1、1.4角平分線的性質角平分線是以一個角的頂點為端點的一條射線，它把這個角分成兩個相等的角.探究 如圖1-26，在AOB的平分線OC上任取一點P， 作PDOA ， PEOB ， 垂足分別為點D， E， 試問PD與PE相等嗎？圖1-26你能證明嗎？ 將AOB 沿OC 對折，我發現PD與PE 重合， 即PD與PE相等.圖1-26 PDOA， PEOB， PDO =PEO = 90.在PDO和PEO中， PDO =PEO， DOP =EOP， OP = OP， PDOPEO. PD = PE.我們來證明這個結論.圖1-26結論角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.由此得到角平分線的性質定理：動腦筋 角

2、的內部到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上嗎？ 如圖1-27，點P 在AOB 的內部， 作PDOA， PEOB， 垂足分別為點D，E. 若PD= PE， 那么點P在AOB的平分線上嗎？圖1-27在RtPDO和RtPEO中， OP = OP，PD = PE， RtPDORtPEO. PDOA， PEOB， PDO =PEO = 90.如圖1-27，過點O，P作射線OC. AOC =BOC. OC是AOB的平分線，即點P在AOB的平分線OC上.圖1-27結論角的內部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上.由此得到角平分線的性質定理的逆定理：舉例例1 如圖1-28，BAD =BCD = 90，1=

3、2. (1)求證：點B在ADC的平分線上；(2)求證：BD是ABC的平分線.圖1-28證明： 在ABC中， 1=2， BA = BC.又 BAAD， BCCD， 點B在ADC的平分線上.圖1-28(1)求證：點B在ADC的平分線上；圖1-28證明： 在RtBAD和RtBCD中， BA = BC， BD = BD， RtBADRtBCD. ABD =CBD. BD是ABC的平分線.(2)求證：BD是ABC的平分線.解 作AOB的角平分線，交MN于一點，則這點即為所 求作的點P.(提示：用尺規作圖)練習如圖，在直線MN上求作一點P ，使點P到AOB兩邊 的距離相等.P2. 如圖，在ABC 中，AD

4、 平分BAC， DEAB 于點E，DFAC 于點F，BD=CD. 求證：AB=AC.證明 點D在BAC的平分線上， DEAB，DFAC ， DE = DF. AB = AC. 在RtBED和RtCFD中， BD = CD， DE = DF， RtBEDRtCFD. B =C.動腦筋 如圖1-29， 已知EFCD，EFAB，MNAC，M是EF 的中點. 需添加一個什么條件， 就可使CM，AM分別為ACD和CAB的平分線呢？圖1-29 MECD， MNCA，同理可得AM是CAB的平分線.可以添加條件MN =ME (或MN =MF). M在ACD的平分線上，即CM是ACD的平分線.圖1-29如圖1-

5、30，在ABC 的外角DAC 的平分線上任取一點P，作PEDB， PFAC， 垂足分別為點E，F. 試探索BE + PF與PB的大小關系.例2 PE=PF.在EBP中，BE+PEPB， BE+PFPB. AP是DAC的平分線， 又PEDB， PFAC，解圖1-30舉例 如圖1-31，你能在ABC 中找到一點P，使其到三邊的距離相等嗎？動腦筋圖1-31 因為角平分線上的點到角的兩邊的距離相等，所以只要作ABC 任意兩角(例如A與B) 的平分線，其交點P 即為所求作的點. 點P也在C 的平分線上，如圖1-32.圖1-32練習如圖，E 是AOB 的平分線上一點，ECOA 于點C，EDOB 于點D. 求證：(1)ECD=EDC； (2)OC=OD. (2)在RtOED和RtOEC中， OE= OE， ED = EC， RtOEDRtOEC(HL). OD=OC.證明 (1) 點E在BOA的平分線上， ECAO，EDOB ， ED =EC. ECD=EDC. EDC 是個等腰三角形.2. 如圖，在ABC 中，ADDE，BEDE，AC， BC 分別平分BAD，ABE，點C在線段DE上. 求證：AB=AD+BE.M證明 作CMAB于點M. AC，BC 分別平分BAD，ABE， CD = CM，CE = C