1、第二章 光的疊加與分析由于任何復雜的光波都可以分解為一組由余弦函數和正弦函數表示的單色光波，因此討論單色光波就十分重要了。頻率、振幅和位相都不相同的光波的疊加，情形很復雜。本章只限于討論頻率相同或頻率相差很小的單色光波的疊加，這種情況下可以寫出結果的數學表達式。兩個（或多個）光波在空間某一區域相遇時，所發生的光波的疊加問題是研究干涉、衍射、偏振等現象的共同基礎。本章概述：本章的理論基礎：波的獨立傳播原理：兩列光波在空間交迭時，它的傳播互不干擾,亦即每列波如何傳播，就像另一列波完全不存在一樣各自獨立進行.此即波的獨立傳播定律。必須注意的是：此定律并不是普遍成立的。例，光通過變色玻璃時是不服從獨立

2、傳播定律的。波的疊加原理：當兩列(或多列)波在同一空間傳播時，空間各點都參與每列波在該點引起的振動。若波的獨立傳播定律成立，則當兩列(或多列)波同時存在時，在它們的交疊區域內每點的振動是各列波單獨在該點產生振動的合成。與獨立傳播定律類似，疊加原理適用性也是有條件的。這條件,一是媒質,二是波的強度。光在真空中總是獨立傳播的，從而服從疊加原理。光在普通玻璃中，只要不是太強，也服從疊加原理。波在傳播中服從疊加原理的媒質稱為“線性媒質”。此時，對于非相干光波：即N列非相干光波的強度滿足線性迭加關系。對于相干光波 ：即N列相干光波的振幅滿足線性迭加關系。波在傳播中不服從迭加原理的媒質稱為“非線性媒質”。

3、 2.1 兩個頻率、振動方向、傳播方向相同的光波的迭加2.1.1代數加法設兩個頻率相同、振動方向相同的單色光波分別發自光源S1、S2，P點是兩光波相遇區域內的任意一點，P到S1和S2的距離分別為r1和r2且其初位相為零，則兩光波各自在P點產生的光振動可以寫為：式中a1和a2分別為兩光波在P點的振幅，由疊加原理，在P點處的合振動為：令：則：可見：P點的振動也是一個簡諧振動，振動頻率和振動方向都與兩單色光波相同，而振幅A和初位相分別由上兩式決定。若兩個單色光波在P點振幅相等，即a1=a2=a 則P點的合振幅：= 2 -1是兩光波在P點的位相差.此式表明在P點疊加后的光強度決定于位相差。當=2m (

4、m=0、1、2 )時，P點光強最大 ；I=4I0當=2（m+1/2) (m=0、1、2 )時，P點光強最小;I=0 介于上兩者之間時, P點光強在0 4I0之間。 從前面可知,我們很容易把位相差表示為P點到光源的距離r1之r2差：所以：即：式中為光源在介質中的波長， 0為真空中的波長，n為介質折射率 。干涉:在疊加區域出現的光強度穩定的強弱分布現象稱為光的干涉，把產生干涉的光波稱為相干光波，把光源稱為相干光源 。強度分布是否穩定是區別相干和不相干的主要標志。2.1.1復數方法仍考慮兩束同向傳播的平面波的疊加問題，原光波的波函數可以分別寫成 ：P點合振動：該式取實部之后正是（2.7）式。其振幅和

5、位相的計算結果均與代數方法相同。2.2駐波兩個頻率相同、振動方向相同而傳播方向相反的單色波產生駐波。2.2.1駐波的形成設兩束反向傳播的光波的波函數：合成波函數：合差化積：此式表明：合成波上任意一點都作圓頻率為 的簡諧振動。但合成波振幅不是常數，與各點坐標有關。當 （m=0、1、 2）時，振幅為零。振幅為零的點稱為波節，兩波節間距為 /2。當 （m=0、1、 2）時，振幅最大，為2a。振幅最大的點稱為波腹，兩波腹間距為 /2。S1S2Pxyzz1z2P點的合振動為：顯然，E仍垂直于傳播方向，但一般不再與x、y軸同向。令kz1=1,kz2=2，消去時間t，可得合矢量末端的運動軌跡：令2-1=，則

6、：此式是一個橢圓方程式，表示合矢量末端的軌跡是一個橢圓。該橢圓內接于一個長方形，長方形各邊與坐標軸平行，邊長為2a1和2 a2 。如圖示。橢圓的長軸與軸的夾角：ExEy2a12a20由于兩疊加光波的角頻率為，故P點合矢量沿橢圓旋轉的角速度為 。我們把光矢量周期性地旋轉，其末端軌跡描成一個橢圓的這種光稱為橢圓偏振光。2.3.2 幾種特殊情況由上式可知，橢圓形狀由兩疊加光波的位相差和振幅比a2/a1 決定。在兩種特殊情況下,合成光波仍是線偏振光。1. =0 或 2的整數倍時，橢圓方程為：此式表示：合矢量的末端的運動沿著一條經過坐標原點而斜率為 a2/a1的直線進行。2. 橢圓方程為：即，合矢量的末

7、端運動沿著一條經過坐標原點而斜率為-a2/a1的直線進行。3. 及其奇數倍時橢圓方程為：此為一正橢圓,長短軸與x，y軸重合。若兩光波的振幅a1、a2相等，為a。橢圓方程為：這實際上是一個圓的方程，表示一個圓偏振光。2.3.4 橢圓偏振光的強度在矢量形式下光波的強度一般地可寫成（1.54）：在同一介質內時，可簡單地寫成：由于橢圓偏振光是由振動方向互相垂直的兩線偏振光疊加構成，則即，此式表明橢圓偏振光的強度恒等于合成它的兩個振動方向互相垂直的單色光波的強度之和，它與兩個疊加波的位相無關。這一結論不僅適用于橢圓偏振光，也適用于圓偏振光和自然光。 由此結論，說明兩振動方向互相垂直的光波在疊加區域內各點

8、的光強度都應等于兩個光波的強度之和，即此時不發生干涉現象。2.3.5 利用全反射產生橢圓偏振光和圓偏振光利用菲涅耳菱體：入射線偏振光振動方向與入射面成450。經過菱體的下兩次全反射后，出射光就是圓偏振光。 54.37054.370線偏振光圓偏振光入射角為54o37或48o37，保證每次產生45o的相位差，共90o。和差化積：引入平均角頻率 ，平均波數 ：引入調制頻率m和調制波數km則合波動式可寫成：令：則：即合成波可看成一個頻率為 ，而振幅受到調制（隨時間和位置在2a到2a之間變化）的波。由于光波頻率很高為51014Hz。若12，則 m，因而振幅變化緩慢而場振動變化極快。 合成波的強度為：可見

9、合成波的強度隨時間和位置在04a2之間變化，這種強度時大時小的現象稱為拍。由上式可知，拍頻為2m， m為兩單色光波角頻率之差的一半。 2.4.2 群速度和相速度前面所提到的傳播速度都是指它的等相位面的速度，即相速度。但對于兩個不同頻率單色波的合成波：它包含兩種速度：等相位面的傳播速度和等幅面的傳播速度。其相速度：振幅恒值點的移動速度，群速度：微分情況下：當兩單色光波在色散介質中傳播時，其群速度將不等于相速度。若 0，即波長長的波比波長短的波相速度較大。即處于正常色散。正常色散群速度小于相速度。若 0，反常色散，群速度大于相速度。當疊加的兩單色光波在無色散介質中傳播時，它們的速度相同，因而合成的是一個穩定的拍，群速度和相速度相等。復雜波的群速度可以看作是振幅最大點的移動速度，波動攜帶的能量與振幅的平方成正比