1、 精銳教育學科教師輔導講義學員編號：SH312721274 年 級：初二 課 時 數：3學員姓名：張靄渝 輔導科目：數學 學科教師：王興帥 授課類型C數的整除性C 質數與合數C 完全平方數 授課日期及時段2014年 4月12日教學內容1整除的基本概念與性質所謂整除，就是一個整數被另一個整數除盡，其數學定義如下定義 設a，b是整數，b0如果有一個整數q，使得a=bq，那么稱a能被b整除，或稱b整除a，并記作ba如果不存在這樣的整數q，使得a=bq，則稱a不能被b整除，或稱b不整除a，記作ba關于整數的整除，有如下一些基本性質：性質1 若ba，cb，則ca性質2 若ca，cb，則c(ab)性質3

2、若ca，cb，則c(ab)性質4 若ba，dc，則bdac性質5 若a=bc，且ma，mb，則mc性質6 若ba，ca，則b，ca(此處b，c為b，c的最小公倍數)特別地，當(b，c)=1時，bca(此處(b，c)為b，c的最大公約數)性質7 若cab，且(c，a)=1，則cb特別地，若p是質數，且pab，則pa或pb性質8 若ab，n是自然數，則(a-b)(an-bn)性質9 若a-b，n是正偶數，則(ab)(an-bn)性質10 若a-b，n是正奇數，則(ab)(anbn)2證明整除的基本方法證明整除常用下列幾種方法：(1)利用基本性質法；(2)分解因式法；(3)按模分類法；(4)反證法下

3、面舉例說明例1 證明：三個連續奇數的平方和加1，能被12整除，但不能被24整除分析 要證明一個數能被12整除但不能被24整除，只需證明此數等于12乘上一個奇數即可證 設三個連續的奇數分別為2n-1，2n1，2n+3(其中n是整數)，于是(2n-1)2+(2n+1)2+(2n+3)21=12(n2n1)所以12(2n-1)2(2n1)2(2n3)2又n2+n1=n(n1)+1，而n，n+1是相鄰的兩個整數，必定一奇一偶，所以n(n+1)是偶數，從而n2n+1是奇數，故24 (2n-1)2+(2n+1)2(2n3)2例2 若x，y為整數，且2x+3y，9x5y之一能被17整除，那么另一個也能被17

4、整除證 設u=2x3y，v=9x5y若17u，從上面兩式中消去y，得3v-5u=17x所以 173v因為(17，3)=1，所以17v，即179x5y若17v，同樣從式可知175u因為(17，5)=1，所以17u，即172x3yq1求pq的值解 若p=q，則不是整數，所以pq不妨設pq，于是是整數，所以p只能為3，從而q=5所以pq=35=15例4 試求出兩兩互質的不同的三個自然數x，y，z，使得其中任意兩個的和能被第三個數整除分析 題中有三個未知數，我們設法得到一些方程，然后從中解出這些未知數最小的一個：y(y2x)，所以y2x，于是數兩兩互質，所以x=1 所求的三個數為1，2，3例5 設n是

5、奇數，求證：606n-3n-2n-1分析 因為60=2235，22，3，5是兩兩互質的，所以由性質6，只需證明22，3，5能被6n-3n-2n-1整除即可對于冪的形式，我們常常利用性質8性質10，其本質是因式分解證 60=2235由于n是奇數，利用性質8和性質10，有226n-2n，223n1，所以226n-2n-3n-1， 36n-3n， 32n+1，所以36n-3n-2n-1，56n-1，53n+2n，所以56n-1-3n-2n由于22，3，5兩兩互質，所以606n-3n-2n-1我們通常把整數分成奇數和偶數兩類，即被2除余數為0的是偶數，余數為1的是奇數偶數常用2k表示，奇數常用2k+1

6、表示，其實這就是按模2分類又如，一個整數a被3除時，余數只能是0，1，2這三種可能，因此，全體整數可以分為3k，3k1，3k2這三類形式，這是按模3分類有時為了解題方便，還常把整數按模4、模5、模6、模8等分類，但這要具體問題具體處理例6 若整數a不被2和3整除，求證：24(a2-1)分析 因為a既不能被2整除，也不能被3整除，所以，按模2分類與按模3分類都是不合適的較好的想法是按模6分類，把整數分成6k，6k1，6k2，6k3，6k4，6k5這六類由于6k，6k2，6k4是2的倍數，6k3是3的倍數，所以a只能具有6k1或6k5的形式，有時候為了方便起見，也常把6k5寫成6k-1(它們除以6

7、余數均為5)證 因為a不被2和3整除，故a具有6k1的形式，其中k是自然數，所以a2-1=(6k1)2-1=36k212k=12k(3k1)由于k與3k1為一奇一偶(若k為奇數，則3k1為偶數，若k為偶數，則3k1為奇數)，所以2k(3k1)，于是便有24(a2-1)例7 求證：3n+1(n為正整數)能被2或22整除，但不能被2的更高次冪整除證 按模2分類若n=2k為偶數，k為正整數，則3n1=32k1=(3k)21由3k是奇數，(3k)2是奇數的平方，奇數的平方除以8余1，故可設(3k)2=8l1，于是3n1=8l2=2(4l1)4l1是奇數，不含有2的因數，所以3n1能被2整除，但不能被2

8、的更高次冪整除若n=2k1為奇數，k為非負整數，則3n+1=32k1+1=3(3k)21 =3(8l1)1=4(6l1)由于6l1是奇數，所以此時3n+1能被22整除，但不能被2的更高次冪整除在解決有些整除性問題時，直接證明較為困難，可以用反證法來證例8 已知a，b是整數，a2b2能被3整除，求證：a和b都能被3整除證 用反證法如果a，b不都能被3整除，那么有如下兩種情況：(1)a，b兩數中恰有一個能被3整除，不妨設3a，3b令a=3m，b=3n1(m，n都是整數)，于是a2+b2=9m2+9n26n+1=3(3m23n22n)+1，不是3的倍數，矛盾(2)a，b兩數都不能被3整除令a=3m1

9、，b=3n1，則a2b2=(3m1)2+(3n1)2 =9m26m+1+9n26n1 =3(3m2+3n22m2n)2，不能被3整除，矛盾由此可知，a，b都是3的倍數例9 設p是質數，證明：滿足a2=pb2的正整數a，b不存在證 用反證法假定存在正整數a，b，使得a2=pb2令(a，b)=d，a=a1d，b=b1d，則(a1，b1)=1所以與(a1，b1)=1矛盾例10 設p，q均為自然數，且求證：29p證 注意到29是質數令a=101119所以 ap=29qb，29ap，29是質數，且29a，所以29p練習二十四1求證：對任意自然數n，27n1能被3整除2證明：當a是奇數時，a(a2-1)能

10、被24整除3已知整數x，y，使得7(13x+8y)，求證：7(9x5y)4設p是大于3的質數，求證：24(p2-1)5求證：對任意自然數n，n(n-1)(2n-1)能被6整除6求證：三個連續自然數的立方和能被9整除7已知a，b，c，d為整數，abcd能被a-c整除，求證：adbc也能被a-c整除質數、合數一、內容提要1 正整數的一種分類： 質數的定義：如果一個大于1的正整數，只能被1和它本身整除，那么這個正整數叫做質數（質數也稱素數）。合數的定義：一個正整數除了能被1和本身整除外，還能被其他的正整數整除，這樣的正整數叫做合數。根椐質數定義可知質數只有1和本身兩個正約數，質數中只有一個偶數2如果

11、兩個質數的和或差是奇數那么其中必有一個是2，如果兩個質數的積是偶數那么其中也必有一個是2，3任何合數都可以分解為幾個質數的積。能寫成幾個質數的積的正整數就是合數。二、例題例1兩個質數的和等于奇數a (a5)。求這兩個數解：兩個質數的和等于奇數必有一個是2所求的兩個質數是2和a2。例2己知兩個整數的積等于質數m, 求這兩個數解：質數m只含兩個正約數1和m, 又（1）（m）=m所求的兩個整數是1和m或者1和m.例3己知三個質數a,b,c它們的積等于30求適合條件的a,b,c的值解：分解質因數：30235適合條件的值共有： 應注意上述六組值的書寫排列順序，本題如果改為4個質數a,b,c,d它們的積等

12、于210,即abcd=2357那么適合條件的a，b，c，d值共有24組，試把它寫出來。例4試寫出4個連續正整數，使它們個個都是合數。解：（本題答案不是唯一的）設N是不大于5的所有質數的積，即N235那么N2，N3，N4，N5就是適合條件的四個合數即32，33，34，35就是所求的一組數。本題可推廣到n 個。令N等于不大于n+1的所有質數的積，那么N2，N3，N4，N（n+1）就是所求的合數。三、練習小于100的質數共_個，它們是_己知質數P與奇數Q的和是11，則P，Q己知兩個素數的差是41，那么它們分別是如果兩個自然數的積等于19，那么這兩個數是如果兩個整數的積等于73，那么它們是如果兩個質數

13、的積等于15，則它們是5,兩個質數x和y，己知xy=91,那么x=_,y=_,或x=_,y=_.6, 三個質數a,b,c它們的積等于1990. 那么7,能整除311513的最小質數是8，己知兩個質數A和B適合等式AB99，ABM。求M及的值9，試寫出6個連續正整數，使它們個個都是合數。10，具備什么條件的最簡正分數可化為有限小數？11，求適合下列三個條件的最小整數：大于1沒有小于10的質因數不是質數12，某質數加上6或減去6都仍是質數，且這三個質數均在30到50之間，那么這個質數是13，一個質數加上10或減去14都仍是質數，這個質數是。練習題參考答案1.25個2.2，93.2，434.1，19

14、；1，73或1，735略6.190025199有6組7.28.略9.令N2357210，所求合數為N2，N3，10. 分母只含2和5的質因數11. 111112.3713.3完全平方數和完全平方式甲內容提要一定義如果一個數恰好是某個有理數的平方，那么這個數叫做完全平方數.例如0，1，0.36，121都是完全平方數.在整數集合里，完全平方數，都是整數的平方.如果一個整式是另一個整式的平方，那么這個整式叫做完全平方式. 如果沒有特別說明，完全平方式是在實數范圍內研究的.例如：在有理數范圍m2, (a+b2)2, 4x212x+9, 144都是完全平方式.在實數范圍（a+）2, x2+2x+2, 3

15、也都是完全平方式.二. 整數集合里，完全平方數的性質和判定1. 整數的平方的末位數字只能是0，1，4，5，6，9.所以凡是末位數字為2，3，7，8的整數必不是平方數.2. 若n是完全平方數，且能被質數p整除, 則它也能被p2整除.若整數m能被q整除，但不能被q2整除, 則m不是完全平方數.例如：3402能被2整除，但不能被4整除，所以3402不是完全平方數.又如：444能被3整除，但不能被9整除，所以444不是完全平方數.三. 完全平方式的性質和判定 在實數范圍內如果ax2+bx+c (a0)是完全平方式，則b24ac=0且a0；如果 b24ac=0且a0；則ax2+bx+c (a0)是完全平

16、方式. 在有理數范圍內當b24ac=0且a是有理數的平方時，ax2+bx+c是完全平方式.四. 完全平方式和完全平方數的關系1. 完全平方式（ax+b）2 中當a, b都是有理數時, x取任何有理數，其值都是完全平方數；當a, b中有一個無理數時，則x只有一些特殊值能使其值為完全平方數.某些代數式雖不是完全平方式，但當字母取特殊值時，其值可能是完全平方數. 例如： n2+9, 當n=4時，其值是完全平方數.所以，完全平方式和完全平方數，既有聯系又有區別.五. 完全平方數與一元二次方程的有理數根的關系在整系數方程ax2+bx+c=0(a0)中若b24ac是完全平方數，則方程有有理數根；若方程有有

17、理數根，則b24ac是完全平方數.在整系數方程x2+px+q=0中若p24q是整數的平方，則方程有兩個整數根；若方程有兩個整數根，則p24q是整數的平方.乙例題例1. 求證：五個連續整數的平方和不是完全平方數.證明：設五個連續整數為m2, m1, m, m+1, m+2. 其平方和為S.那么S（m2）2（m1）2m2（m+1）2（m+2）25（m2+2）.m2的個位數只能是0，1，4，5，6，9m2+2的個位數只能是2，3，6，7，8，1m2+2不能被5整除.而5（m2+2）能被5整除，即S能被5整除，但不能被25整除.五個連續整數的平方和不是完全平方數. 例2 m取什么實數時，（m1）x2+

18、2mx+3m2 是完全平方式？解：根據在實數范圍內完全平方式的判定，得 當且僅當時，（m1）x2+2mx+3m2 是完全平方式=0，即（2m）24(m1)(3m2)=0.解這個方程， 得 m1=0.5, m2=2.解不等式m10 ， 得m1.即 它們的公共解是m=2.答：當m=2時，（m1）x2+2mx+3m2 是完全平方式.例3. 已知： (x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式.求證： a=b=c.證明：把已知代數式整理成關于x的二次三項式，得原式3x2+2(a+b+c)x+ab+ac+bc它是完全平方式， 0. 即4(a+b+c)212(ab+ac+b

19、c)=0. 2a2+2b2+2c22ab2bc2ca=0,(ab)2+(bc)2+(ca)2=0.要使等式成立，必須且只需： 解這個方程組，得a=b=c.例4. 已知方程x25x+k=0有兩個整數解，求k的非負整數解.解：根據整系數簡化的一元二次方程有兩個整數根時，是完全平方數.可設= m2 (m為整數)，即（5）24k=m2 (m為整數)，解得，k=.k是非負整數， 由25m20，得，即5m5；由25m2是4的倍數，得m=1, 3, 5.以 m的公共解1, 3, 5，分別代入k=.求得k= 6, 4, 0.答：當k=6, 4, 0時，方程x25x+k=0有兩個整數解求證：當k為整數時，方程4

20、x2+8kx+(k2+1)=0沒有有理數根. 證明：（用反證法）設方程有有理數根，那么是整數的平方.（8k）216(k2+1)16（3k21）.設3k21m2 (m是整數).由3k2m21，可知k和m是一奇一偶，下面按奇偶性討論3k2m21能否成立.當k為偶數，m為奇數時，左邊k2是4的倍數，3k2也是4的倍數；右邊m2除以4余1，m21除以4余2.等式不能成立.； 當k為奇數，m為偶數時，左邊k2除以4余1，3k2除以4余3右邊m2是4的倍數，m21除以4余1等式也不能成立.綜上所述，不論k, m取何整數，3k2m21都不能成立.3k21不是整數的平方，16（3k21）也不是整數的平方.當k為整數時，方程4x2+8kx+(k2+1)=0沒有有理數根丙練習如果m是整數，那么m2+1的個位數只能是.如果n是奇數，那么n21除以4余數是，n2+2除以8余數是，3n2除以4的余數是.如果k不是3的倍數，那么k21 除以3余數是.一個整數其中三個數字是1，其余的都是0，問