2019高中數學第三章數系的擴大與復數的引入測評含解析新人教A版選修12201904101222019高中數學第三章數系的擴大與復數的引入測評含解析新人教A版選修12201904101222019高中數學第三章數系的擴大與復數的引入測評含解析新人教A版選修1220190410122第三章數系的擴大與復數的引入測評(時間120分鐘,滿分150分)一、選擇題(本大題共12小題,每題5分,共60分)1.計算:i(1+i)2=()A.-2B.2C.2iD.-2i解析:i(1+i)2=i·2i=-2.答案:A2.在復平面內,復數(i是虛數單位)的共軛復數對應的點位于()A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限解析:,其共軛復數為,對應的點位于第一象限,應選D.答案:D3.若z=4+3i(i是虛數單位),則=()A.1B.-1C.iD.i解析:,應選D.答案:D4.若i是虛數單位,則等于()A.iB.-iC.1D.-1解析:由于=i,所以=i4=1.答案:C5.復數z=+(a2+2a-3)i(a∈R)為純虛數,則a的值為()A.a=0B.a=0且a≠-1C.a=0或a=-2D.a≠1或a≠-3解析:依題意得解得a=0或a=-2.答案:C6.設復數z=,此中a為實數,若z的實部為2,則z的虛部為()A.-B.-iC.-D.-i解析:z==a-i,由于z的實部為2,所以a=2,所以z的虛部為-=-.答案:C7.“m=1”是“復數z=(1+mi)(1+i)(m∈R,i為虛數單位)為純虛數”的()A.充分不用要條件B.必需不充分條件C.充要條件D.既不充分也不用要條件解析:z=(1+mi)(1+i)=1+i+mi-m=(1-m)+(1+m)i,若m=1,則z=2i為純虛數;若z為純虛數,則m=1.答案:C8.已知z1=1+i(此中i為虛數單位),設為復數z1的共軛復數,,則復數z2在復平面所對應點的坐標為()A.(0,1)B.(1,0)C.(0,2)D.(2,0)解析:由于z1=1+i,所以=1-i,由得,=1,得z2=1,z2在復平面內對應的點為(1,0),應選B.答案:B9.若z=cosθ+isinθ(i為虛數單位),則使z2=-1的θ值可能是()A.B.C.D.解析:z2=(cosθ+isinθ)2=(cos2θ-sin2θ)+2isinθcosθ=cos2θ+isin2θ=-1,所以所以2θ=2kπ+π(k∈Z),故θ=kπ+(k∈Z),令k=0知選D.答案:D10.復數z在復平面內對應的點為A,將點A繞坐標原點,按逆時針方向旋轉,再向左平移一個單位,向下平移一個單位,獲得B點,此時點B與點A恰巧對于坐標原點對稱,則復數z為()A.-1B.1C.iD.-i解析:設z=a+bi,B點對應的復數為z1,則z1=(a+bi)i-1-i=(-b-1)+(a-1)i,由于點B與點A恰巧對于坐標原點對稱,所以于是z=1.答案:B11.設z∈C,若z2為純虛數,則z在復平面上的對應點落在()A.實軸上B.虛軸上C.直線y=±x(x≠0)上D.以上都不對解析:設z=a+bi(a,b∈R),由于z2=a2-b2+2abi為純虛數,所以所以a=±b,即z在復平面上的對應點在直線y=±x(x≠0)上.答案:C12.復數z=(x-2)+yi(x,y∈R)在復平面內對應向量的模為2,則|z+2|的最大值為()A.2B.4C.6D.8解析:由于|z|=2,所以=2,即(x-2)2+y2=4,故點(x,y)在以(2,0)為圓心,2為半徑的圓上,而|z+2|=|x+yi|=,它表示點(x,y)到原點的距離,聯合圖形易知|z+2|的最大值為4,應選B.答案:B二、填空題(本大題共4小題,每題5分,共20分)13.若(i為虛數單位),則復數z等于.?解析:由于,所以z==-2i.答案:-2i14.若(1+2ai)i=1-bi,此中a,b∈R,i是虛數單位,則|a+bi|=.解析:由題意得-2a+i=1-bi,所以解得a=-,b=-1,所以|a+bi|=.答案:15.在復平面內,復數1+i與-1+3i分別對應向量,此中O為坐標原點,則||=.?解析:=(-1+3i)-(1+i)=-2+2i,所以||=2.答案:216.導學號40294030若復數z知足z+z+=3,則復數z在復平面內對應點的軌跡所圍成圖形的面積等于.?解析:設z=x+yi(x,y∈R),則有(x+yi)(x-yi)+(x+yi)+(x-yi)=3,即x2+y2+2x-3=0,所以(x+1)2+y2=4,故復數z在復平面內對應點的軌跡是一個圓,其面積等于π·22=4π.答案:4π三、解答題(本大題共6小題,共70分)17.(本小題滿分10分)已知復數z=(2+i)m2--2(1-i),當實數m取什么值時,復數z是:(1)虛數;(2)純虛數.解:z=(2+i)m2-3m(1+i)-2(1-i)=(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i,(1)當m2-3m+2≠0,即m≠2且m≠1時,z為虛數.(2)當即m=-時,z為純虛數.18.(本小題滿分12分)若z知足z-1=(1+z)i,求z+z2的值.解:由于z-1=(1+z)i,所以z==-i,所以z+z2=-i+=-i+=-1.19.(本小題滿分12分)已知復數z知足z=(-1+3i)·(1-i)-4.(1)求復數z的共軛復數;(2)若w=z+ai,且復數w對應向量的模不大于復數z所對應向量的模,務實數a的取值范圍.解:(1)z=-1+i+3i+3-4=-2+4i,所以復數z的共軛復數為-2-4i.(2)w=-2+(4+a)i,復數w對應的向量為(-2,4+a),其模為.又復數z所對應向量為(-2,4),其模為2.由復數w對應向量的模不大于復數z所對應向量的模,得20+8a+a2≤20,a2+8a≤0,所以實數a的取值范圍是-8≤a≤0.20.(本小題滿分12分)復數z=,若z2+<0,求純虛數a.解:由z2+<0可知z2+是實數且為負數.z==1-i.由于a為純虛數,所以設a=mi(m∈R,且m≠0),則z2+=(1-i)2+=-2i+=-i<0,故所以m=4,即a=4i.21.(本小題滿分12分)已知等腰梯形OABC的極點A,B在復平面上對應的復數分別為1+2i,-2+6i,OA∥BC.求極點C所對應的復數z.解:設z=x+yi(x,y∈R),由于OA∥BC,|OC|=|BA|,所以kOA=kBC,|zC|=|zB-zA|,即解得由于|OA|≠|BC|,所以x2=-3,y2=4(舍去),故z=-5.22.導學號40294031(本小題滿分12分)已知虛數z知足|2z+5|=|z+10|.(1)求|z|.(2)能否存在實數m,使為實數,若存在,求出m值;若不存在,說明原因.(3)若(1-2i)z在復平面內對應的點在第一、三象限的角均分線上,求復數z.解:(1)設z=x+yi(x,y∈R,且y≠0),則(2x+5)2+(2y)2=(x+10)2+y2,化簡得x2