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文檔簡介
1、湖南省長沙市第五中學高三數學文下學期期末試卷含解析一、 選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1. (00全國卷)函數的部分圖象是參考答案:答案:D2. 已知定義域為R的函數在上為減函數,且函數為偶函數,則 A B C. D. 參考答案:D3. 在某項測量中,測量結果X服從正態分布,若X在(0,8)內取值的概率為0.6,則X在(0,4)內取值的概率為A.0.2B.0.3C.0.4D.0.6 參考答案:B4. 已知函數的導函數圖象如圖所示,若為銳角三角形,則一定成立的是ABCD參考答案:D略5. 為了解某市居民用水情況,通過抽樣,獲得了
2、100位居民某年的月均用水量(單位:噸).將數據按照0,0.5),4,4.5分成9組,繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.政府要試行居民用水定額管理,制定一個用水量標準a.使85%的居民用水量不超過a,按平價收水費,超出a的部分按議價收費,則以下比較適合做為標準a的是( )A. 2.5噸B. 3噸C. 3.5噸D. 4噸參考答案:B【分析】根據頻率分布直方圖中,長方形面積表示頻率,找出將面積分割為和的數值,即為標準.【詳解】根據頻率分布直方圖,結合題意可得:解得.故要滿足的居民用水量不超過,則比較合適的取值為3噸.故選:B.【點睛】本題考查頻率分布直方圖中,頻率的計算,屬基礎題.6. 向量,滿足|
3、=1,|=,( +)(2),則向量與的夾角為()A45B60C90D120參考答案:C【考點】平面向量數量積的運算【分析】設向量與的夾角為利用(+)(2),可得(+)?(2)=+=0,即可解出【解答】解:設向量與的夾角為(+)(2),(+)?(2)=+=0,化為cos=0,0,=90故選:C7. “”是“”成立的 A充要條件 B既不充分也不必要條件 C充分不必要條件 D必要不充分條件參考答案:C8. 定義在上的奇函數滿足,且在區間上是增函數,則( )(A) (B) (C) (D)參考答案:9. 若,則下列說法正確的是( ) A.若則 B.若則C.若則 D.若則 參考答案:C10. 已知定義在上
4、 的函數與函數的圖像有唯一公共點,則實數的值為()A. B. C. D. 參考答案:D【分析】原題等價為有一解,即,令,確定其函數性質即可求解【詳解】與函數的圖像有唯一公共點,故有唯一解,即有唯一解令,所以g(x)關于x=2對稱,故a=g(2)=2故選:D【點睛】本題考查函數性質及方程的根,準確構造函數判斷其對稱性是本題關鍵,是基礎題二、 填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11. 某高中有學生2000人,其中高一年級有760人,若從全校學生中隨機抽出1人,抽到的學生是高二學生的概率為0.37,現采用分層抽(按年級分層)在全校抽取20人,則應在高三年級中抽取的人數為 參考答案:5【考點
5、】分層抽樣方法【分析】根據分層抽樣的定義和性質,建立比例關系即可得到結論【解答】解:在全校學生中抽取1名學生,抽到高二年級學生的概率為0.37,則高二人數為0.372000=740人,高三人數為2000760740=500人,則從高三抽取的人數為=5人,故答案為:512. 設函數f(x)=ex,g(x)=lnx+m,下列五個命題:對于任意x1,2,不等式f(x)g(x)恒成立,則me;存在x01,2,使不等式f(x0)g(x0)成立,則me2ln2;對于任意x11,2,x21,2,使不等式f(x1)g(x2)恒成立,則meln2;對于任意x11,2,存在x21,2,使不等式f(x1)g(x2)
6、成立,則me存在x11,2,x21,2,使不等式f(x1)g(x2)成立,則me2其中正確命題的序號為(將你認為正確的命題的序號都填上)參考答案:略13. 已知實數x,y滿足則的最小值為 參考答案:4由約束條件畫出可行域如下圖,目標函數可化簡為=,設,所以即可行域上的點P與定點D(0,-2)斜率的范圍為,過點A(1,0)時取最小值,所以目標函數的最小值為4,填4.14. 定義在上的函數是減函數,且函數的圖象關于成中心對稱,若滿足不等式,則當時,的取值范圍是_.參考答案:略15. 對于滿足的實數,使恒成立的取值范圍是 參考答案:原不等式等價為,即,所以,令,則函數表示直線,所以要使,則有,即且,
7、解得或,即不等式的解析為.16. f(x)=在定義域上為奇函數,則實數k=參考答案:1【考點】3K:函數奇偶性的判斷【分析】根據函數奇偶性的定義,解方程f(x)=f(x),即可得到結論【解答】解:若f(x)=在定義域上為奇函數,則f(x)=f(x),即=,即=,則(k?2x1)(1+k?2x)=(k2x)(k+2x),即k2?22x1=(k222x,則k2?22x1+k222x=0,即k21=0,解得k=1,故答案為:117. 已知中,內角的對邊的邊長為,且,則的最小值為 參考答案:三、 解答題:本大題共5小題,共72分。解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟18. 已知由n(nN*)個正整數
8、構成的集合Aa1,a2,an(a1a2an,n3),記SAa1+a2+an,對于任意不大于SA的正整數m,均存在集合A的一個子集,使得該子集的所有元素之和等于m.(1)求a1,a2的值;(2)求證:“a1,a2,an成等差數列”的充要條件是“”;(3)若SA2020,求n的最小值,并指出n取最小值時an的最大值.參考答案:(1)a11,a22;(2)證明見解析;(3)n最小值為11,an的最大值1010【分析】(1)考慮元素1,2,結合新定義SA,可得所求值;(2)從兩個方面證明,結合等差數列的性質和求和公式,即可得證;(3)由于含有n個元素的非空子集個數有2n1,討論當n10時,n11時,結
9、合條件和新定義,推理可得所求.【詳解】(1)由條件知1SA,必有1A,又a1a2an均為整數,a11,2SA,由SA的定義及a1a2an均為整數,必有2A,a22;(2)證明:必要性:由“a1,a2,an成等差數列”及a11,a22,得aii(i1,2,n)此時A1,2,3,n滿足題目要求,從而;充分性:由條件知a1a2an,且均為正整數,可得aii(i1,2,3,n),故,當且僅當aii(i1,2,3,n)時,上式等號成立.于是當時,aii(i1,2,3,n),從而a1,a2,an成等差數列.所以“a1,a2,an成等差數列”的充要條件是“”;()由于含有n個元素的非空子集個數有2n-1,故
10、當n10時,21011023,此時A的非空子集的元素之和最多表示1023個不同的整數m,不符合要求.而用11個元素的集合A1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024的非空子集的元素之和可以表示1,2,3,2046,2047共2047個正整數.因此當SA2020時,n的最小值為11.記S10a1+a2+a10,則S10+a112020并且S10+1a11.事實上若S10+1a11,2020S10+a112a11,則a111010,S10a111010,所以m1010時無法用集合A的非空子集的元素之和表示,與題意不符.于是2020S10+a112a111,得,所以a1110
11、10.當a111010時,A1,2,4,8,16,32,64,128,256,499,1010滿足題意,所以當SA2020時,n的最小值為11,此時an的最大值1010.【點睛】本題考查新定義的理解和運用,考查等差數列的性質和求和公式的運用,考查化簡運算能力和推理能力,屬于難題.19. (本小題滿分12分) 已知橢圓和圓,A,B,F分別為橢圓C1左頂點、下頂點和右焦點點P是曲線C2上位于第二象限的一點,若APF的面積為,求證:APOP;點M和N分別是橢圓C1和圓C2上位于y軸右側的動點,且直線BN的斜率是直線BM斜率的2倍,證明直線MN恒過定點參考答案:20. (本小題滿分12分)退休年齡延遲
12、是平均預期壽命延長和人口老齡化背景下的一種趨勢.某機構為了解某城市市民的年齡構成,從該城市市民中隨機抽取年齡段在2080歲(含20歲和80歲)之間的600人進行調查,并按年齡層次20,30),30,40),40,50),50,60),60,70),70,80繪制頻率分布直方圖,如圖所示.若規定年齡分布在20,40)歲的人為“青年人”,40,60)為“中年人”, 60,80為“老年人”.(1)若每一組數據的平均值用該區間中點值來代替,試估算所調查的600人的平均年齡;(2)將上述人口分布的頻率視為該城市在20-80年齡段的人口分布的概率從該城市20-80年齡段市民中隨機抽取3人,記抽到“老年人”
13、的人數為,求隨機變量的分布列和數學期望參考答案:()由題意估算,所調查的600人的平均年齡為:(歲).4分()由頻率分布直方圖可知,“老年人”所占的頻率為.所以從該城市2080年齡段市民中隨機抽取1人,抽到“老年人”的概率為.依題意,X的可能取值為.所以,隨機變量X的分布列如下表:因此,隨機變量X的數學期望. .12分21. 在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數方程為(為參數),以坐標原點為極點,以x軸正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為.(1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標方程;(2)設點P在C1上,點Q在C2上,求的最小值以及此時P的直角坐標.參考答案:(1):,:;(2
14、),此時.試題分析:(1)的普通方程為,的直角坐標方程為;(2)由題意,可設點的直角坐標為到的距離當且僅當時,取得最小值,最小值為,此時的直角坐標為.試題解析: (1)的普通方程為,的直角坐標方程為.(2)由題意,可設點的直角坐標為,因為是直線,所以的最小值即為到的距離的最小值,.當且僅當時,取得最小值,最小值為,此時的直角坐標為.【方法點睛】參數方程與普通方程的互化:把參數方程化為普通方程,需要根據其結構特征,選取適當的消參方法,常見的消參方法有:代入消參法;加減消參法;平方和(差)消參法;乘法消參法;混合消參法等把曲線的普通方程化為參數方程的關鍵:一是適當選取參數;二是確保互化前后方程的等
15、價性注意方程中的參數的變化范圍22. 已知,g(x)=2lnx+bx,且直線y=2x2與曲線y=g(x)相切(1)若對1,+)內的一切實數x,不等式f(x)g(x)恒成立,求實數a的取值范圍;(2)當a=1時,求最大的正整數k,使得對e,3(e=2.71828是自然對數的底數)內的任意k個實數x1,x2,xk都有f(x1)+f(x2)+f(xk1)16g(xk)成立;(3)求證:參考答案:考點:導數在最大值、最小值問題中的應用;函數恒成立問題.專題:壓軸題;導數的綜合應用分析:(1)首先設出直線y=2x2與曲線y=g(x)的切點,把切點代入兩曲線方程后聯立可求得b的值,解出g(x)后把f(x)
16、和g(x)的解析式代入f(x)g(x),分離變量a后對函數進行兩次求導得到函數在區間1,+)內的最小值,則實數a的范圍可求;(2)當a=1時可證得函數f(x)在e,3上為增函數,而g(x)也是增函數,把不等式左邊放大取最大值,右邊取最小值,代入后即可求解最大的正整數k;(3)該命題是與自然數有關的不等式,采用數學歸納法證明,由歸納假設證明n=k+1成立時,穿插運用分析法解答:解:(1)設點(x0,y0)為直線y=2x2與曲線y=g(x)的切點,則有2lnx0+bx0=2x02,由得,2x02=bx0,代入得x0=1,所以b=0,則g(x)=2lnx由f(x)g(x),即,整理得,x1,要使不等式f(x)g(x)恒成立,必須ax22xlnx恒成立設h(x)=x22xlnx,當x1時,h(x)0,則h(x)是增函數,h(x)h(1)=0,h(x)是增函數,則h(x)h(1)=1,a1又a0,因此,實數a的取值范圍是0a1 (2)當a=1時,f(x)在e,3上是增函數,f(x)在e,3上的最大值為要對e,3內的任意k個實數x1,x2,xk,都有f(x1)+f(x2)+f(xk1)16g(xk)成立,必須使得不等式左邊的最大值小于或等于右邊的最小值,當x1=x2=xk1=3時不等式左邊取得最大值,xk=e時不等式右邊取得最小值(k1)f(3)
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