1、層次分析法方法，是由世紀年代由美國著名運籌學學家提出的。它是指將決策問題的有關元素分解成目標、準則、方案等層次，在此基礎上進行定性分析和定量分析的一種決策方法。這一方法的特點，是在對復雜決策問題的本質、影響因素及其內在關系等進行深入分析之后，構建一個層次結構模型，然后利用較少的定量信息，把決策的思維過程數學化，從而為求解多準則或無結構特性的復雜決策問題提供了一種簡便的決策方法。十分適用于具有定性的，或定性定量兼有的決策分析。這是一種十分有效的系統分析和科學決策方法，現在已廣泛地應用在企業信用評級、經濟管理規劃、能源開發利用與資源分析、城市產業規劃、企業管理、人才預測、科研管理、交通運輸、水資源

2、分析利用等方面。一、遞階層次結構的建立一般來說，可以將層次分為三種類型：（1）最高層：只包含一個元素，表示決策分析的總目標，因此也稱為總目標層。（2）中間層：包含若干層元素，表示實現總目標所涉及的各子目標，包含各種準則、約束、策略等，因此也稱為目標層。（3）最低層：表示實現各決策目標的可行方案、措施等，也稱為方案層。（1）從上到下順序地存在支配關系，用直線段（作用線）表示上一層次因素與下一層次因素之間的關系，同一層次及不相鄰元素之間不存在支配關系。（2）整個結構不受層次限制。（3）最高層只有一個因素，每個因素所支配元素一般不超過9個，元素過多可進一步分層。（4）對某些具有子層次結構可引入虛元素

3、，使之成為典型遞階層次結構。二、構造比較判斷矩陣設有個目標（方案或元素），根據某一準則，將這個目標兩兩進行比較,把第個目標（）對第個目標的相對重要性記為，這樣構造的階矩陣用于求解各個目標關于某準則的優先權重，成為權重解析判斷矩陣，簡稱判斷矩陣，記作。X于年根據一般人的認知習慣和判斷能力給出了屬性間相對重要性等級表（見表）4利用該表取的值，稱為標度方法。表目標重要性判斷矩陣中元素的取值相對重要性定義說明同等重要兩個目標同樣重要略微重要由經驗或判斷，認為一個目標比另一個略微重要相當重要由經驗或判斷，認為一個目標比另一個重要明顯重要深感一個目標比另一個重要，且這種重要性已有實踐證明絕對重要強烈地感到

4、一個目標比另一個重要得多兩個相鄰判斷的中間值需要折中時采用若決策者能夠準確估計（），則有:定義目-1設，=（）a，ij，X，（即），如果滿足條件（）a=（1i2；，（2）a（，），2則，稱矩陣，為互反正矩陣。定義目-2設，=（）a，ij，X，如果滿足條件（）ijmXm則稱矩陣為一致性矩陣。定理對于任何一個階互反正矩陣，均有鼻，其中是矩陣maxmax的最大特征值。標標定理目-2，標階標互反正矩陣，為一致性矩陣的充分必要條件是，的最大特征根為，。標標三、單準則下的排序標標層次分析法的信息基礎是比較判斷矩陣。由于每個準則都支配下一層若干因素，這樣對于每一個準則及它所支配的因素都可以得到一個比較判斷矩

5、陣。因此根據比較判斷矩陣如何求得各因素對于準則的相對排序權重的過程稱為單準則下的排序。這里設，X本征向量法利用求出所有的值，其中為的最大值，求出對應的特征maxmax向量，然后把特征向量規一化為向量，貝U為各個目標的權重。求需要解次方程，當m時，計算比較麻煩，可以利用來求解。判斷矩陣的近似解法判斷矩陣是決策者主觀判斷的定量描述，求解判斷矩陣不要求過高的精度。這里，介紹三種近似計算方法：根法、和法及冪法。冪法適于在計算機上運算。i根法()中每行元素連乘并開次方，得到向量W*二(w*,w*,.,w*)t其中，12mw*=,aTOC o 1-5 h zmiijj=1對，*作歸一化處理，得到權重向量，

6、其中w=w*/區w*iiii=13)對中每列元素求和，得到向量其中遲aiji=1計算的值，=區sw=SWmaxmaxiimaxi=11區(AW)mi=1、和法()將的元素按列作歸一化處理,得矩陣。其中，q=a/區aijijkjk=1()將的元素按行相加，得向量a=(,.,)t。12其中，正qiijj=1()對向量作歸一化處理，得權重向量，其中w=/區iikk=1()求出最大特征值=丄遲(AW)imaxmwi=1i、冪法冪法是一種逐步迭代的方法，經過若干次迭代計算，按照規定的精度，求出判斷矩陣的最大特征值及其對應的特征向量。定理設矩陣，則limAkecw，其中,是的最大xeTAkek,8特征值對

7、應的的特征向量，為常數，向量）冪法的計算步驟是：任取初始正向量,計算mX（0）maxx（0）,Y（0）X（0）/m8ii迭代計算，對于k=0,l,2,計算TOC o 1-5 h zX（k+1）AY（k）,mX（k+i）maxx（k+1）,Y（k+i）X（k+i）/mk+18ik+1i精度檢查。當m-m時，轉入步驟；否則，令k=k+1,轉入步驟k+1k。求最大特征值和對應的特征向量，將Y（k+1）歸一化，即WY（k+1）/區y（k+1）,九mimaxk+1i1例判斷矩陣125A=1/2171/51/71用幕法計算的最大特征值九及其對應額特征向量。max迭8代9終|止=，0得解：取初始向量，迭代過

8、程見下表,由上表看出，當時,到九,（）max四、單準則下的一致性檢驗由于客觀事物的復雜性，會使我們的判斷帶有主觀性和片面性，完全要求每次比較判斷的思維標準一致是不太可能的。因此在我們構造比較判斷矩陣時，我們并不要求1次）比/較2全部一致。但這可能出現甲與乙相比明顯重要，乙與丙相比極端重要，丙與甲相比明顯重要，這種比較判斷會出現嚴重不一致的情況。我們雖然不要求判斷具有一致性，但一個混亂的，經不起推敲的比較判斷矩陣有可能導致決策的失誤，所以我們希望在判斷時應大體一致。而上述計算權重的方法，當判斷矩陣過于偏離一致性時，其可靠程度也就值得懷疑了。因此，對于每一層次作單準則排序時，均需要作一致性的檢驗。

9、一致性指標（yCI_dmm1隨機指標（一致性比率（當取時，)c最大特征值,max表隨機指標I,取值表maxmax表中當時，=這是因為階判斷矩陣總是一致的。當三時，若即,，認為比較判斷矩陣的一致性可以接受,maxmax否則應對判斷矩陣作適當的修正，直到,小于,通過一致性檢驗時，求得的maxmax才有效。五、層次總排序計算同一層次中所有元素對最高層（總目標）的相對重要性標度（又稱權重向量）稱為層次總排序。1、層次總排序的步驟為：（1）計算同一層次所有因素對最高層相對重要性的權重向量，這一過程是自上而下逐層進行；（）設已計算出第層上有個元素相對總目標的權重向量為（）第層有個個元素，他們對于上一層次（

10、第層）的某個元素的單準則權重向量為（對于與層第個元素無支配關系的對應取值為）；（）第層相對總目標的權重向量為2、層次總排序的一致性檢驗人們在對各層元素作比較時，盡管每一層中所用的比較尺度基本一致，但各層之間仍可能有所差異，而這種差異將隨著層次總排序的逐漸計算而累加起來，因此需要從模型的總體上來檢驗這種差異尺度的累積是否顯著，檢驗的過程稱為層次總排序的一致性檢驗。第層的一致性檢驗指標3W當可認為評價模型在第層水平上整個達到局部滿意一致性。六、遞階層次結構權重解析過程1、樹狀結構目標體系目標可分為多個層次，每個下層目標都隸屬于一個而且只隸屬一個上層目標，下層目標是對上層目標的具體說明。對于樹狀結構

11、的目標體系，需由上而下逐步確定權重，即由樹干向樹梢，求樹杈各枝相對于樹杈的權重。2、網狀結構目標體系網狀結構的目標也分為多個層次，每個下層目標隸屬于某幾個上層目標（至少有一個下層目標隸屬于不止一個上層目標）。七、方法的基本步驟層次分析法大體分為以下六個步驟：1、明確問題；2、建立層次結構；3、兩兩比較，建立判斷矩陣；4、層次單排序及其一致性檢驗；5、層次總排序及其一致性檢驗；6、根據分析計算結果，考慮相應的決策。例4-4（1）建立方案評價的遞階層次結構模型決策目標A2）構造比較判斷矩陣設以為比較準則，、的兩兩比較判斷矩陣為，類似地構造矩商品價格B質量C企業財務狀況D售后服務水平E候選人X候選人

12、Y候選人Z陣、對于上述各比較判斷矩陣，用數學軟件求出其最大特征值及其對應的特征向量，將特征向量經歸一化后，即可得相應的層次單排序的相對重要性權重向量，以及一致性指標和一致性比率，列表如下：層次單排序及一致性計算結果矩陣層次單排序的權重向量CI，(-m)/(m-1)由此可見，所有五個層次單排序的的值均小于，、，的值均小于0.，1符合maxmax一致性要求。4）層次總排序已知第二層（B、C、D、E）相對于總目標層A的排序向量為,而第三層1,0）以第二層各個因素為準則的排序向量分別為：則第三層（、）相對于總目標的排序向量為（）層次總排序的一致性檢驗由于因此，當可以認為評價模型在第層水平上整個達到局部滿意一致性（）決策所考慮的三種方案排序的相對優先排序為利用求解例第）二層對目標層的權重與一致性檢驗eig（A）求出,D=eig（A）求出在個）,應該選擇企業作為結盟伙伴。輸入比較判斷矩陣的所有的特征值的所有特征