1、第九章 多元函數微分法及其 應用習題課第1頁第1頁一、內容回顧1、偏導數定義與計算求函數 偏導數 時，只要把 暫時看作常量而對 求導數；類似地，可求函數 偏導數 。 第2頁第2頁2、多元復合函數求導法則 zuvtzuvxy(1)設 和 在點 可導， 在相應點 處可微，則復合函數 在點 處可導，且 (2)設 和 存在偏導數， 在相應點 處可微，則復合函數 在 偏導數存在,且 第3頁第3頁3、隱函數導數由方程 擬定一元函數 ， 則有： 由方程 擬定二元函數 ， 則有 ：第4頁第4頁（2）. 由四個變量兩個方程 所構成方程組, 如擬定隱函數兩個二元函數方程組（1）. 由三個變量兩個方程所構成方程組,

2、 如擬定隱函數兩個一元函數方程組.,yvxvyuxu求由方程組所擬定隱函數第5頁第5頁4、多元函數微分學在幾何上應用4.1 空間曲線切線與法平面切線方程： 法平面方程： (1), 則 在點 處第6頁第6頁切線方程： 法平面方程： 切線方程和法平面方程可轉化為第(2)種形式， 求出 即可.(3) ,則 在點 處(2) , 則 在點 處第7頁第7頁4.2 曲面切平面與法線切平面方程： 法線方程： 切平面方程： 法線方程： (2) , 則 在點 處(1) , 則 在點 處第8頁第8頁5.方向導數與梯度 二元函數 在點 沿方向 方向導數為 計算公式:其中 是方向 方向余弦。其中 為x 軸到方向 轉角第

3、9頁第9頁函數 在點處梯度為一向量:第10頁第10頁6. 無條件極值求法環節： 求 , 得所有駐點.求 , ,由判別駐點為極值點條件，驗證 符號,擬定極值點，求出極值。 第11頁第11頁7. 條件極值求法：(拉格朗日（Lagrange）乘數法) 求出極值。 結構輔助函數 求解 得出 , 就是也許極值點.函數 在條件 下也許極值點:第12頁第12頁二、典型例題 解： 例1、 求函數 偏導數.分析：由于函數 為三元函數，因此，應分別求對 偏導數。 第13頁第13頁解：依據復合函數求偏導法則得 例2、設 ,而 , , 求 和 .第14頁第14頁 例3、 設 , 其中 含有二階連續偏導數， 求 解：

4、設 ,則第15頁第15頁利用隱函數求導公式得 解:令 ,則 例4、 設 ,求 .分析：假如令 , 則由方程 擬定了 是 函數,求 用隱函數求導法。但在求二階混合偏導時，應采用直接求導法。 第16頁第16頁計算 時，我們采用在方程兩邊同時對 求偏導辦法, 并視 為 二元函數 , 得第17頁第17頁 例5、求曲線 在點 處切線及法平面方程。分析：此曲線為參數方程, 只需求出切向量為再求出切點，即可得切線及法平面方程。 解： 因 故在點 處切向量為第18頁第18頁所求切線方程為： 法平面方程為： 即 第19頁第19頁解： 將所給方程兩邊同時對 求導得 例6、求曲線 在點 處切線及法平面方程.分析：此

5、曲線由方程組形式給出, 也可視為參數方程, 視 為參數，則切向量為 , 利用直接求導法對方程組求導, 解方程組, 求出切向量, 即可得切線及法平面方程。 第20頁第20頁因此所求切線方程為法平面方程為 即 則曲線在點 處切向量為 解得 第21頁第21頁故切平面方程為即 法線方程為 例7、求旋轉拋物面 在點 處切平面及 法線方程.分析：此曲面可當作 形式, 只需求出法向量 , 即可求出切平面及法線方程.解：設 , 則 第22頁第22頁解：沿梯度方向方向導數最大。梯度為 因此 方向導數最大值為 例8、問函數 在點 處沿什么方向方向 導數最大？并求此方向導數最大值。第23頁第23頁解： 解方程組 得駐點 又 因此 故 例9、求函數 極值. 因此 在點 處取得最小值, 且為第24頁第24頁求解 因此，函數極大值為