1、數學概括法典型例題【知識梳理】數學概括法是證明對于正整數n的命題的一種方法，在高等數學中有側重要的用途，因此成為高考的熱門之一。近幾年的高考試題，不只需求能用數學概括法去證明現代的結論，并且增強了對于不完好概括法應用的觀察，既要求概括發現結論，又要求能證明結論的正確性，所以，初步形成“察看概括猜想證明”的思想模式，就顯得特別重要。一般地，證明一個與正整數n相關的命題，可按以下步驟進行：（1）（概括奠定）證明當n取第一個值n=n0時命題建立；（2）（概括遞推）假定n=k（時命題也建立。）時命題建立，證明當只需達成這兩個步驟，就能夠判定數題對從開始的全部正整數n都成立。上述證明方法叫做數學概括法。

2、數學概括法是推理邏輯，它的第一步稱為奠定步驟，是論證的基礎保證，即經過考證落實傳達的起點，這個基礎一定真切靠譜；它的第二步稱為遞推步驟，是命題擁有后繼傳達性的保證，即只需命題對某個正整數建立，就能保證該命題對后繼正整數都建立，兩步合在一同為完好概括步驟，稱為數學概括法，這兩步各司其職，缺一不行，特別指出的是，第二步不是判斷命題的真偽，而是證明命題能否擁有傳達性，假如沒有第一步，而僅有第二步建立，命題也可能是假命題。【重點分析】1、用數學概括法證明相關問題的重點在第二步，即nk1時為何建立，nk1時建立是利用假定nk時建立，依據相關的定理、定義、公式、性質等數學結論推證出nk1時建立，而不是直接

3、代入，不然nk1時也成假定了，命題并無獲得證明。用數學概括法可證明相關的正整數問題，但其實不是全部的正整數問題都是用數學概括法證明的，學習時要詳細問題詳細剖析。2、運用數學概括法時易犯的錯誤（1）對項數估量的錯誤，特別是找尋nk與nk1的關系時，項數發生什么變化被弄錯。（2）沒有益用概括假定：概括假定是一定要用的，假定是起橋梁作用的，橋梁斷了就通可是去了。（3）重點步驟含糊不清，“假定nk時結論建立，利用此假定證明nk1時結論也建立”，是數學概括法的重點一步，也是證明問題最重要的環節，對推導的過程要把步驟寫完好，注意證明過程的謹慎性、規范性。【典型例題】例1.用數學概括法證明：時，。分析：當時

4、，左側，右側，左側=右側，所以等式建立。假定時等式建立，即有，則當時，所以當時，等式也建立。由，可知，對全部等式都建立。評論：（1）用數學概括法證明與自然數相關的一些等式，命題重點在于“先看項”，弄清等式兩邊的組成規律，等式的兩邊各有多少項，項的多少與n的取值能否相關，由到時等式的兩邊會增添多少項，增添如何的項。（2）在本例證明過程中，（I）考慮“n取第一個值的命題形式”時，需仔細對待，一般狀況是把第一個值代入通項，觀察命題的真假，（II）步驟在由到的遞推過程中，一定用概括假定，不用概括假定的證明就不是數學概括法。此題證明時若利用數列乞降中的拆項相消法，即，則這不是概括假定，這是套用數學概括法

5、的一種偽證。（3）在步驟的證明過程中，突出了兩個湊字，一“湊”假定，二“湊”結論，重點是明確時證明的目標，充分考慮由到時，命題形式之間的差別和聯系。例2.。分析：（1）當時，左側，右側，命題建立。（2）假定當時命題建立，即，那么當時，左側。上式表示當時命題也建立。由（1）（2）知，命題對全部正整數均建立。例3.用數學法明：全部大于1的自然數n，不等式建立。分析：當，左=，右，左右，不等式建立。假，不等式建立，即，那么當，不等式也建立。由，知，全部大于1的自然數n，不等式都建立。點：（1）本明命建立，利用假，并照目式行了適合的小來，也能夠用上假后，明不等式建立。（2）用數學法明與非零自然數相關的

6、命要注意兩個步缺一不行，第步建立是推理的基，第步是推理的依照（即建立，建立，另一方面，第步中，3等；第步中，明建立，進而判定數全部的自然數均建立）中的未必是1，依據目要求，有可命也建立的程中，要作適合的形，法。2，用上假。例4.若不等式對全部正整數n都建立，求正整數a的最大值，并證明你的結論。分析：取，。令所以取，得，而，下邊用數學概括法證明，（1）時，已證結論正確（2）假定時，則當時，有，由于，所以，所以，即時，結論也建立，由（1）（2）可知，對全部，都有，故a的最大值為25。例5.用數學概括法證明：能被9整除。分析：方法一：令，（1）能被9整除。（2）假定能被9整除，則能被9整除。由（1）

7、（2）知，對全部，命題均建立。方法二：（1），原式能被9整除，（2）若，能被9整除，則時時也能被9整除。由（1），（2）可知，對任何，能被9整除。評論：證明整除性問題的重點是“湊項”，而采納增項、減項、拆項和因式分解等手段湊出時的情況，進而利用概括假定使問題獲證。例6.求證：能被整除，。分析：（1）當時，命題明顯建立。（2）設時，能被整除，則當時，。由概括假定，上式中的兩項均能被整除，故時命題建立。由（1）（2）可知，對，命題建立。例7.平面內有n個圓，此中每兩個圓都交于兩點，且無三個圓交于一點，求證：這n個圓將平面分紅個部分。分析：時，1個圓將平面分紅2部分，明顯命題建立。假定時，個圓將平面

8、分紅個部分，當時，第k+1個圓交前面k個圓于2k個點，這2k個點將圓分紅2k段，每段將各自所在地區一分為二，于是增添了2k個地區，所以這k+1個圓將平面分紅個部分，即個部分。故時，命題建立。由，可知，對命題建立。評論：用數學概括法證明幾何問題的重點是“找項”，即幾何元素從k個變成k+1個時，所證的幾何量將增添多少，這需用到幾何知識或借助于幾何圖形來剖析，在實在剖析不出來的狀況下，將n=k+1和n=k分別代入所證的式子，而后作差，即可求出增添量，而后只需略加說明即可，這也是用數學概括法證明幾何命題的一大技巧。例8.設，能否存在對于自然數n的函數，使等式對于的全部自然數都建立？并證明你的結論。分析

9、：當時，由，得，當時，由，得，猜想。下邊用數學概括法證明：當時，等式恒建立。當時，由上邊計算知，等式建立。假定建立，那么當時，當時，等式也建立。由知，對全部的自然數n，等式都建立。故存在函數，使等式建立。評論：（1）概括、猜想時，重點是找尋知足條件的與n的關系式，猜想的關系未必對隨意的都知足條件，故需用數學概括法證明。（2）經過解答概括的過程供給了一種思路：可直接解出，即。【模擬試題】1.用數學概括法證明“當n為正奇數時，能被整除”時，第二步概括假定應寫成A.假定時，命題建立B.假定時，命題建立C.假定時，命題建立D.假定時，命題建立2.證明，假定時建立，當1時，左端增添的項數是A.1項B.項

10、C.k項D.項3.凸k形的內角和，凸形的內角和（）A.B.C.D.4.某個命與自然數n相關，若命建立，那么可推適合命也建立，已知當，命不建立，那么可推得A.當，命不建立B.當，命建立當n=4，命不建立當n=4，命建立5.用數學法明，由到，不等式左增添的是A.B.C.D.6.（5分）在數列中，且，2成等差數列（表示數列的前n和），分_；由此猜想_。7.（5分）已知全部都建立，那么a=_，b=_，c=_。（14分）由以下各式：，你能得出怎的？并行明。9.（16分）數列足，。（1）明：全部正整數n均建立；（2）令，判斷與的大小，并明原因。10.（14分）已知函數，數列足，數列足，。（1）用數學法明（2）明：。11.（16分）（2006年，江西）已知數列足：，且。（1）求數列的通公式；（2）明：全部正整數