1、數學建模5.1 量綱分析建模 一、單位與量綱1、單位 數學建模的目的是解決實際問題，而實際問題中的量都有相應的單位。數學中純粹的數在實際問題中不具有明確的含義。如在實際問題中談某個長度量，在關注其數值的同時還必須關注其單位，否則，我們便沒有把這個量完全弄清楚。但實際問題中的諸多量并非全是相互獨立的，其中一些量能起到基本量的作用，其它量是這些基本量的符合某種規律的組合，如速度是長度與時間這兩個基本量的一種規定的組合。如果規定了基本量的單位，其它量的單位也隨之確定。定義：一組物理量，若彼此相互獨立，且其它物理量均是這些物理量的合乎某種規律的組合，則稱這些物理量為基本物理量。物理量量綱單位符號長度L

2、米m質量M千克kg時間T秒s電流強度I安培A溫度開爾文K光強J坎得拉cd物質的量N摩爾mol基本量信息表2、基本物理量4、量綱與單位的關系1）、量綱和單位都在反映物理量的特征，反映該物理量與基本物理量間的關系。2）、任何物理量的量綱是唯一的，但單位可以有多個。3）、有的量可以沒有量綱，但它可能有單位。如角度4）、物理量的量綱及其相互關系反映了各量之間的內在屬性，這是量綱關系能用于建立數學模型的理論基礎。二、量綱齊次性定理定理：模型假設： 1、小球運動過程中不考慮空氣阻力。 2、忽略地球自轉對單擺運動的影響。 3、擺線是剛體，在單擺運動過程中不發生形變。 4、忽略擺軸處的摩擦力影響。建立模型：

3、我們先找到在問題分析中所提各物理量的量綱，它們分別為：單擺運動的規律必可表示為由于等式右端是無量綱量，所以等式左端的項應具有形式量綱分析法建模的工作步驟一、找出含目標因素在內的各主要相關因素。二、寫出含目標因素在內的各主要相關因素的量綱積。問題1 不允許缺貨的存貯模型 配件廠為裝配線生產若干種部件，輪換生產不同的部件時因更換設備要付生產準備費（與生產數量無關），同一部件的產量大于需求時因積壓資金、占用倉庫要付存貯費。今已知某一部件的日需求量100件，生產準備費5000元，存貯費每日每件1元。如果生產能力遠大于需求，并且不允許出現缺貨，試安排該產品的生產計劃，即多少天生產一次（稱為生產周期），每

4、次產量多少，可使總費用最小。問題分析若每天生產一次，每次100件，無存貯費，生產準備費5000元，每天費用5000元；若10天生產一次，每次1000件，存貯費900+800+100=4500元，生產準備費5000元，總計9500元，平均每天費用950元；若50天生產一次，每次5000件，存貯費4900+4800+100=122500元，生產準備費5000元，總計127500元，平均每天費用2550元；尋找生產周期、產量、需求量、生產準備費和存貯費之間的關系，使每天的費用最少。模型假設1 連續化，即設生產周期 T 和產量 Q 均為連續量；2 產品每日的需求量為常數 r ；3 每次生產準備費 C1

5、，每日每件產品存貯費 C2；4 生產能力為無限大（相對于需求量），當存貯量 降到零時，Q件產品立即生產出來供給需求，即 不允許缺貨。設 t 時刻的存貯量為 q(t) ，t = 0時生產 Q 件，存貯量 q(0) = Q , q(t) 以需求速率 r 線性遞減，直至q(T) = 0，如圖。q(t) = Q- r t， Q = r T 。otqQTrA不允許缺貨模型的存貯量q(t) 存貯量的計算一個周期內存貯量一個周期內存貯費(A的面積)一個周期的總費用每天平均費用模型求解用微分法每天平均最小費用著名的 經濟訂貨批量公式（EOQ公式）。思考建模中未考慮生產費用（這應是最大一筆費 用），在什么情況下

6、才可以不考慮它？建模時作了“生產能力無限大”的簡化假設，如 果生產能力有限，是大于需求量的一個常數， 如何建模？結果解釋當準備費 c1 增加時，生產周期和產量都變大；當存貯費 c2 增加時，生產周期和產量都變小；當日需求費 r 增加時，生產周期變小而產量變大。這些定性結果符合常識，而定量關系（平方根，系數2 等）憑常識是無法得出的，只能由數學建模得到。這里得到的費用C與前面計算得950元有微小差別，你能解釋嗎？在本例中敏感性分析討論參數有微小變化時對生產周期T 影響。由相對變化量衡量對參數的敏感程度。T 對c1 的敏感程度記為意義是當準備費增加1%時，生產周期增加0.5% ；而存貯費增加1%時

7、，生產周期減少0.5% ；日需求量增加1%時，生產周期減少0.5% 。當有微小變化對生產周期影響不太大。模型假設1 連續化，即設生產周期 T 和產量 Q 均為連續量；2 產品每日的需求量為常數 r ；3 每次生產準備費 C1，每日每件產品存貯費 C2；4 生產能力為無限大（相對于需求量），允許缺 貨，每天每件產品缺貨損失費C3 ，但缺貨數量需 在下次生產（訂貨）時補足。問題2 允許缺貨的存貯模型模型建立總費用=生產準備費+存貯費+缺貨損失費存貯費=存貯單價*存貯量缺貨損失費=缺貨單價*缺貨量存貯量=？，缺貨量=？因存貯量不足造成缺貨，因此 q(t) 可取負值， q(t) 以需求速率 r 線性遞減，直至q(T1) = 0，如圖。q(t) = Q-r t， Q = r T1 。otqQTrA允許缺貨模型的存貯量q(t) RT1B一個周期內缺貨損失費一個周期內存貯費一個周期的總費用每天平均費用模型求解