1、7.1復數的概念7.1.1數系的擴充和復數的概念學習目標1.了解引進虛數單位i的必要性，了解數系的擴充過程.2.理解在數系的擴充中由實數集擴展到復數集出現的一些基本概念.3.掌握復數代數形式的表示方法，理解復數相等的充要條件.知識點一復數的有關概念1.復數(1)定義：我們把形如abi(a，bR)的數叫做復數，其中i叫做虛數單位，滿足i21.(2)表示方法：復數通常用字母z表示，即zabi(a，bR)，其中a叫做復數z的實部，b叫做復數z的虛部.2.復數集(1)定義：全體復數所構成的集合叫做復數集.(2)表示：通常用大寫字母C表示.知識點二復數的分類1.復數zabi(a，bR)eq blcrc

2、(avs4alco1(實數b0，,虛數b0blcrc (avs4alco1(純虛數a0，,非純虛數a0.)2.復數集、實數集、虛數集、純虛數集之間的關系知識點三復數相等的充要條件設a，b，c，d都是實數，則abicdiac且bd，abi0ab0.1.若a，b為實數，則zabi為虛數.()2.復數i的實部不存在，虛部為0.()3.bi是純虛數.()4.如果兩個復數的實部的差和虛部的差都等于0，那么這兩個復數相等.()一、復數的概念例1下列命題：若aR，則(a1)i是純虛數；若a，bR，且ab，則aibi；若(x24)(x23x2)i是純虛數，則實數x2；實數集是復數集的真子集.其中正確的是()A

3、. B. C. D.答案D解析對于復數abi(a，bR)，當a0且b0時，為純虛數.對于，若a1，則(a1)i不是純虛數，即錯誤.兩個虛數不能比較大小，則錯誤.對于，若x2，則x240，x23x20，此時(x24)(x23x2)i0，不是純虛數，則錯誤.顯然，正確.反思感悟復數abi(a，bR)中，實數a和b分別叫做復數的實部和虛部.特別注意，b為復數的虛部而不是虛部的系數，b連同它的符號叫做復數的虛部.跟蹤訓練1(多選)對于復數abi(a，bR)，下列說法不正確的是()A.若a0，則abi為純虛數B.若a(b1)i32i，則a3，b2C.若b0，則abi為實數D.i的平方等于1答案ABD解析

4、對于A，當a0時，abi也可能為實數；對于B，若a(b1)i32i，則a3，b1；對于D，i的平方為1.所以ABD均錯誤.二、復數的分類例2當m為何實數時，復數zeq f(m2m6,m3)(m22m15)i.(1)是虛數；(2)是純虛數.解(1)當eq blcrc (avs4alco1(m30，,m22m150，)即m5且m3時，z是虛數.(2)當eq blcrc (avs4alco1(f(m2m6,m3)0，,m22m150，)即m3或m2時，z是純虛數.延伸探究1.本例中條件不變，當m為何值時，z為實數？解當eq blcrc (avs4alco1(m30，,m22m150，)即m5時，z是

5、實數.2.已知zlog2(1m)i(3m)(mR)，若z是虛數，求m的取值范圍.解z是虛數，(3m)0，且1m0，即eq blcrc (avs4alco1(3m0，,3m1，,1m0，)1m2或2m2a3，即a22a30，解得a3或a0)，則實數x_，y_.答案11解析x2y22xyi2i，eq blcrc (avs4alco1(x2y20，,2xy2，)解得eq blcrc (avs4alco1(x1，,y1，)或eq blcrc (avs4alco1(x1，,y1舍.)1.知識清單：(1)數系的擴充.(2)復數的概念.(3)復數的分類.(4)復數相等的充要條件.2.方法歸納：方程思想.3.

6、常見誤區：未化成zabi的形式.1.設a，bR，“a0”是“復數abi是純虛數”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案B解析因為a，bR，當“a0”時，“復數abi是純虛數”不一定成立，也可能b0，即abi0R.而當“復數abi是純虛數”時，“a0”一定成立.所以a，bR，“a0”是“復數abi是純虛數”的必要不充分條件.2.給出下列三個命題：若zC，則z20；2i1的虛部是2i；2i的實部是0.其中正確命題的個數為()A.0 B.1 C.2 D.3答案B解析錯誤，例如zi，則z21；錯誤，因為2i1虛部是2；正確，因為2i02i.3.在復平面內，復

7、數z(a22a)(a2a2)i(aR)是純虛數，則()A.a0或a2 B.a0C.a1且a2 D.a1或a2答案B解析因為復數z(a22a)(a2a2)i是純虛數，所以a22a0且a2a20，所以a0.4.若a，bR，i是虛數單位，a2 019i2bi，則a2bi等于()A.2 0192i B.2 0194iC.22 019i D.42 019i答案D解析因為a2 019i2bi，所以a2，b2 019，即a2，b2 019，所以a2bi42 019i.5.(多選)下列命題中錯誤的有()A.若x，yC，則xyi1i的充要條件是xy1B.純虛數集相對于復數集的補集是虛數集C.若(z1z2)2(z

8、2z3)20，則z1z2z3D.若實數a與ai對應，則實數集與復數集一一對應答案ABCD解析取xi，yi，則xyi1i，但不滿足xy1，故A錯；BC錯；對于D，a0時，ai0，D錯.6.設mR，m2m2(m21)i是純虛數，其中i是虛數單位，則m_.答案2解析由eq blcrc (avs4alco1(m2m20，,m210，)得m2.7.如果x1yi與i3x為相等復數，x，y為實數，則x_，y_.答案eq f(1,4)1解析由復數相等可知eq blcrc (avs4alco1(x13x，,y1，)所以eq blcrc (avs4alco1(xf(1,4)，,y1.)8.如果(m21)(m22m

9、)i1則實數m的值為_.答案2解析由題意得eq blcrc (avs4alco1(m22m0，,m211，)解得m2.9.實數m分別取什么數值時，復數z(m25m6)(m22m15)i (1)是實數；(2)是虛數；(3)是純虛數；(4)是0.解由m25m60得，m2或m3，由m22m150得m5或m3.(1)當m22m150時，復數z為實數，m5或3.(2)當m22m150時，復數z為虛數，m5且m3.(3)當eq blcrc (avs4alco1(m22m150，,m25m60)時，復數z是純虛數，m2.(4)當eq blcrc (avs4alco1(m22m150，,m25m60)時，復數

10、z是0，m3.10.分別求滿足下列條件的實數x，y的值.(1)2x1(y1)ixy(xy)i；(2)eq f(x2x6,x1)(x22x3)i0.解(1)x，yR，由復數相等的定義，得eq blcrc (avs4alco1(2x1xy，,y1xy，)解得eq blcrc (avs4alco1(x3，,y2.)(2)xR，由復數相等的定義，得eq blcrc (avs4alco1(f(x2x6,x1)0，,x22x30，)即eq blcrc (avs4alco1(x3或x2，且x1，,x3或x1，)x3.11.若sin 21i(eq r(2)cos 1)是純虛數，則的值為()A.2keq f(,

11、4)(kZ) B.2keq f(,4)(kZ)C.2keq f(,4)(kZ) D.eq f(k,2)eq f(,4)(kZ)答案B解析由題意，得eq blcrc (avs4alco1(sin 210，,r(2)cos 10，)解得eq blcrc (avs4alco1(kf(,4)，,2kf(3,4)，)kZ，2keq f(,4)，kZ.12.已知關于x的方程(x2mx)2xi22i(mR)有實數根n，且zmni，則復數z等于()A.3i B.3iC.3i D.3i答案B解析由題意知(n2mn)2ni22i，即eq blcrc (avs4alco1(n2mn20，,2n20，)解得eq bl

12、crc (avs4alco1(m3，,n1.)z3i.13.已知z1(m2m1)(m2m4)i，mR，z232i.則m1是z1z2的_條件.答案充分不必要解析當z1z2時，必有m2m13且m2m42，解得m2或m1，顯然m1是z1z2的充分不必要條件.14.使不等式m2(m23m)i(m24m3)i10成立的實數m的取值集合是_.答案3解析由已知，得eq blcrc (avs4alco1(m23m0，,m24m30，,m210，)解得m3，所以所求的實數m的取值集合是3.15.若復數zeq blc(rc)(avs4alco1(cos f(4,5)eq blc(rc)(avs4alco1(sin

13、 f(3,5)i是純虛數(i為虛數單位)，則taneq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)的值為()A.7 B.eq f(1,7)C.7 D.7或eq f(1,7)答案C解析復數zeq blc(rc)(avs4alco1(cos f(4,5)eq blc(rc)(avs4alco1(sin f(3,5)i是純虛數，cos eq f(4,5)0，sin eq f(3,5)0，sin eq f(3,5)，tan eq f(3,4)，則taneq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq f(tan 1,1tan )eq f(f(3,4)1,1f(3,4)7.16.已知復數z1

14、4m2(m2)i，z22sin (cos 2)i(其中i是虛數單位，m，R).(1)若z1為純虛數，求實數m的值；(2)若z1z2，求實數的取值范圍.解(1)z1為純虛數，則eq blcrc (avs4alco1(4m20，,m20，)解得m2.(2)由z1z2，得eq blcrc (avs4alco1(4m22sin ，,m2cos 2，)4cos22sin sin22sin 3(sin 1)22.1sin 1，當sin 1時，min2，當sin 1時，max6，實數的取值范圍是2,6.7.1.2復數的幾何意義學習目標1.理解可以用復平面內的點或以原點為起點的向量來表示復數及它們之間的一一對

15、應關系.2.掌握實軸、虛軸、模、共軛復數等概念.3.掌握用向量的模來表示復數的模的方法.知識點一復平面思考有些同學說：實軸上的點表示實數，虛軸上的點表示虛數，這句話對嗎？答案不正確.實軸上的點都表示實數；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數，原點對應的有序實數對為(0,0)，它所確定的復數是z00i0，表示的是實數.知識點二復數的幾何意義1.復數zabi(a，bR)復平面內的點Z(a，b).2.復數zabi(a，bR)平面向量eq o(OZ,sup6().知識點三復數的模1.定義：向量eq o(OZ,sup6()的模叫做復數zabi(a，bR)的模或絕對值.2.記法：復數zabi的模記為|z|或

16、|abi|.3.公式：|z|abi|eq r(a2b2).知識點四共軛復數1.定義：當兩個復數的實部相等，虛部互為相反數時，這兩個復數叫做互為共軛復數.虛部不等于0的兩個共軛復數也叫共軛虛數.2.表示：z的共軛復數用eq xto(z)表示，即若zabi(a，bR)，則eq xto(z)abi.1.復平面內的點與復數是一一對應的.()2.復數的模一定是正實數.()3.若|z1|z2|，則z1z2.()4.兩個復數互為共軛復數，則它們的模相等.()一、復數與復平面內的點的關系例1已知復數z(a21)(2a1)i，其中aR.當復數z在復平面內對應的點Z滿足下列條件時，求a的值(或取值范圍).(1)在

17、實軸上；(2)在第三象限.解(1)若z對應的點Z在實軸上，則有2a10，解得aeq f(1,2).(2)若z對應的點Z在第三象限，則有eq blcrc (avs4alco1(a210，,2a10，)解得1aeq f(1,2).故a的取值范圍是eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(1,2).反思感悟利用復數與點的對應關系解題的步驟(1)找對應關系：復數的幾何表示法即復數zabi(a，bR)可以用復平面內的點Z(a，b)來表示，是解決此類問題的根據.(2)列出方程：此類問題可建立復數的實部與虛部應滿足的條件，通過解方程(組)或不等式(組)求解.跟蹤訓練1在復平面內，若復數z(m2m2)

18、(m23m2)i(mR)的對應點在虛軸上和實軸負半軸上，分別求復數z.解若復數z的對應點在虛軸上，則m2m20，所以m1或m2，所以z6i或z0.若復數z的對應點在實軸負半軸上，則eq blcrc (avs4alco1(m2m2z2B.z1|z2|D.|z1|z2|答案D解析|z1|53i|eq r(5232)eq r(34)，|z2|54i|eq r(5242)eq r(41).因為eq r(34)eq r(41)，所以|z1|z2|.(2)已知0a3，復數zai(i是虛數單位)，則|z|的取值范圍是()A.(1，eq r(10) B.(1，eq r(3)C.(1,3) D.(1,10)答案

19、A解析0a3，復數zai(i是虛數單位)，則|z|eq r(a21)(1，eq r(10).復數模的幾何意義典例設zC，且滿足下列條件，在復平面內，復數z對應的點Z的集合是什么圖形？(1)|z|3；(2)|z|2.解(1)設zxyi(x，yR)，則|z|eq r(x2y2).由題意知eq r(x2y2)3，x2y29.所以復數z對應的點Z的集合是以原點O為圓心，3為半徑的圓面，不包括邊界.(2)根據模的幾何意義，|z|2表示復數z對應的點到原點的距離為2.所以滿足|z|2的點Z的集合為以原點為圓心，2為半徑的圓.素養提升復數模的幾何意義可以延伸為|z|表示復數z對應的點Z與原點之間的距離，從而

20、可以用數形結合解決有關的問題，考查直觀想象素養.1.復數z12i(i為虛數單位)在復平面內對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案C解析z12i對應點Z(1，2)，位于第三象限.2.(多選)已知復數z(m3)(m1)i的模等于2，則實數m的值可以為()A.1 B.2 C.3 D.4答案AC解析依題意可得eq r(m32m12)2，解得m1或3.3.已知zm1(m2)i在復平面內對應的點在第二象限，則實數m的取值范圍是()A.(1,2) B.(2,1)C.(1，) D.(，2)答案B解析zm1(m2)i在復平面內對應的點在第二象限，m10，解得2m1，則實數m的取

21、值范圍是(2,1).4.設復數zi，則z的共軛復數為_.答案i1.知識清單：(1)復數與復平面內的點、向量之間的對應關系.(2)復數的模及幾何意義.(3)共軛復數.2.方法歸納：待定系數法、數形結合.3.常見誤區：虛數不能比較大小，虛數的模可以比較大小；|z(abi)|表示復平面內的點到點(a，b)的距離.1.已知復數z12i，z2i，則eq f(|z1|,|z2|)等于()A.eq f(r(5),5) B.eq f(1,5) C.eq r(5) D.5答案C解析依題意|z1|eq r(2212)eq r(5)，|z2|eq r(12)1，所以eq f(|z1|,|z2|)eq r(5).2.

22、向量eq o(OZ1,sup6()對應的復數是54i，向量eq o(OZ2,sup6()對應的復數是54i，則eq o(OZ1,sup6()eq o(OZ2,sup6()對應的復數是()A.108i B.108iC.0 D.108i答案C解析由復數的幾何意義，可得eq o(OZ1,sup6()(5，4)，eq o(OZ2,sup6()(5,4)，所以eq o(OZ1,sup6()eq o(OZ2,sup6()(5，4)(5,4)(0,0)，所以eq o(OZ1,sup6()eq o(OZ2,sup6()對應的復數為0.3.在復平面內，復數65i，23i對應的點分別為A，B，若C為線段AB的中點

23、，則點C對應的復數是()A.48i B.82iC.24i D.4i答案C解析因為復數65i，23i對應的點分別為A，B，所以A(6,5)，B(2,3)，又C為線段AB的中點，所以C(2,4)，所以點C對應的復數是24i.4.已知復數zaeq r(3)i(aR)在復平面內對應的點位于第二象限，且|z|2，則復數z等于()A.1eq r(3)i B.1eq r(3)iC.1eq r(3)i或1eq r(3)i D.2eq r(3)i答案A解析因為z在復平面內對應的點位于第二象限，所以a0，則z在復平面內對應的點一定在實軸上方.6.復數zx2(3x)i在復平面內對應的點在第四象限，則實數x的取值范圍

24、是_.答案(3，)解析復數z在復平面內對應的點在第四象限，eq blcrc (avs4alco1(x20，,3x3.7.若復數z(m2)(m1)i為純虛數(i為虛數單位)，其中mR，則|z|_.答案3解析復數z(m2)(m1)i為純虛數(i為虛數單位)，所以m20且m10，解得m2，所以z3i，所以|z|3.8.復數43i與25i分別表示向量eq o(OA,sup6()與eq o(OB,sup6()，則向量eq o(AB,sup6()表示的復數是_.答案68i解析因為復數43i與25i分別表示向量eq o(OA,sup6()與eq o(OB,sup6()，所以eq o(OA,sup6()(4,

25、3)，eq o(OB,sup6()(2，5)，又eq o(AB,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OA,sup6()(2，5)(4,3)(6，8)，所以向量eq o(AB,sup6()表示的復數是68i.9.在復平面內，O是原點，向量eq o(OA,sup6()對應的復數為2i.(1)如果點A關于實軸的對稱點為點B，求向量eq o(OB,sup6()對應的復數；(2)如果(1)中的點B關于虛軸的對稱點為點C，求點C對應的復數.解(1)設向量eq o(OB,sup6()對應的復數為z1x1y1i(x1，y1R)，則點B的坐標為(x1，y1)，由題意可知，點A的坐標為(2,1).根

26、據對稱性可知，x12，y11，故z12i.(2)設點C對應的復數為z2x2y2i(x2，y2R)，則點C的坐標為(x2，y2)，由對稱性可知，x22，y21，故z22i.10.設zxyi(x，yR)，若1|z|eq r(2)，判斷復數wxy(xy)i的對應點的集合表示什么圖形，并求其面積.解|w|eq r(xy2xy2)eq r(2x2y2)eq r(2)|z|，而1|z|eq r(2)，故eq r(2)|w|2.所以w對應點的集合是以原點為圓心，半徑為eq r(2)和2的圓所夾圓環內點的集合(含內外圓周)，其面積S22(eq r(2)22.11.已知a為實數，若復數z(a23a4)(a4)i

27、為純虛數，則復數aai在復平面內對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案B解析若復數z(a23a4)(a4)i是純虛數，則eq blcrc (avs4alco1(a23a40，,a40，)得eq blcrc (avs4alco1(a4或a1，,a4，)即a1，則復數aai1i對應的點為(1,1)，位于第二象限.12.在復平面內，把復數3eq r(3)i對應的向量按順時針方向旋轉eq f(,3)，所得向量對應的復數是()A.2eq r(3) B.2eq r(3)iC.eq r(3)3i D.3eq r(3)i答案B解析復數對應的點為(3，eq r(3)，對應的向量

28、按順時針方向旋轉eq f(,3)，則對應的點為(0，2eq r(3)，所得向量對應的復數為2eq r(3)i.13.設A，B為銳角三角形的兩個內角，則復數z(cos Btan A)itan B對應的點位于復平面的()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案B解析因為A，B為銳角三角形的兩個內角，所以ABeq f(,2)，即Aeq f(,2)B，sin Acos B，cos Btan Acos Beq f(sin A,cos A)cos Bsin A0，所以點(cos Btan A，tan B)在第二象限，故選B.14.若復數35i,1i和2ai在復平面上對應的點在同一條直線上，

29、則實數a的值為_.答案5解析由點(3，5)，(1，1)，(2，a)共線可知a5.15.已知復數z滿足|z|23|z|20，則復數z對應點的軌跡是()A.一個圓 B.兩個圓C.兩點 D.線段答案B解析由|z|23|z|20，得(|z|1)(|z|2)0，所以|z|1或|z|2.由復數模的幾何意義知，z對應點的軌跡是兩個圓.16.已知O為坐標原點，eq o(OZ1,sup6()對應的復數為34i，eq o(OZ2,sup6()對應的復數為2ai(aR).若eq o(OZ1,sup6()與eq o(OZ2,sup6()共線，求a的值.解因為eq o(OZ1,sup6()對應的復數為34i，eq o(

30、OZ2,sup6()對應的復數為2ai，所以eq o(OZ1,sup6()(3,4)，eq o(OZ2,sup6()(2a,1).因為eq o(OZ1,sup6()與eq o(OZ2,sup6()共線，所以存在實數k使eq o(OZ2,sup6()keq o(OZ1,sup6()，即(2a,1)k(3,4)(3k,4k)，所以eq blcrc (avs4alco1(2a3k，,14k，)所以eq blcrc (avs4alco1(kf(1,4)，,af(3,8).)即a的值為eq f(3,8).7.2復數的四則運算7.2.1復數的加、減運算及其幾何意義學習目標1.熟練掌握復數代數形式的加、減運

31、算法則.2.理解復數加減法的幾何意義，能夠利用“數形結合”的思想解題.知識點一復數加法與減法的運算法則1.設z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)是任意兩個復數，則(1)z1z2(ac)(bd)i；(2)z1z2(ac)(bd)i.2.對任意z1，z2，z3C，有(1)z1z2z2z1；(2)(z1z2)z3z1(z2z3).知識點二復數加減法的幾何意義如圖，設復數z1，z2對應向量分別為eq o(OZ1,sup6()，eq o(OZ2,sup6()，四邊形OZ1ZZ2為平行四邊形，向量eq o(OZ,sup6()與復數z1z2對應，向量eq o(Z2Z1,sup6()與復數z1z2對應.

32、思考類比絕對值|xx0|的幾何意義，|zz0|(z，z0C)的幾何意義是什么？答案|zz0|(z，z0C)的幾何意義是復平面內點Z到點Z0的距離.1.兩個虛數的和或差可能是實數.()2.在進行復數的加法時，實部與實部相加得實部，虛部與虛部相加得虛部.()3.復數與復數相加減后結果只能是實數.()4.復數的加法不可以推廣到多個復數相加的情形.()一、復數代數形式的加、減運算例1(1)計算：(56i)(2i)(34i)；(2)設z1x2i，z23yi(x，yR)，且z1z256i，求z1z2.解(1)原式(523)(614)i11i.(2)因為z1x2i，z23yi，z1z256i，所以(3x)(

33、2y)i56i，所以eq blcrc (avs4alco1(3x5，,2y6，)所以eq blcrc (avs4alco1(x2，,y8，)所以z1z2(22i)(38i)(23)2(8)i110i.反思感悟解決復數加減運算的思路兩個復數相加(減)，就是把兩個復數的實部相加(減)，虛部相加(減).復數的減法是加法的逆運算.當多個復數相加(減)時，可將這些復數的所有實部相加(減)，所有虛部相加(減).跟蹤訓練1復數(12i)(34i)(53i)對應的點在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案A解析復數(12i)(34i)(53i)(135)(243)i9i，其對應的點為(9

34、,1)，在第一象限.二、復數加減法的幾何意義例2如圖所示，平行四邊形OABC的頂點O，A，C分別表示0,32i，24i.求：(1)eq o(AO,sup6()表示的復數；(2)對角線eq o(CA,sup6()表示的復數；(3)對角線eq o(OB,sup6()表示的復數.解(1)因為eq o(AO,sup6()eq o(OA,sup6()，所以eq o(AO,sup6()表示的復數為32i.(2)因為eq o(CA,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(OC,sup6()，所以對角線eq o(CA,sup6()表示的復數為(32i)(24i)52i.(3)因為eq o(OB,su

35、p6()eq o(OA,sup6()eq o(OC,sup6()，所以對角線eq o(OB,sup6()表示的復數為(32i)(24i)16i.反思感悟復數與向量的對應關系的兩個關注點(1)復數zabi(a，bR)是與以原點為起點，Z(a，b)為終點的向量一一對應的.(2)一個向量可以平移，其對應的復數不變，但是其起點與終點所對應的復數可能改變.跟蹤訓練2已知平行四邊形ABCD中，eq o(AB,sup6()與eq o(AC,sup6()對應的復數分別是32i與14i，兩對角線AC與BD相交于點O.求：(1)eq o(AD,sup6()對應的復數；(2)eq o(DB,sup6()對應的復數.

36、解(1)因為ABCD是平行四邊形，所以eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()，于是eq o(AD,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()，而(14i)(32i)22i，即eq o(AD,sup6()對應的復數是22i.(2)因為eq o(DB,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()，而(32i)(22i)5，即eq o(DB,sup6()對應的復數是5.三、復數模的綜合問題例3如果復數z滿足|zi|zi|2，那么|zi1|的最小值是()A.1 B.eq f(1,2) C.2 D.eq r(

37、5)答案A解析設復數z，i，i，1i在復平面內對應的點分別為Z，Z1，Z2，Z3，因為|zi|zi|2，|Z1Z2|2，所以點Z的集合為線段Z1Z2.所以Z點在線段Z1Z2上移動，|Z1Z3|min1，所以|zi1|min1.反思感悟|z1z2|表示復平面內z1，z2對應的兩點間的距離.利用此性質，可把復數模的問題轉化為復平面內兩點間的距離問題，從而進行數形結合，把復數問題轉化為幾何圖形問題求解.跟蹤訓練3ABC的三個頂點所對應的復數分別為z1，z2，z3，復數z滿足|zz1|zz2|zz3|，則z對應的點是ABC的()A.外心 B.內心C.重心 D.垂心答案A解析由復數模及復數減法運算的幾何

38、意義，結合條件可知復數z的對應點P到ABC的頂點A，B，C的距離相等，P為ABC的外心.1.復數(1i)(2i)3i等于()A.1i B.1iC.i D.i答案A解析原式1i2i3i1i.2.已知z12i，z212i，則復數zz2z1對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案C解析zz2z1(12i)(2i)13i.故z對應的點為(1，3)，位于第三象限.3.若復數z滿足z(34i)1，則z的虛部是()A.2 B.4 C.3 D.4答案B解析z(34i)1，z24i，故z的虛部是4.4.已知復數z1(a22)(a4)i，z2a(a22)i(aR)，且z1z2為純虛

39、數，則a_.答案1解析z1z2(a2a2)(a4a22)i(aR)為純虛數，eq blcrc (avs4alco1(a2a20，,a2a60，)解得a1.5.設平行四邊形ABCD在復平面內，A為原點，B，D兩點對應的復數分別是32i和24i，則點C對應的復數是_.答案52i解析設AC與BD的交點為E，則E點坐標為eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)，1)，設點C坐標為(x，y)，則x5，y2，故點C對應的復數為52i.1.知識清單：(1)復數代數形式的加減運算法則.(2)復數加減法的幾何意義.(3)復平面上兩點間的距離公式.2.方法歸納：類比、數形結合.3.常見誤區：忽視模的

40、幾何意義.1.已知z56i34i，則復數z為()A.420i B.210iC.820i D.220i答案B解析z34i(56i)(35)(46)i210i.2.復數(3mi)(2i)對應的點在第四象限內，則實數m的取值范圍是()A.meq f(2,3) B.m1C.eq f(2,3)m1答案B解析(3mi)(2i)3mi2i1(m1)i，m10，m1.3.若z12i，z23ai(aR)，且z1z2所對應的點在實軸上，則a的值為()A.3 B.2 C.1 D.1答案D解析z1z22i3ai(23)(1a)i5(1a)i.z1z2所對應的點在實軸上，1a0，a1.4.如果一個復數與它的模的和為5e

41、q r(3)i，那么這個復數是()A.eq f(11,5) B.eq r(3)iC.eq f(11,5)eq r(3)i D.eq f(11,5)2eq r(3)i答案C解析設這個復數為abi(a，bR)，則|abi|eq r(a2b2).由題意知abieq r(a2b2)5eq r(3)i，即aeq r(a2b2)bi5eq r(3)i，eq blcrc (avs4alco1(ar(a2b2)5，,br(3)，)解得aeq f(11,5)，beq r(3).所求復數為eq f(11,5)eq r(3)i.5.在平行四邊形ABCD中，若A，C對應的復數分別為1i和43i，則該平行四邊形的對角線

42、AC的長度為()A.eq r(5) B.5 C.2eq r(5) D.10答案B解析依題意，eq o(AC,sup6()對應的復數為(43i)(1i)34i，因此AC的長度為|34i|5.6.已知復數z滿足z(12i)5i，則z_.答案43i解析z(5i)(12i)43i.7.已知|z|4，且z2i是實數，則復數z_.答案2eq r(3)2i解析因為z2i是實數，可設za2i(aR)，由|z|4得a2416，所以a212，所以a2eq r(3)，所以z2eq r(3)2i.8.設復數z滿足z|z|2i，則z_.答案eq f(3,4)i解析設zxyi(x，yR)，則|z|eq r(x2y2).x

43、yieq r(x2y2)2i.eq blcrc (avs4alco1(xr(x2y2)2，,y1，)解得eq blcrc (avs4alco1(xf(3,4)，,y1.)zeq f(3,4)i.9.計算：(1)eq blc(rc)(avs4alco1(2f(1,2)i)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)2i)；(2)(32i)(eq r(3)2)i；(3)(12i)(ii2)|34i|；(4)(63i)(32i)(34i)(2i).解(1)原式eq blc(rc)(avs4alco1(2f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)2)ieq f(5,2

44、)eq f(5,2)i；(2)(32i)(eq r(3)2)i3(2eq r(3)2)i3eq r(3)i；(3)(12i)(ii2)|34i|12ii1553i；(4)(63i)(32i)(34i)(2i)633(2)32(4)1i82i.10.在復平面內，復數3i與5i對應的向量分別是eq o(OA,sup6()與eq o(OB,sup6()，其中O是原點，求向量eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()與eq o(BA,sup6()對應的復數及A，B兩點之間的距離.解因為復數3i與5i對應的向量分別是eq o(OA,sup6()與eq o(OB,sup6()，其中O是原點，

45、所以eq o(OA,sup6()(3，1)，eq o(OB,sup6()(5,1)，所以eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()(3，1)(5,1)(2,0)，所以向量eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()對應的復數是2，又eq o(BA,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()(3，1)(5,1)(8，2)，所以eq o(BA,sup6()對應的復數是82i，A，B兩點之間的距離|eq o(BA,sup6()|82i|eq r(8222)2eq r(17).11.在復平面內點A，B，C所對應的復數分別為13i，i，2i，若eq o

46、(AD,sup6()eq o(BC,sup6()，則點D表示的復數是()A.13i B.3iC.35i D.53i答案C解析點A，B，C對應的復數分別為13i，i,2i，eq o(BC,sup6()對應的復數為22i.設D(x，y)，eq o(AD,sup6()eq o(BC,sup6()，(x1，y3)(2,2)，eq blcrc (avs4alco1(x12，,y32，)解得eq blcrc (avs4alco1(x3，,y5.)點D表示的復數為35i.12.復數z11icos ，z2sin i，則|z1z2|的最大值為()A.32eq r(2) B.eq r(2)1C.32eq r(2)

47、 D.eq r(2)1答案D解析|z1z2|(1sin )(cos 1)i|eq r(1sin 21cos 2)eq r(32cos sin )eq r(32r(2)cosblc(rc)(avs4alco1(f(,4).eq blc|rc|(avs4alco1(cosblc(rc)(avs4alco1(f(,4)max1，|z1z2|maxeq r(32r(2)eq r(2)1.13.A，B分別是復數z1，z2在復平面上對應的兩點，O為原點，若|z1z2|z1z2|，則AOB為_.答案直角三角形解析由復數的加、減法的幾何意義可知，當|z1z2|z1z2|時，AOB90.14.在復平面內，O是原

48、點，eq o(OA,sup6()，eq o(OC,sup6()，eq o(AB,sup6()對應的復數分別為2i，32i,15i，那么eq o(BC,sup6()對應的復數為_.答案44i解析因為eq o(OA,sup6()，eq o(OC,sup6()，eq o(AB,sup6()對應的復數分別為2i,32i,15i，eq o(BC,sup6()eq o(OC,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OC,sup6()(eq o(OA,sup6()eq o(AB,sup6()32i(2i)(15i)44i.15.若復數z滿足z1cos isin ，則|z|的最小值為_，|z|的最大

49、值為_.答案0 2解析|z1|1，復數z對應的點的軌跡為以(1,0)為圓心，1為半徑的圓，|z|的最小值為0，最大值為2.16.已知復平面內平行四邊形ABCD，A點對應的復數為2i，向量eq o(BA,sup6()對應的復數為12i，向量eq o(BC,sup6()對應的復數為3i.(1)求點C，D對應的復數；(2)求平行四邊形ABCD的面積.解(1)向量eq o(BA,sup6()對應的復數為12i，向量eq o(BC,sup6()對應的復數為3i，eq o(AC,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(BA,sup6()，向量eq o(AC,sup6()對應的復數為(3i)(12

50、i)23i.又eq o(OC,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(AC,sup6()，點C對應的復數為(2i)(23i)42i.eq o(AD,sup6()eq o(BC,sup6()，向量eq o(AD,sup6()對應的復數為3i，即eq o(AD,sup6()(3，1).設D(x，y)，則eq o(AD,sup6()(x2，y1)(3，1)，eq blcrc (avs4alco1(x23，,y11，)解得eq blcrc (avs4alco1(x5，,y0.)點D對應的復數為5.(2)eq o(BA,sup6()eq o(BC,sup6()|eq o(BA,sup6()|e

51、q o(BC,sup6()|cos B，cos Beq f(o(BA,sup6()o(BC,sup6(),|o(BA,sup6()|o(BC,sup6()|)eq f(32,r(5)r(10)eq f(1,5r(2)eq f(r(2),10).sin Beq f(7r(2),10).SABCD|eq o(BA,sup6()|eq o(BC,sup6()|sin Beq r(5)eq r(10)eq f(7r(2),10)7，故平行四邊形ABCD的面積為7.7.2.2復數的乘、除運算學習目標1.掌握復數代數形式的乘法和除法運算.2.理解復數乘法的交換律、結合律和乘法對加法的分配律.知識點一復數乘

52、法的運算法則和運算律1.復數的乘法法則設z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)是任意兩個復數，則z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i.2.復數乘法的運算律對任意復數z1，z2，z3C，有交換律z1z2z2z1結合律(z1z2)z3z1(z2z3)乘法對加法的分配律z1(z2z3)z1z2z1z3思考|z|2z2，正確嗎？答案不正確.例如，|i|21，而i21.知識點二復數除法的法則設z1abi，z2cdi(a，b，c，dR，且cdi0)是任意兩個復數，則eq f(z1,z2)eq f(abi,cdi)eq f(acbd,c2d2)eq f(bcad,c2d2)i(cdi0

53、).1.(1i)(2i)_.答案13i解析依題意得(1i)(2i)2i23i13i.2.i是虛數單位，復數eq f(13i,1i)_.答案2i解析eq f(13i,1i)eq f(13i1i,1i1i)eq f(42i,2)2i.3.復數zi(2i)(i為虛數單位)在復平面內所對應的點在第_象限.答案四解析因為zi(2i)12i，所以復數z對應的點在第四象限.4.已知復數zeq f(5i,12i)(i是虛數單位)，則|z|_.答案eq r(5)解析|z|eq blc|rc|(avs4alco1(f(5i,12i)eq blc|rc|(avs4alco1(f(5i12i,5)|i2|eq r(5

54、).一、復數代數形式的乘法運算例1計算下列各題.(1)(1i)(1i)(1i)；(2)(2i)(15i)(34i)2i.解(1)(1i)(1i)(1i)1i21i1i.(2)(2i)(15i)(34i)2i(210ii5i2)(34i)2i(311i)(34i)2i(912i33i44i2)2i5321i2i5323i.反思感悟(1)兩個復數代數形式乘法的一般方法首先按多項式的乘法展開.再將i2換成1.然后再進行復數的加、減運算.(2)常用公式(abi)2a2b22abi(a，bR).(abi)(abi)a2b2(a，bR).(1i)22i.跟蹤訓練1(1)計算：(1i)2(23i)(23i)

55、等于()A.213i B.132iC.1313i D.132i答案D解析(1i)2(23i)(23i)12ii2(49i2)132i.(2)若復數(1i)(ai)在復平面內對應的點在第二象限，則實數a的取值范圍是()A.(，1) B.(，1)C.(1，) D.(1，)答案B解析因為z(1i)(ai)a1(1a)i，所以它在復平面內對應的點為(a1,1a)，又此點在第二象限，所以eq blcrc (avs4alco1(a10，)解得a1.二、復數代數形式的除法運算例2(1)如圖，在復平面內，復數z1，z2對應的向量分別是eq o(OA,sup6()，eq o(OB,sup6()，則復數eq f(

56、z1,z2)對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案B解析由復數的幾何意義知，z12i，z2i，所以eq f(z1,z2)eq f(2i,i)12i，對應的點在第二象限.(2)計算：eq f(1i7,1i)eq f(1i7,1i)eq f(34i22i3,43i).解原式(1i)23eq f(1i,1i)(1i)23eq f(1i,1i)eq f(834i1i3,34ii)(2i)3i(2i)3(i)eq f(82i1i,i)881616i16i.反思感悟(1)兩個復數代數形式的除法運算步驟首先將除式寫為分式.再將分子、分母同乘以分母的共軛復數.然后將分子、分母

57、分別進行乘法運算，并將其化為復數的代數形式.(2)常用公式eq f(1,i)i；eq f(1i,1i)i；eq f(1i,1i)i.跟蹤訓練2(1)設復數z滿足eq f(1z,1z)i，則|z|等于()A.1 B.eq r(2) C.eq r(3) D.2答案A解析由eq f(1z,1z)i得1zi(1z)，即zeq f(1i,1i)eq f(1i1i,1i1i)eq f(1i2,2)i，|z|1.(2)計算：eq f(7i,34i)；eq f(1i2i,i).解eq f(7i,34i)eq f(7i34i,34i34i)eq f(2525i,25)1i.eq f(1i2i,i)eq f(3i

58、,i)eq f(3ii,ii)13i.三、在復數范圍內解方程例3在復數范圍內解方程x26x100.解因為x26x10 x26x91(x3)21，所以(x3)21，又因為i21，所以(x3)2i2，所以x3i，即x3i.反思感悟當一元二次方程中0時，在復數范圍內有兩根且互為共軛復數.跟蹤訓練3已知1i是方程x2bxc0(b，c為實數)的一個根.(1)求b，c的值；(2)試判斷1i是不是方程的根.解(1)1i是方程x2bxc0的根，且b，c為實數，(1i)2b(1i)c0，即bc(b2)i0，eq blcrc (avs4alco1(bc0，,2b0，)解得eq blcrc (avs4alco1(b

59、2，,c2.)(2)由(1)知方程為x22x20，把1i代入方程左邊得(1i)22(1i)20右邊，即方程式成立.1i是方程的根.1.若a，bR，i為虛數單位，且(ai)ibi，則()A.a1，b1 B.a1，b1C.a1，b1 D.a1，b1答案D解析(ai)iai1bi，a1，b1.2.復數(1i)2(23i)的值為()A.64i B.64iC.64i D.64i答案D解析(1i)2(23i)2i(23i)64i.3.在復平面內，復數eq f(i,1i)(1eq r(3)i)2對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案B解析eq f(i,1i)(1eq r(3

60、)i)2eq f(1,2)ieq f(1,2)132eq r(3)ieq f(3,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)2r(3)i，對應點在第二象限.4.(1i)2eq f(2i,2i)_.答案eq f(3,5)eq f(14,5)i解析(1i)2eq f(2i,2i)2ieq f(2i2,5)eq f(3,5)eq f(14,5)i.5.方程x230在復數范圍內的解為x_.答案eq r(3)i1.知識清單：(1)復數的乘法及運算律.(2)復數的除法運算.(3)復數的綜合運算.(4)在復數范圍內解方程.2.方法歸納：分母實數化；配方法解方程；求根公式法.3.常見誤區：分母