1、關于質點力學 (2)第一張，PPT共七十三頁，創作于2022年6月研究物體的機械運動與作用力之間的關系動力學的主要內容動力學所涉及的研究內容包括：1. 動力學第一類問題已知系統的運動，求作用在系統上的力。2. 動力學第二類問題已知作用在系統上的力,求系統的運動。第二張，PPT共七十三頁，創作于2022年6月 Issac Newton（16431727）杰出的英國物理學家,經典物理學的奠基人.他的不朽巨著自然哲學的數學原理總結了前人和自己關于力學以及微積分學方面的研究成果. 他在光學、熱學和天文學等學科都有重大發現. 牛頓第三張，PPT共七十三頁，創作于2022年6月導 讀牛頓三定律、慣性、力慣

2、性系、非慣性系、慣性力力學相對性原理、伽利略變換1.4 質點運動定理第四張，PPT共七十三頁，創作于2022年6月慣性： 物體保持其運動狀態不變的性質力： 物體間相互作用1 牛頓運動方程任何物體如果沒有受到其它物體的作用，都將保持靜止狀態或勻速直線運動狀態. 慣性定律牛頓第一定律它不僅說明了物體具有慣性的性質，還為整個力學體系選定了一類特殊的參考系慣性參考系 第五張，PPT共七十三頁，創作于2022年6月mgFT慣性系牛頓定律成立的參考系非慣性系相對于慣性系作加速運動的參考系yx慣性系與非慣性系第六張，PPT共七十三頁，創作于2022年6月牛頓第二定律動量：注意:質點 慣性系 瞬時性 矢量性牛

3、頓第三定律注意:二力同時存在, 分別作用于兩個物體上，屬同一性質的力第七張，PPT共七十三頁，創作于2022年6月小 結任何物體如果沒有受到其它物體的作用，都將保持靜止狀態或勻速直線運動狀態. 慣性定律牛頓第一定律牛頓第二定律動量：注意:質點 慣性系 瞬時性 矢量性牛頓第三定律注意:二力同時存在, 分別作用于兩個物體上，屬同一性質的力第八張，PPT共七十三頁，創作于2022年6月1.5 質點運動微分方程導 讀運動微分方程建立運動微分方程求解第九張，PPT共七十三頁，創作于2022年6月建立運動微分方程 1. 自由質點解方程1） 分析受力重力一定有，彈力查四周，分析摩擦力，莫忘電磁浮第十張，PP

4、T共七十三頁，創作于2022年6月（2）化為標量方程直角坐標系 平面極坐標 自然坐標第十一張，PPT共七十三頁，創作于2022年6月（3）初始條件（4）求解 運動方程第十二張，PPT共七十三頁，創作于2022年6月2. 非自由質點解決方法：去掉約束，用約束反作用力代替 運動微分方程 解方程與自由質點一樣 注意（1） 一般未知，加約束方程 （2）用自然坐標系很方便第十三張，PPT共七十三頁，創作于2022年6月 1) 光滑約束，約束力在軌道的法平面內(1)式求出運動規律,(2)和(3)解出約束力.第十四張，PPT共七十三頁，創作于2022年6月4個方程4個未知數,可解2) 非光滑約束 第十五張，

5、PPT共七十三頁，創作于2022年6月例題1 力僅是時間的函數自由電子在沿x軸的振蕩電場中運動：電子受力：由第十六張，PPT共七十三頁，創作于2022年6月積分得第十七張，PPT共七十三頁，創作于2022年6月例題2 力是速度的函數在具有阻力的媒質中運動的拋射體分析：受力 mg R運動微分方程 用自然坐標系分解（運動方向為正）第十八張，PPT共七十三頁，創作于2022年6月第十九張，PPT共七十三頁，創作于2022年6月兩式相比可解出第二十張，PPT共七十三頁，創作于2022年6月消去參量 可得運動方程因此：第二十一張，PPT共七十三頁，創作于2022年6月通解+特解+第二十二張，PPT共七十

6、三頁，創作于2022年6月第二十三張，PPT共七十三頁，創作于2022年6月例題3 力是坐標的函數原子在晶體點陣中的運動可解得初始條件：令直角坐標分解：運動微分方程：第二十四張，PPT共七十三頁，創作于2022年6月受迫振動LRC電路第二十五張，PPT共七十三頁，創作于2022年6月例題4 質量為m的質點，在有阻力的空氣中無初速地自離地面為h的地方豎直下落，如阻力與速度成正比（mkv），試求運動方程。解：受力建一維直角坐標系，分解運動微分方程第二十六張，PPT共七十三頁，創作于2022年6月積分速度 勻速直線運動 討論：t 增加，運動方程第二十七張，PPT共七十三頁，創作于2022年6月例題5

7、 小環的質量為m，套在一條光滑的鋼索上，鋼索的方程式為 .試求小環自x=2a處自由滑至拋物線頂點時的速度及小環在此時所受到的約束反作用力。解微分方程組可得自然坐標，運動方向為正運動微分方程解：受力：第二十八張，PPT共七十三頁，創作于2022年6月dxdyds第二十九張，PPT共七十三頁，創作于2022年6月小 結自由質點 非自由質點受力分析寫出運動微分方程矢量式建立適當的坐標系分解標量方程解微分方程第三十張，PPT共七十三頁，創作于2022年6月1.6 非慣性系動力學慣性系牛頓定律成立的參考系。一切相對于慣性系作勻速直線運動的參考系也是慣性系。非慣性系相對于慣性系做加速運動的參考系。在非慣性

8、系內牛頓定律不成立。第三十一張，PPT共七十三頁，創作于2022年6月 S系： 靜系移項于是S系：動系mgT第三十二張，PPT共七十三頁，創作于2022年6月物理意義慣性力不是物體間的相互作用，沒有施力者，也不存在反作用力慣性力的實質是物體的慣性在非慣性系中的表現。在非慣性系中，牛頓運動定律表示為：非慣性系的加速度慣性力合外力第三十三張，PPT共七十三頁，創作于2022年6月1.7 功與能功、能量定義勢能、動能保守力系導 讀第三十四張，PPT共七十三頁，創作于2022年6月1 什么是能量？什么是功？所以必須先給出其中一個物理量確切的定義!(本教材定義)功: 凡是作用在物體上的力, 使得物體沿力

9、的方向上移動了位置, 就說力對物體做了功. 一般來說, 功等于力乘以物體在力的方向所產生的位移.第三十五張，PPT共七十三頁，創作于2022年6月功的單位： J質點沿曲線 L 從 a 運動到 b力 F 所做的功：第三十六張，PPT共七十三頁，創作于2022年6月例 平方反比力Mabc萬有引力、電磁力等第三十七張，PPT共七十三頁，創作于2022年6月合力的功：合力的功等于各分力的功的代數和.功率：第三十八張，PPT共七十三頁，創作于2022年6月2 能 物體處在某一狀態所具有的能量 能是狀態量，功是過程量，是能量變化的量度 機械能 物體相對位置發生變化 V第三十九張，PPT共七十三頁，創作于2

10、022年6月3 保守力、非保守力與耗散力力場: 假如力僅是坐標x、y、z的單值、有限和可微的函數，則在空間區域每一點上，都將有一定的力作用著，這個空間區域叫做力場.第四十張，PPT共七十三頁，創作于2022年6月保守力:物體運動任一閉合路徑作功等于零的力保守力做功與路徑無關例子(i)重力(ii)彈性力(iii)平方反比力第四十一張，PPT共七十三頁，創作于2022年6月做功與經歷的路徑有關的力(又叫渦旋力)非保守力:耗散力:做功與經歷的路徑有關, 但總是做負功的力. 例如:摩擦力第四十二張，PPT共七十三頁，創作于2022年6月3 保守力、非保守力與耗散力則如果力做功與中間路徑無關，則必存在單

11、值、有限、可微的函數V(x,y,z) 第四十三張，PPT共七十三頁，創作于2022年6月Nabla, 拉普拉斯The name comes from the Greek word for a Hebrew harp, which had a similar shape第四十四張，PPT共七十三頁，創作于2022年6月4 勢能函數在物體從位置a移動到b時，保守力做功為勢能V(x,y,z)的減少值，即 保守力作功在數值上等于系統勢能的減少例子:重力勢能、彈性勢能、引力勢能質點在位置 處的勢能第四十五張，PPT共七十三頁，創作于2022年6月勢能的大小只有相對的意義 取 r0 點為勢能零點，則任意一

12、點 r 的勢能為： 空間某點的勢能 V 等于質點從該點移動到勢能零點時保守力作的功.關于勢能的幾點說明請推導：第四十六張，PPT共七十三頁，創作于2022年6月重力勢能：（ h=0 為勢能零點,取向上為正方向）彈性勢能：（彈簧自由端為勢能零點）引力勢能：（無限遠處為勢能零點）推導第四十七張，PPT共七十三頁，創作于2022年6月保守力充要條件第四十八張，PPT共七十三頁，創作于2022年6月例題1設作用在質點上的力是求此質點沿螺旋線運行自時，力對質點所做的功.解：力是否保守力？力是保守力，做功與路徑無關第四十九張，PPT共七十三頁，創作于2022年6月勢函數第五十張，PPT共七十三頁，創作于2

13、022年6月例題2 接上題條件, 若可以證明做功與路徑有關不存在勢函數第五十一張，PPT共七十三頁，創作于2022年6月小結功、能量定義勢能、動能保守力系物體相對位置 V勢能函數第五十二張，PPT共七十三頁，創作于2022年6月1.8 質點動力學的基本定理與基本守恒律導 讀 動量定理與動量守恒律 力矩與動量矩(角動量) 動量矩定理與動量矩守恒律 動能定理與機械能守恒律 勢能曲線第五十三張，PPT共七十三頁，創作于2022年6月牛頓運動定律：如果力的作用時間從 ，質點動量從 第五十四張，PPT共七十三頁，創作于2022年6月1 質點動量定理：質點在運動過程中，所受合外力的沖量等于質點動量的增量沖

14、量：微分形式積分形式第五十五張，PPT共七十三頁，創作于2022年6月質點所受合外力為零時, 質點的動量保持不變條件：動量守恒定律 動量守恒定律是物理學中最重要、最普遍的定律之一，它不僅適合宏觀物體，同樣也適合微觀領域則但分量形式：若意義：質點不受外力作用時，動量保持不變.則若第五十六張，PPT共七十三頁，創作于2022年6月（1） 對定點的力矩設作用力 作用于矢徑為 的某一點上單位：Nm作用力 對參考原點O 的力矩定義為：Od2 力矩與動量矩第五十七張，PPT共七十三頁，創作于2022年6月力矩的大小：力矩的方向： 位矢 與作用力 的矢積方向力臂：作用力線到參考點O 的垂直距離(d =rsi

15、n ) Od第五十八張，PPT共七十三頁，創作于2022年6月zd對轉軸力矩的定義：對于定軸轉動，規定：力矩逆時針方向 為正.力矩順時針方向 為負.（2） 對定軸的力矩第五十九張，PPT共七十三頁，創作于2022年6月求作用力 對空間某軸的力矩,考慮分量,力對原點的力矩為Fxyz(L)FyFzO上式中三個分量是力矩在三個坐標軸的分量, 也就是力分別對三坐標軸的力矩. 所以求力對軸的力矩, 可以先求對軸上一點的力矩, 再投影到軸的方向.第六十張，PPT共七十三頁，創作于2022年6月已知力 平行于Z軸，求它對Z軸的力矩yz(L)FO力和軸線平行，力矩為0第六十一張，PPT共七十三頁，創作于202

16、2年6月（3） 質點的動量矩（角動量）定義: 動量對空間某點或某軸的矩, 叫做動量矩, 也叫角動量o質點對O點的動量矩：kg m2s-1質點對軸的動量矩：第六十二張，PPT共七十三頁，創作于2022年6月按動量矩的定義：兩邊對時間求導：其中：所以：又 質點所受的合外力矩就等于角動量對時間的變化率.動量矩定理：3 質點的動量矩定理第六十三張，PPT共七十三頁，創作于2022年6月質點的動量矩守恒定律: 若質點不受力的作用,或者雖然受力但是合外力矩為零，則質點的動量矩守恒。 合外力矩的沖量矩等于質點系動量矩的增量。第六十四張，PPT共七十三頁，創作于2022年6月例2、一質點所受的力,如通過某一個

17、定點, 則質點必在一平面上運動,試證明之.解: 力所通過的那個定點叫做力心如取這個定點為坐標系的原點, 則質點的位矢 r 與F 共線，二者的矢量乘積為零, 故L 為一恒矢量所以:(1)(2)(3)用x乘(1)，y乘(2)，z乘(3)，并相加得由解析幾何,知上式代表一個平面方程，故質點只能在這個平面上運動第六十五張，PPT共七十三頁，創作于2022年6月(1) 動能定理單位：J 動能4 動能定理和機械能守恒定律牛頓方程經過數學運算得到質點動能定理微分形式質點動能定理:第六十六張，PPT共七十三頁，創作于2022年6月(2) 機械能守恒定律 如果一個系統只有保守內力內作功，非保守內力和一切外力都不

18、做功，那么系統的總機械能保持不變. 這個系統也常稱為保守系.力是保守力第六十七張，PPT共七十三頁，創作于2022年6月第一積分或初積分如果方程對時間的一次微商就是牛頓運動微分方程，就稱上式為牛頓運動方程的第一積分或初積分. 數學上：二階微分方程降為一階 物理上：力學量 G 是一個守恒量 物理意義明顯的初積分： 動量守恒、動量矩守恒、能量守恒 由初積分出發問題的求解簡化了一步 優先使用守恒律第六十八張，PPT共七十三頁，創作于2022年6月(3) 保守系與時間反演對稱性時間反演:相當于電視片的倒放效果考慮:為什么演員飛高時都是穿的緊身衣?空氣阻力理論:每個質點都滿足牛頓運動定律做時間反演, 動量也反向, 右端不變. 因保守力只與質點的相對位置有關, 它是時間反演不變的. 所以可逆過程能夠發生. 摩擦力不是保守力.第六十九張，PPT共七十三頁，創作于2022年6月例題重錘，輕杠，固定 o 點，在豎直平面內圓周運動 ，自由落下，用兩種方法，求最低點的速度.解1：受力分析：mg T 機械能守恒：mgTP0v第七十張，PPT共七十