1、湖南省長沙市第五中學高三數學文下學期期末試卷含解析一、 選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1. （00全國卷）函數的部分圖象是參考答案：答案:D2. 已知定義域為R的函數在上為減函數，且函數為偶函數，則 A B C. D. 參考答案：D3. 在某項測量中，測量結果X服從正態分布，若X在（0，8）內取值的概率為0.6，則X在（0，4）內取值的概率為A.0.2B.0.3C.0.4D.0.6 參考答案：B4. 已知函數的導函數圖象如圖所示，若為銳角三角形，則一定成立的是ABCD參考答案：D略5. 為了解某市居民用水情況，通過抽樣，獲得了

2、100位居民某年的月均用水量(單位：噸).將數據按照0,0.5)，4,4.5分成9組，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.政府要試行居民用水定額管理，制定一個用水量標準a.使85%的居民用水量不超過a，按平價收水費，超出a的部分按議價收費，則以下比較適合做為標準a的是（ ）A. 2.5噸B. 3噸C. 3.5噸D. 4噸參考答案：B【分析】根據頻率分布直方圖中，長方形面積表示頻率，找出將面積分割為和的數值，即為標準.【詳解】根據頻率分布直方圖，結合題意可得：解得.故要滿足的居民用水量不超過，則比較合適的取值為3噸.故選：B.【點睛】本題考查頻率分布直方圖中，頻率的計算，屬基礎題.6. 向量，滿足|

3、=1，|=，（ +）（2），則向量與的夾角為（）A45B60C90D120參考答案：C【考點】平面向量數量積的運算【分析】設向量與的夾角為利用（+）（2），可得（+）?（2）=+=0，即可解出【解答】解：設向量與的夾角為（+）（2），（+）?（2）=+=0，化為cos=0，0，=90故選：C7. “”是“”成立的 A充要條件 B既不充分也不必要條件 C充分不必要條件 D必要不充分條件參考答案：C8. 定義在上的奇函數滿足，且在區間上是增函數，則（ ）（A） （B） （C） （D）參考答案：9. 若，則下列說法正確的是（ ） A.若則 B.若則C.若則 D.若則 參考答案：C10. 已知定義在上

4、 的函數與函數的圖像有唯一公共點，則實數的值為（）A. B. C. D. 參考答案：D【分析】原題等價為有一解，即，令,確定其函數性質即可求解【詳解】與函數的圖像有唯一公共點，故有唯一解，即有唯一解令，所以g（x）關于x=2對稱，故a=g(2)=2故選：D【點睛】本題考查函數性質及方程的根，準確構造函數判斷其對稱性是本題關鍵，是基礎題二、 填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11. 某高中有學生2000人，其中高一年級有760人，若從全校學生中隨機抽出1人，抽到的學生是高二學生的概率為0.37，現采用分層抽（按年級分層）在全校抽取20人，則應在高三年級中抽取的人數為 參考答案：5【考點

5、】分層抽樣方法【分析】根據分層抽樣的定義和性質，建立比例關系即可得到結論【解答】解：在全校學生中抽取1名學生，抽到高二年級學生的概率為0.37，則高二人數為0.372000=740人，高三人數為2000760740=500人，則從高三抽取的人數為=5人，故答案為：512. 設函數f（x）=ex，g（x）=lnx+m，下列五個命題：對于任意x1，2，不等式f（x）g（x）恒成立，則me；存在x01，2，使不等式f（x0）g（x0）成立，則me2ln2；對于任意x11，2，x21，2，使不等式f（x1）g（x2）恒成立，則meln2；對于任意x11，2，存在x21，2，使不等式f（x1）g（x2）

6、成立，則me存在x11，2，x21，2，使不等式f（x1）g（x2）成立，則me2其中正確命題的序號為（將你認為正確的命題的序號都填上）參考答案：略13. 已知實數x，y滿足則的最小值為 參考答案：4由約束條件畫出可行域如下圖，目標函數可化簡為=，設,所以即可行域上的點P與定點D(0,-2)斜率的范圍為,過點A(1,0)時取最小值，所以目標函數的最小值為4，填4.14. 定義在上的函數是減函數，且函數的圖象關于成中心對稱，若滿足不等式，則當時，的取值范圍是_.參考答案：略15. 對于滿足的實數，使恒成立的取值范圍是 參考答案：原不等式等價為，即，所以，令，則函數表示直線，所以要使，則有，即且，

7、解得或，即不等式的解析為.16. f（x）=在定義域上為奇函數，則實數k=參考答案：1【考點】3K：函數奇偶性的判斷【分析】根據函數奇偶性的定義，解方程f（x）=f（x），即可得到結論【解答】解：若f（x）=在定義域上為奇函數，則f（x）=f（x），即=，即=，則（k?2x1）（1+k?2x）=（k2x）（k+2x），即k2?22x1=（k222x，則k2?22x1+k222x=0，即k21=0，解得k=1，故答案為：117. 已知中，內角的對邊的邊長為，且,則的最小值為 參考答案：三、 解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18. 已知由n（nN*）個正整數

8、構成的集合Aa1，a2，an（a1a2an，n3），記SAa1+a2+an，對于任意不大于SA的正整數m，均存在集合A的一個子集，使得該子集的所有元素之和等于m.（1）求a1，a2的值；（2）求證：“a1，a2，an成等差數列”的充要條件是“”；（3）若SA2020，求n的最小值，并指出n取最小值時an的最大值.參考答案：（1）a11，a22；（2）證明見解析；（3）n最小值為11，an的最大值1010【分析】（1）考慮元素1，2，結合新定義SA，可得所求值；（2）從兩個方面證明，結合等差數列的性質和求和公式，即可得證；（3）由于含有n個元素的非空子集個數有2n1，討論當n10時，n11時，結

9、合條件和新定義，推理可得所求.【詳解】（1）由條件知1SA，必有1A，又a1a2an均為整數，a11，2SA，由SA的定義及a1a2an均為整數，必有2A，a22；（2）證明：必要性：由“a1，a2，an成等差數列”及a11，a22，得aii（i1，2，n）此時A1，2，3，n滿足題目要求，從而；充分性：由條件知a1a2an，且均為正整數，可得aii（i1，2，3，n），故，當且僅當aii（i1，2，3，n）時，上式等號成立.于是當時，aii（i1，2，3，n），從而a1，a2，an成等差數列.所以“a1，a2，an成等差數列”的充要條件是“”；（）由于含有n個元素的非空子集個數有2n-1，故

10、當n10時，21011023，此時A的非空子集的元素之和最多表示1023個不同的整數m，不符合要求.而用11個元素的集合A1，2，4，8，16，32，64，128，256，512，1024的非空子集的元素之和可以表示1，2，3，2046，2047共2047個正整數.因此當SA2020時，n的最小值為11.記S10a1+a2+a10，則S10+a112020并且S10+1a11.事實上若S10+1a11，2020S10+a112a11，則a111010，S10a111010，所以m1010時無法用集合A的非空子集的元素之和表示，與題意不符.于是2020S10+a112a111，得，所以a1110

11、10.當a111010時，A1，2，4，8，16，32，64，128，256，499，1010滿足題意，所以當SA2020時，n的最小值為11，此時an的最大值1010.【點睛】本題考查新定義的理解和運用，考查等差數列的性質和求和公式的運用，考查化簡運算能力和推理能力，屬于難題.19. (本小題滿分12分) 已知橢圓和圓，A，B，F分別為橢圓C1左頂點、下頂點和右焦點點P是曲線C2上位于第二象限的一點，若APF的面積為，求證：APOP；點M和N分別是橢圓C1和圓C2上位于y軸右側的動點，且直線BN的斜率是直線BM斜率的2倍，證明直線MN恒過定點參考答案：20. (本小題滿分12分)退休年齡延遲

12、是平均預期壽命延長和人口老齡化背景下的一種趨勢.某機構為了解某城市市民的年齡構成，從該城市市民中隨機抽取年齡段在2080歲（含20歲和80歲）之間的600人進行調查，并按年齡層次20,30)，30,40)，40,50)，50,60)，60,70)，70,80繪制頻率分布直方圖，如圖所示.若規定年齡分布在20,40)歲的人為“青年人”，40,60)為“中年人”， 60,80為“老年人”.（1）若每一組數據的平均值用該區間中點值來代替，試估算所調查的600人的平均年齡；（2）將上述人口分布的頻率視為該城市在20-80年齡段的人口分布的概率從該城市20-80年齡段市民中隨機抽取3人，記抽到“老年人”

13、的人數為，求隨機變量的分布列和數學期望參考答案：（）由題意估算，所調查的600人的平均年齡為：（歲）.4分（）由頻率分布直方圖可知，“老年人”所占的頻率為.所以從該城市2080年齡段市民中隨機抽取1人，抽到“老年人”的概率為.依題意，X的可能取值為.所以，隨機變量X的分布列如下表：因此，隨機變量X的數學期望. .12分21. 在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為.（1）寫出C1的普通方程和C2的直角坐標方程；（2）設點P在C1上，點Q在C2上，求的最小值以及此時P的直角坐標.參考答案：（1）：，：；（2

14、），此時.試題分析：（1）的普通方程為，的直角坐標方程為；（2）由題意，可設點的直角坐標為到的距離當且僅當時，取得最小值，最小值為，此時的直角坐標為.試題解析： （1）的普通方程為，的直角坐標方程為.（2）由題意，可設點的直角坐標為，因為是直線，所以的最小值即為到的距離的最小值，.當且僅當時，取得最小值，最小值為，此時的直角坐標為.【方法點睛】參數方程與普通方程的互化：把參數方程化為普通方程，需要根據其結構特征，選取適當的消參方法，常見的消參方法有：代入消參法；加減消參法；平方和（差）消參法；乘法消參法；混合消參法等把曲線的普通方程化為參數方程的關鍵：一是適當選取參數；二是確保互化前后方程的等

15、價性注意方程中的參數的變化范圍22. 已知，g（x）=2lnx+bx，且直線y=2x2與曲線y=g（x）相切（1）若對1，+）內的一切實數x，不等式f（x）g（x）恒成立，求實數a的取值范圍；（2）當a=1時，求最大的正整數k，使得對e，3（e=2.71828是自然對數的底數）內的任意k個實數x1，x2，xk都有f（x1）+f（x2）+f（xk1）16g（xk）成立；（3）求證：參考答案：考點：導數在最大值、最小值問題中的應用；函數恒成立問題.專題：壓軸題；導數的綜合應用分析：（1）首先設出直線y=2x2與曲線y=g（x）的切點，把切點代入兩曲線方程后聯立可求得b的值，解出g（x）后把f（x）

16、和g（x）的解析式代入f（x）g（x），分離變量a后對函數進行兩次求導得到函數在區間1，+）內的最小值，則實數a的范圍可求；（2）當a=1時可證得函數f（x）在e，3上為增函數，而g（x）也是增函數，把不等式左邊放大取最大值，右邊取最小值，代入后即可求解最大的正整數k；（3）該命題是與自然數有關的不等式，采用數學歸納法證明，由歸納假設證明n=k+1成立時，穿插運用分析法解答：解：（1）設點（x0，y0）為直線y=2x2與曲線y=g（x）的切點，則有2lnx0+bx0=2x02，由得，2x02=bx0，代入得x0=1，所以b=0，則g（x）=2lnx由f（x）g（x），即，整理得，x1，要使不等式f（x）g（x）恒成立，必須ax22xlnx恒成立設h（x）=x22xlnx，當x1時，h（x）0，則h（x）是增函數，h（x）h（1）=0，h（x）是增函數，則h（x）h（1）=1，a1又a0，因此，實數a的取值范圍是0a1 （2）當a=1時，f（x）在e，3上是增函數，f（x）在e，3上的最大值為要對e，3內的任意k個實數x1，x2，xk，都有f（x1）+f（x2）+f（xk1）16g（xk）成立，必須使得不等式左邊的最大值小于或等于右邊的最小值，當x1=x2=xk1=3時不等式左邊取得最大值，xk=e時不等式右邊取得最小值（k1）f（3）