1、微積分學(xué)大型案例分析求解 在本學(xué)期開學(xué)第一堂課中，我們提出了一個大型案例。現(xiàn)在我們依據(jù)本學(xué)期我們學(xué)過相關(guān)知識來處理。 引例：一只游船上有800人，一名游客不慎患傳染病，12小時后有3人發(fā)病，由于船上不能及時隔離，問通過60小時、72小時，患此傳染病人數(shù)有多少？第1頁第1頁此問題事實上與人口增長問題基本一致。為此引入簡介人口增長問題模型。相關(guān)背景及模型簡介：結(jié)識人口數(shù)量改變規(guī)律，建立人口模型，作出較準(zhǔn)確預(yù)報，是有效控制人口增長前提，長期以來人們在這方面作了不少工作。18世紀(jì)末，英國人口學(xué)家馬爾薩斯（Malthus，17661834）對百余年人口統(tǒng)計資料進(jìn)行了研究，于1798年提出人口指數(shù)增長模型

2、。他基本假設(shè)是：單位時間內(nèi)人口增長量與當(dāng)初人口總數(shù)成正比。第2頁第2頁設(shè)時間 時人口總數(shù)為 ，則依據(jù)馬爾薩斯假設(shè)，在時間 時人口總數(shù)為 ，從 屆時間 內(nèi)，人口增長 。令 ，得到 滿足微分方程這是一個可分離變量微分方程，容易解得滿足初始條件解為 時，（1）式表示人口將按指數(shù)規(guī)律隨時間無限增長，稱為指數(shù)增長模型。 第3頁第3頁依據(jù)我國國家統(tǒng)計局1990年10月30 日發(fā)表公報，1990年7月1日我國人口總數(shù)為11.6億，過去8年人口平均增長率為14.8，利用上式，將 ， ， 代入，能夠得到我國人口總數(shù)為 （億）得出結(jié)果與實際情況基本吻合。但是當(dāng) 時， ，這是不也許。從長期來看，任何地域人口都不也許

3、無限增長 ，即指數(shù)模型不能描述、也不能預(yù) 第4頁第4頁測較長時期人口演變過程。伴隨人口增長，自然資源、環(huán)境條件等原因?qū)θ丝谠鲩L限制越來越明顯，人口較少時，人口自然增長率基本上是常數(shù)，而當(dāng)人口增長到一定數(shù)量以后，這個增長率就要伴隨人口增長而減少。為此，必須修改指數(shù)增長模型關(guān)于人口增長率是常數(shù)這個基本假設(shè)。荷蘭生物數(shù)學(xué)家Verhulst在19世紀(jì)中葉提出了阻滯增長模型，也稱邏輯斯蒂（Logistic）模型。第5頁第5頁用 表示自然資源和環(huán)境條件所能允許最大人口數(shù)，并假定凈增長率等于 ，即凈增長率伴隨 增長而減少，當(dāng) 時，凈增長率趨向于零。這樣，指數(shù)模型中微分方程變?yōu)榻獾?第6頁第6頁利用初始條件可

4、得，因此容易看出，當(dāng) 時， 。下圖（一）是邏輯斯蒂（Logistic）模型大體圖形。第7頁第7頁第8頁第8頁邏輯斯蒂（Logistic）模型不但能夠大體上描述人口改變規(guī)律，并且對自然環(huán)境保護(hù)區(qū)中野生動物增長情況、森林中樹木增長情況、耐用消費品售量等都能夠用它來描述。如假定今年在某保護(hù)區(qū)放入野生動物20只，若被精心照料，預(yù)計野生動物增長規(guī)律滿足，在 年內(nèi)，其總數(shù)為第9頁第9頁當(dāng)保護(hù)區(qū)中野生動物達(dá)到80只時，沒有精心照料，野生動物也將會進(jìn)入正常生長狀態(tài)，即其群體增長仍然符合上述表示式中增長規(guī)律。現(xiàn)在問題是：（1）需要精心照料期限為多少年？（2）在這一自然保護(hù)區(qū)中，最多能供養(yǎng)多少只野生動物？第10頁

5、第10頁將 代入能夠得到解得 （年）又當(dāng) ， 。因此，只需精心照料9年，這個保護(hù)區(qū)最多能供養(yǎng)220只野生動物。 第11頁第11頁有了此相關(guān)背景幾知識，我們可處理前面提出引例。解 設(shè) 表示發(fā)覺首例病人后 小時感染人數(shù)，則 表示此時未受感染人數(shù)，由題意知 。依據(jù)常理，當(dāng)感染人數(shù) 很小時，傳染病傳播速度較慢，由于只有很少游客能接觸感染者；當(dāng)感染人數(shù) 很大時，未受感染人數(shù) 很小，即只有很小游 客能被感染，因此此時傳染病傳播速度也很慢，排除上述兩種極端情況，當(dāng)有 第12頁第12頁諸多感染者及諸多未感染者時，傳播速度不久。因此，傳染病發(fā)病率，一方面受感染人數(shù)影響，另一方面也受未感染人數(shù)制約。根據(jù)以上分析，得解得 這屬于邏輯斯蒂（Logistic）模型。第13頁第13頁由條件 可得因此令 ，