1、論數(shù)學專業(yè)研究生基礎課教學中學術(shù)觀念的培養(yǎng)摘要本文介紹多線性函數(shù)的基本概念與方法，并采用多線性函數(shù)的方法重新證明了行列式的乘法 規(guī)則以及Binet-Cauchy公式，以此為例說明了在研究生基礎課程的教學中既要注重基礎、又要有所提高的 問題，對更好地實現(xiàn)從本科課程到研究生課程的內(nèi)容銜接、提升研究生的學術(shù)觀念、培養(yǎng)研究生的創(chuàng)新能力 起到示范作用。關(guān)鍵詞多線性函數(shù);Binet-Cauchy公式；矩陣論；抽象代數(shù);研究生教學在數(shù)學專業(yè)研究生專業(yè)基礎課程的教學中，存 在研究生課程內(nèi)容如何與大學本科課程更好地銜接 的問題。教師如果處理不好，講得過深、過于跳躍, 與學生在本科階段的實際知識儲備嚴重脫節(jié)，或者

2、 過多地重復本科課程內(nèi)容,教學效率低下，就達不到 研究生培養(yǎng)的目的和要求。如抽象代數(shù)HI-3#矩 陣分析或矩陣論等研究生課程，如何與本科課 程中的高等代數(shù)、近世代數(shù)：6-8更好地接軌,成為十 分突出的問題。以矩陣論中的Binet-Cauchy公式為例,它是大 學本科階段行列式乘法規(guī)則的推廣，其證明也可以 采用高等代數(shù)的常規(guī)方法加以證明。但是在研究生 課堂教學中如果采用這種方法來處理，就降低了研 究生的培養(yǎng)要求，不能讓學生的觀念實現(xiàn)很好的提 升，而如果采用多線性函數(shù)的觀點，我們可以給出有 關(guān)公式的全新證明。采用這樣的教學方法可以讓學 生的觀念實現(xiàn)從一元線性函數(shù)到雙線性函數(shù)再到多 線性函數(shù)的飛躍，

3、不僅使學生能夠?qū)W到該公式的不 同證明方法從而更好地理解該公式，還能使其對線 性代數(shù)的本質(zhì)有更為深入的理解。注意這里所謂的 飛躍、跨越、提升，都是以不脫離基礎為前提條件的。 倘若離開了基礎而一味地追求提升，就是舍本逐末, 就會迷失方向，欲速不達。在談到多線性函數(shù)與行列式的關(guān)系時,有的學 者采用反對稱多線性函數(shù)的方法來定義行列式。但 是,這里有一個重要的理論問題:作為非零的反對稱 多線性函數(shù)的行列式是否存在？這個問題在這里實 際上被回避了。本文中的行列式仍然采用大部分高等代數(shù) 教材中的常規(guī)定義，即采用不同行列元素乘積的代 數(shù)和的方式來定義。文中首先引入多線性函數(shù)等基 本概念，在回避行列式概念的前提

4、下,直接證明非零 的反對稱多線性函數(shù)的存在性。然后，我們借助反 對稱多線性函數(shù)與行列式的關(guān)系來討論行列式的性 質(zhì)，給出行列式乘法規(guī)則及其推廣一Binet - Cauchy公式的全新證明。一、多線性函數(shù)的一般討論研究生在大學本科階段經(jīng)過對高等代數(shù)的學 習，已經(jīng)了解了線性函數(shù)的概念，甚至可能也了解了 雙線性函數(shù)的概念,故在抽象代數(shù)II、矩陣論等研究 生課程的教學中，教師可以加入多線性函數(shù)的概 念0,這樣不僅能夠很好地承接本科課程，也能夠提 高研究生的培養(yǎng)質(zhì)量。在復習線性函數(shù)的定義后， 教師可以引導研究生自行給出多元線性函數(shù)的如下 定義:定義2.I假設是給定數(shù)域F上的一個維 線性空間，/:尸#F是一

5、個）元函數(shù)。（1）若對固定的* $），任意的,!）, !+1 , % %以及任意的k,k + %F，都有/（ !i，,，!*）=kf（ a-, ,!* ,!） =k+f（ a-, ,!,* ,!） , 則稱/關(guān)于第*個變元是線性的。（2）若對任意的*$）都有/關(guān)于第*個變元是 線性的，則稱/是多線性的。若對任意的孔，（，% %以及任意的*/$）,都有 f（ a-，（，a*，!，!） =頊冬-,（，！,，（皿，！） , 則稱/是反對稱的。容易證明如下兩個引理。引理2.2設%是給定數(shù)域F上的一個）維線 性空間,（是%上的一個）元反對稱多線性函數(shù)。若孔，(，是中線性相關(guān)的向量組，則 /( !1，)=

6、 0；若*1(*)是文字1)的一個排列，其反 序數(shù)為()，則f( a*-，,!,) = ( T) ( *) f( !1 ,!).弓|理2.3 ( 1) )維線性空間上的一個)元線性 函數(shù)是由它在該空間的一組有序基的所有長度為) 的允許重復的排列上的取值完全確定的。(2)由在 )維線性空間上的一組有序基的所有長度為)的允 許重復的排列上的任意一組取值可以定義一個多線 性函數(shù)。取值恒為零的多元函數(shù)記為0,它顯然也是反 對稱的多線性函數(shù)。異于0的多元函數(shù)稱為是非零 的。下面的命題保證了非零的反對稱多線性函數(shù)的 存在性。命題2.4任意有限維線性空間上非零的反對 稱多線性函數(shù)是存在的。證明：略。下述定理

7、揭示出多線性函數(shù)與行列式之間的密 切關(guān)系，它是我們后面要多次加以應用的主要結(jié)論。定理2.5設是給定數(shù)域F上的一個)維線 性空間，/是上的一個)元反對稱多線性函數(shù)。 若!1 ,(,!) ,#1 ,#)% %, . % FnX且滿足條件(#1，(,#) = ( !1 ,(,!).,則/(#1，,#) = ( !1，I . I .證明：根據(jù)多線性函數(shù)的定義以及引理2.2、引 理2.3,直接計算可得結(jié)論。由定理2.5可以導出如下推論：推論2.6設是給定數(shù)域F上的一個)維線 性空間，/是上的一個)元反對稱多線性函數(shù)。 則/非零的充分必要條件是/在的任意一組基上 的取值非零。二、用多元線性函數(shù)的觀點來證明

8、行列式的乘法規(guī)則所謂行列式的乘法規(guī)則，就是對于任意的., / % F*都有II = I. I I / I $這一結(jié)論可以在絕大 多數(shù)的高等代數(shù)教材中得到常規(guī)的證明。但我 們現(xiàn)在要求研究生用上一節(jié)中有關(guān)多元線性函數(shù)的 理論來證明這個結(jié)論。取定一個線性空間以及的一組基!1，(， a)。根據(jù)命題2.4,存在上的一個非零的、反對稱 多線性函數(shù)/令(!1 ,(,!) . = ( #1 ,#) , (#1，,#) / = ( $1，,$).則($1，(必)=(#1) / =( !1 ,!) AB.利用定理2.5得到： TOC o 1-5 h z f( #1 ,( ,#)= f( !1 ,(,!)I A I

9、 ,(1)f( $1，$)= f( #1，#)I /1 ,(2)f( $1，$)= f( !1，(，！) I A/I.( 3)將表達式(1)代入到(2)中得到f( $1，,$) =f( %,!) IAI I /1.( 4)根據(jù)推論2.6,f( !1 ,(,!) & 0,對照表達式 (3)和(4),得到I AB I = IA I I / I ,這就重新證明了行 列式的乘法規(guī)則。三、用多元線性函數(shù)的觀點來證明Binet-Cauchy 公式推廣行列式的乘法規(guī)則，就得到Binet-Cauchy 公式。牛反過來說,行列式的乘法規(guī)則是Binet- Cauchy公式的特例。證明了 Binet-Cauchy公

10、式,也 就再次證明了乘法規(guī)則。當然,可以用高等代數(shù) 中常規(guī)的方法來證明Binet-Cauchy公式，但本文要 求研究生采用多線性函數(shù)的工具重新證明這一 公式。設F是一個域,A % Fd), k$m,)o在A中位于 第*-,*,行與第J1 , ,k列交叉處的元素按照原 有的相對位置構(gòu)成的行列式稱為A的一個k級子 式，記為A匕1 *,),而對應的k級子矩陣記為-1(-kA( ；1 :)。設 F 是一個域,m$),A%Fmd)，/% F)dm，則IABI= A(1m)*1*m *1 *mJ 1(m/這就是Binet-Cauchy公式.為了用多線性函數(shù) 的方法重新證明該公式，我們首先需要推廣定理 2.

11、5。定理3.1設是給定數(shù)域F上的一個有限維 線性空間，/是上的一個)元反對稱多線性函數(shù), m$ ).若！1 ,(，！m ,#1 , ( ,#) % %, A % Fmd) 且滿足 條件(#1，,#) = ( !1，！m) A, 則/(#1，,#)=,頂 a,1 , ,a,m) A( 1m).*1*m1m 1 m/現(xiàn)在我們可以證明Binet-Cauchy公式。取定數(shù)域F上一個線性空間%以及%的一組 基!1 , , !)，根據(jù)命題2.4,存在%上的一個非零 的、)元反對稱多線性函數(shù)/令(!1，(，！m)A = (#1，,#),(#1 L，#) / = ( $1，(，$m).則($1，(必)=(#1

12、，(，#) / = ( !1，！m) AB, 且對于任意的*1(*m，有 TOC o 1-5 h z ) = (!l,!)-根據(jù)定理2.5,我們有/ 1) =f( !1,!).,(5)f( $1，= f( !-，!) I I .( 6)根據(jù)表達式(5)以及定理3.1,我們有f( $1，$)鍵點，而這些點，通常要既能強調(diào)基礎的重要性，又 能適當?shù)丶右园l(fā)揮，尤其可以借此實現(xiàn)方法的創(chuàng)新 以及觀念的提升。我們相信,在教學中進行學術(shù)觀 念的培養(yǎng)有助于研究生課程與本科課程內(nèi)容的銜 接，有助于提高研究生專業(yè)課程的教學質(zhì)量，也有助 于更好地培養(yǎng)研究生的開放思維和創(chuàng)新能力。,(刀早!1，!).(：3 /(二:).根據(jù)推論2.6, f( a- ,(,!)對照表達式(6)和(7),我們立刻得到I./I= .(1 ()/f).*-偵 E.F 1(m)這就證明了 Binet-Cauchy公式。四、結(jié)語本文介紹了多線性函數(shù)的有關(guān)理論，并應用它 重新證明了行列式的乘法規(guī)則及其推廣一Binet- Cauchy公式，旨在說明在數(shù)學專業(yè)研究生基礎課程 的教學中既要注重基礎、又要有所提高,希望由此帶 給人們一定的啟發(fā)，為更好地實現(xiàn)從本科課程到研 究生課程的內(nèi)容銜接、樹立研究生的學術(shù)觀念、培養(yǎng) 研究生的創(chuàng)新能力起到一個良好的示范作用。當然,多線性函數(shù)僅僅是一個例子，