”的平均利潤（萬元），若選擇方案三，則該企業在“梅雨期”的平均利潤（萬元），14分由于，故企業應選擇方案二.18.解：（1），橢圓上的點到其焦點的最短距離為.因此，.由可知橢圓的標準方程為.（2）當直線，斜率存在且不為0時，設其斜率分別為，，設點，則，.將直線：代入，消去，化簡得..同理.，為關于的方程的兩個根，因此（*）.當直線，有一條的斜率不存在，另一條的斜率為0，即，時，，與橢圓相切，滿足（*）式.綜上所述，曲線的方程為.（3）由（2）知，設點，則滿足，有.將直線：代入，消去，化簡得