1、探索性數學教學實驗培養學生創新素質的研究與實踐摘要：為了提高學生學習數學的興趣，培養學生的創新素質，采用科學的思維方 法，進行大膽的設計,探索開放式數學教學實驗。本實驗是基于項目案例，如以成 渝地區旅游交通路線優化問題為案例，指導學生查閱、整理資料，通過數學抽象將 問題轉化為數學問題，利用數學理論和經典算法建立數學模型。探索性數學實驗 提高了學生的創新思維和創新實踐能力 關鍵詞:探索性數學實驗；創新素養；數學模型Research and Practice on Cultivating Students)Innovative QualityThrough Exploratory Mathemat

2、ics Teaching ExperimentAbstract: In order to improve students) interest in learning mathematics and cultivate students) innovation quality, we adopt the scientific thinking method, carry on the bold design, and explore open mathematics teaching experiment. The experiment process basically are the sa

3、me with the scientific research process. The experiments are based on the project case, such as we take the Chengdu-Chongqing area tourism transportation route optimization problem to demand the students to consult，finishing materials. The problem through mathematical abstraction is transformed into

4、 the math problems，then mathematical theory and classical algorithm can be used to build mathematical model and the optimal path of teaching practice. The exploratory mathematical experiment improve students) innovative personality，innovative thinking and innovative practice.Key words： exploratory m

5、athematical experiments; innovation literacy; mathematical modelo引言“創新是一個民族進步的靈魂，是一個國家興旺 發達的不竭動力，也是中華民族最深沉的民族稟賦。” 國家創新驅動發展戰略綱要E指出，要讓創新成為 引領發展的第一動力，要推動教育創新,把科學精神、 創新思維、創造能力和社會責任感的培養貫穿教育全過程。數學作為現代理性文化的核心,是科技創新必 不可少的一種資源，是一種普遍適用并賦予人以能力 的技術，高技術本質上是一種數學技術正在成為 共識。探索性實驗是指采用科學思維方法，進行大膽設 計，探索研究的一種開放式教學實驗，實驗實

6、施的基本 程序與科研過程基本一致。探索性數學實驗不僅 要用到數學知識，還要用到非數學領域的知識,按照分 析整理的數據與信息自行設定已知條件，將問題經過 數學抽象轉化為數學問題，利用數學經典理論和算法 提出解決思路和解決方案。探索性數學實驗強調學生 的主體地位，訓練學生快速獲取信息和資料、快速了解 和堂握新知識的能力、團隊合作意識和團隊合作精神、邏輯思維和開放性思考方式，是培養大學生創新素 養一即創新人格、創新思維、創新實踐的有效途徑1探索性數學實驗的構建高校數學教師在教學過程中，不能停留在營造創 新的“氛圍”、開展創新“活動”，而應設計有探索性的 數學實驗任務，鼓勵學生利用創新思維、創新實踐完

7、成 任務并及時給予有效指導。探索性數學實驗與生產、 生活實際緊密結合，所解決的問題沒有經過數學抽象 和數量轉化，量與量之間的關系不明確，需要學生自己 動手去采集、分析、整理數據和信息。在教學實踐中， 利用國家政策、社會熱點、生活實際需求構建項目任 務，驅動學生發現問題、分析問題、解決問題，越來越受 到師生的歡迎與青睞。究其原因，在于探索性數學實 驗有一定的挑戰度，沒有創新就不能完成實驗任務，學 生通過實驗獲取了信息歸結、探求新知、思維創新，最 終解決問題所帶來的成就感、獲得感探索性數學實驗構建原則上要學生參與,通過數 學協會在全校廣泛征集實際問題，由學生自行查閱資 料,擬定實驗方案，與指導教師

8、一起敲定實驗方案，發 布并實施，學生自行組隊開展實驗，實驗以課題的形式 加以推進。根據實驗方案進行反復實驗、討論，提出解 決方案，對比分析實驗結果，提升學生學習數學的興趣 度、挑戰度和獲得感;要求學生撰寫實驗報告,格式應 工整，圖文并茂，程序規范;實驗完成后要總結匯報，組 織數模協會學生對實驗進行總結，相互交流，取長 補短。2探索性數學實驗的案例結合成渝地區雙城經濟圈這一國家級的發展戰 略,形成了優化成渝地區城市群旅游交通路線為任務 的實驗題目2019年新型城鎮化建設重點任務明確 將成渝城市群與京津冀城市群、長三角城市群和粵港 澳城市群并列成渝城市群旅游資源非常豐富，連 接旅游城市的高速公路網

9、絡較為完善,2019年川渝高交通流量等相差不大的情況下,最優化路線實際上就 是遍歷所有旅游城市的最短交通路線。尋求最短路線 是節約旅游成本、時間的最好途徑，也是規劃旅游線路 的首要考慮。于是,問題就轉化為求遍歷（個川渝旅 游城市最短的高速公路旅行路線,其中這（個城市學 生可以自行選擇。問題經過數學抽象和轉化后，學生 開展實驗的方向明確了，接下來就是合理假設和尋求 問題的解決方案。2. 2解決問題的基礎知識圖是由表示頂點的集合和表示頂點之間關系 的集合8組成的，通常表示為$ = （ V,E）,其中，$表 示一個圖，是圖$中頂點的有窮非空集合,E是圖$ 中邊的有限集合。設$為圖，圖的頂點集為V =

10、 （,）,邊集為 E = （,=,（），對圖的每一條邊=（V，V）來說，都對應于一個實數_（可以理解為 邊的“長度#）,把_稱為的“權”，這樣的圖$稱為 “加權圖”，其加權鄰接矩陣L = （Z,）（h（可以定義為3一嚴J,（ V-，V）! E且 _ 為權8,（ V-,q）8 E初,圖的用途是將圖中的點和映射關系反映到現實生 活，例如“頂點”可以對應為旅游交通節點城市;邊對 應節點城市公路的長度,如此便構成了一張區域交通 圖。旅游交通路線是指連接旅游城市的高速公路網 絡,如果只考慮旅游城市與高速公路構成的網絡的拓 撲關系，可將旅游交通路線抽象成一個圖（Graph）,其 中旅游城市是圖的頂點；連接

11、旅游城市的高速公路是 圖的邊。在圖論中，最短路問題通常指求加權圖中兩 個指定點（一般為不相鄰的點）之間的最短路徑。許 多學者開展了最短路問題和最短路徑優化問題的研 究,如文獻申2。初,0-1規劃是決策變量僅取值0或1的規劃模型。 0-1變量可以數量化地描述諸如開與關、取與棄、有與 無等現象所反映的離散變量間的邏輯關系、順序關系, 以及互斥的約束條件，因此0-1規劃模型非常適合描速總里程超10 000 km,預計到2022年將達到12 000述和解決如線路設計、工廠選址、生產計劃安排、人員km,高速公路在促進交通運輸與旅游融合發展發揮了安排、代碼選取、可靠性等人們所關心的多種問題，是重要作用。旅

12、游交通特別是高速公路交通的便利程運籌學的重要分支品。度，是區域旅游業是否發達的重要因素。試從旅游一2- 3兩點之間最短路問題一般模型體化發展、旅行成本最小化的角度，優化成渝城市群旅 游交通路線。2.1問題的數學轉化針對該問題，學生查閱、整理和分析相關資料，得 到如下結論:旅游交通路線的選擇是旅行組織最優先 考慮首要成本要素，尋求最短的交通路線是游客追求 時間最少獲得更多的旅游體驗、旅行社追求最小的成 本獲得最大的收益的前提。在旅游交通線路線路況、已知無向加權圖有n個頂點，設為V1 ,V2，v（，見 圖1。假設圖$的加權鄰接矩陣為Z11Z12Z1nrZ21Z22Z2nL0 =-Zn1Zn2Znn

13、 -圖1有(個頂點的加權圖其中:1-=0若V巧.之間沒有邊，不直接連通，則lLJ = 8 ；若 V 之間有邊，則 l-j = _-j,i,j = 1,2,(。圖 1 是無向圖,Co是對稱矩陣,I- = lj-。利用Floyd算法計算各頂點之間的最短通路值, 其基本思路是:遞推產生一個矩陣序列1,11,1=, 1，L( , Lk ( - ,j)表示從頂點V-到頂點%的路徑上所 經過的頂點序號不大于k的最短路徑長度。建立迭代 模型如下：1k ( - J) D min( Lk_i( i,j) ,1k-i( -,k) + 1k-i( k J)($) 其中:k是迭代次數，-,j,k = 1,2 ,(。當

14、k 時,L( 即是各頂點之間的最短路徑m2。2. 4遍歷所有頂點的最短路徑一般模型假設(個頂點每2個頂點以最短的距離互相連 通表示V-到的最短距離。設0-1矩陣0,若不經過V-到V這條線 1 ,若經過V-到V這條線X- = ( -7)nxn，且 X = 于是，X- = ( -7)nxn，且 X = J=1,9-=1,2,(;若每個點之前只有一個點，則$=-=1 ,-9j1 , = 1,2 同時，為避免在一次遍歷(個點的計 算過程中產生多于一個互不相連的回路，加入約束條 件,引入額外變量0-( - = 1,2,(),使得:u- - 0 +(-j-1,1 - =1,則 u- u & 1 且 u u

15、- & 1,于是 0 & 2,矛 盾。另一方面,V-、V和Vk不可能構成回路。若構成回 路,則 -j = 1、jk = 1 且 k- = 1，于是 0- U & - 1、uj uk & 1且uk u- & 1,三式子相加可得0& 3，矛盾。于是可以建立最短路徑的一般模型如下：min b = $ )砂可(2)-,=1ns.t. $ x-j = 1 -=1,9-n$ x- = 14 A TkK 字 ic .k- - kj + xu & n - 1 , 1 =1 l ( n-2) * x( k,1)；endmodel:sets:xjd/1. . 9/: u;link( xjd ,xjd):dist,

16、x；endsetsdata:dist =084 121 167 99 126 192 218 24584 0 76 198 124 198 230 290 329121 76 0 274 134 208 178 300 366167 198 274 0 266 293 359 310 3263探索性數學實驗的效果本探索性實驗解決問題采用的算法和軟件較多, 大致可以歸納為以下幾個算法和軟件（見表3 ） !兩點之間最遍歷所有頂點的可利用短路徑求法最優化路徑求法的程序1.0-L線性規劃模型1. Dijkstra 算法2.圖的賦權路徑矩陣算法或 2. Floyd算法C+、Java、3 蟻群算法（改進蟻

17、群3, ,3馭群算法（改進馭群模型3.04線性規劃Matlabmodel:sets:xjd/1. . 9/: u;link( xjd ,xjd):dist,x；endsetsdata:dist =084 121 167 99 126 192 218 24584 0 76 198 124 198 230 290 329121 76 0 274 134 208 178 300 366167 198 274 0 266 293 359 310 3263探索性數學實驗的效果本探索性實驗解決問題采用的算法和軟件較多, 大致可以歸納為以下幾個算法和軟件（見表3 ） !兩點之間最遍歷所有頂點的可利用短路徑求

18、法最優化路徑求法的程序1.0-L線性規劃模型1. Dijkstra 算法2.圖的賦權路徑矩陣算法或 2. Floyd算法C+、Java、3 蟻群算法（改進蟻群3, ,3馭群算法（改進馭群模型3.04線性規劃Matlab#Lingo算法）模型4.改進A*算法表3學生采用的算法和軟件99 124 134 266 0 74 106 166 246 _圖3 9個城市高速最短路徑學生基于圖論知識，積極學習、掌握以上算法的基 本思路，融匯貫通，創建了切實可行的模型，比較圓滿 地解決了問題。對于參與本實驗的12個小組使用的 算法情況統計如表4。表4 12個小組使用的算法、程序統計算法或程序組數兩點之間最Di

19、jkstra 算法4短路徑求法Floyd算法60-1線性規劃模型2遍歷所有頂點的O-1線性規劃模型M最優化路徑求法圖的賦權路徑矩陣1蟻群算法（改進蟻群算法）2改進/算法1程序)+2Java1Matlab5Lingo4通過實施探索性數學實驗，對學生創新人格、創新 思維、創新實踐有積極影響，有效培養了大學生的創新 素養。具體表現在以下3個方面:激發了學生好奇 心,培養勇于挑戰、獨立自信的良好特質,解決了 “想 不想”的問題。探索性實驗來源于生產生活，沒有經 過數學抽象和數量轉化，沒有解決的范式和套路，具有 一定的難度和挑戰性，能有效激發學生的好奇心、樹立 學生自信心，引導學生不畏困難、勇于挑戰。訓

20、練學 生進行信息梳理聚焦，多角度尋找解決問題的方法，鍛 煉了學生思維能力，解決“能不能”的問題。實驗以項 目的方式展開，鼓勵學生積極探索，運用新知識、新技 術、新方法開展實驗研究。統計數據顯示，學生在實驗 中創新運用了各種新知識、新理論和新軟件，進一步鍛 煉了學生邏輯思維和開放性思考方式,拓展了學生理 論知識的應用實踐,有效培養學生的創新思維。有 效驅動學生全身心投入創新實踐，解決學生“做不做” 的問題。探索性數學實驗鍛煉了學生快速獲取信息和 資料的能力,學生必須快速查閱大量信息和資料，才能 對問題有全面、深入地了解，問題的數學轉化才準確、 具體;實驗中每個人分工明確，同時又相互協作，一起 討論實驗方案，充分討論數學模型和求解方案,在個性 得到充分彰顯的同時，更注重團隊協作。表5所示清晰地列出了探索性數學實驗對學生創 新素養的培養效果。近年來，學生在全國大學生建模大賽