湖南省長沙市第五中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析_第1頁
湖南省長沙市第五中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析_第2頁
湖南省長沙市第五中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析_第3頁
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文檔簡介

1、湖南省長沙市第五中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析一、 選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1. (00全國卷)函數(shù)的部分圖象是參考答案:答案:D2. 已知定義域?yàn)镽的函數(shù)在上為減函數(shù),且函數(shù)為偶函數(shù),則 A B C. D. 參考答案:D3. 在某項(xiàng)測量中,測量結(jié)果X服從正態(tài)分布,若X在(0,8)內(nèi)取值的概率為0.6,則X在(0,4)內(nèi)取值的概率為A.0.2B.0.3C.0.4D.0.6 參考答案:B4. 已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)圖象如圖所示,若為銳角三角形,則一定成立的是ABCD參考答案:D略5. 為了解某市居民用水情況,通過抽樣,獲得了

2、100位居民某年的月均用水量(單位:噸).將數(shù)據(jù)按照0,0.5),4,4.5分成9組,繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.政府要試行居民用水定額管理,制定一個(gè)用水量標(biāo)準(zhǔn)a.使85%的居民用水量不超過a,按平價(jià)收水費(fèi),超出a的部分按議價(jià)收費(fèi),則以下比較適合做為標(biāo)準(zhǔn)a的是( )A. 2.5噸B. 3噸C. 3.5噸D. 4噸參考答案:B【分析】根據(jù)頻率分布直方圖中,長方形面積表示頻率,找出將面積分割為和的數(shù)值,即為標(biāo)準(zhǔn).【詳解】根據(jù)頻率分布直方圖,結(jié)合題意可得:解得.故要滿足的居民用水量不超過,則比較合適的取值為3噸.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖中,頻率的計(jì)算,屬基礎(chǔ)題.6. 向量,滿足|

3、=1,|=,( +)(2),則向量與的夾角為()A45B60C90D120參考答案:C【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算【分析】設(shè)向量與的夾角為利用(+)(2),可得(+)?(2)=+=0,即可解出【解答】解:設(shè)向量與的夾角為(+)(2),(+)?(2)=+=0,化為cos=0,0,=90故選:C7. “”是“”成立的 A充要條件 B既不充分也不必要條件 C充分不必要條件 D必要不充分條件參考答案:C8. 定義在上的奇函數(shù)滿足,且在區(qū)間上是增函數(shù),則( )(A) (B) (C) (D)參考答案:9. 若,則下列說法正確的是( ) A.若則 B.若則C.若則 D.若則 參考答案:C10. 已知定義在上

4、 的函數(shù)與函數(shù)的圖像有唯一公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)的值為()A. B. C. D. 參考答案:D【分析】原題等價(jià)為有一解,即,令,確定其函數(shù)性質(zhì)即可求解【詳解】與函數(shù)的圖像有唯一公共點(diǎn),故有唯一解,即有唯一解令,所以g(x)關(guān)于x=2對稱,故a=g(2)=2故選:D【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)性質(zhì)及方程的根,準(zhǔn)確構(gòu)造函數(shù)判斷其對稱性是本題關(guān)鍵,是基礎(chǔ)題二、 填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11. 某高中有學(xué)生2000人,其中高一年級有760人,若從全校學(xué)生中隨機(jī)抽出1人,抽到的學(xué)生是高二學(xué)生的概率為0.37,現(xiàn)采用分層抽(按年級分層)在全校抽取20人,則應(yīng)在高三年級中抽取的人數(shù)為 參考答案:5【考點(diǎn)

5、】分層抽樣方法【分析】根據(jù)分層抽樣的定義和性質(zhì),建立比例關(guān)系即可得到結(jié)論【解答】解:在全校學(xué)生中抽取1名學(xué)生,抽到高二年級學(xué)生的概率為0.37,則高二人數(shù)為0.372000=740人,高三人數(shù)為2000760740=500人,則從高三抽取的人數(shù)為=5人,故答案為:512. 設(shè)函數(shù)f(x)=ex,g(x)=lnx+m,下列五個(gè)命題:對于任意x1,2,不等式f(x)g(x)恒成立,則me;存在x01,2,使不等式f(x0)g(x0)成立,則me2ln2;對于任意x11,2,x21,2,使不等式f(x1)g(x2)恒成立,則meln2;對于任意x11,2,存在x21,2,使不等式f(x1)g(x2)

6、成立,則me存在x11,2,x21,2,使不等式f(x1)g(x2)成立,則me2其中正確命題的序號為(將你認(rèn)為正確的命題的序號都填上)參考答案:略13. 已知實(shí)數(shù)x,y滿足則的最小值為 參考答案:4由約束條件畫出可行域如下圖,目標(biāo)函數(shù)可化簡為=,設(shè),所以即可行域上的點(diǎn)P與定點(diǎn)D(0,-2)斜率的范圍為,過點(diǎn)A(1,0)時(shí)取最小值,所以目標(biāo)函數(shù)的最小值為4,填4.14. 定義在上的函數(shù)是減函數(shù),且函數(shù)的圖象關(guān)于成中心對稱,若滿足不等式,則當(dāng)時(shí),的取值范圍是_.參考答案:略15. 對于滿足的實(shí)數(shù),使恒成立的取值范圍是 參考答案:原不等式等價(jià)為,即,所以,令,則函數(shù)表示直線,所以要使,則有,即且,

7、解得或,即不等式的解析為.16. f(x)=在定義域上為奇函數(shù),則實(shí)數(shù)k=參考答案:1【考點(diǎn)】3K:函數(shù)奇偶性的判斷【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義,解方程f(x)=f(x),即可得到結(jié)論【解答】解:若f(x)=在定義域上為奇函數(shù),則f(x)=f(x),即=,即=,則(k?2x1)(1+k?2x)=(k2x)(k+2x),即k2?22x1=(k222x,則k2?22x1+k222x=0,即k21=0,解得k=1,故答案為:117. 已知中,內(nèi)角的對邊的邊長為,且,則的最小值為 參考答案:三、 解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18. 已知由n(nN*)個(gè)正整數(shù)

8、構(gòu)成的集合Aa1,a2,an(a1a2an,n3),記SAa1+a2+an,對于任意不大于SA的正整數(shù)m,均存在集合A的一個(gè)子集,使得該子集的所有元素之和等于m.(1)求a1,a2的值;(2)求證:“a1,a2,an成等差數(shù)列”的充要條件是“”;(3)若SA2020,求n的最小值,并指出n取最小值時(shí)an的最大值.參考答案:(1)a11,a22;(2)證明見解析;(3)n最小值為11,an的最大值1010【分析】(1)考慮元素1,2,結(jié)合新定義SA,可得所求值;(2)從兩個(gè)方面證明,結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式,即可得證;(3)由于含有n個(gè)元素的非空子集個(gè)數(shù)有2n1,討論當(dāng)n10時(shí),n11時(shí),結(jié)

9、合條件和新定義,推理可得所求.【詳解】(1)由條件知1SA,必有1A,又a1a2an均為整數(shù),a11,2SA,由SA的定義及a1a2an均為整數(shù),必有2A,a22;(2)證明:必要性:由“a1,a2,an成等差數(shù)列”及a11,a22,得aii(i1,2,n)此時(shí)A1,2,3,n滿足題目要求,從而;充分性:由條件知a1a2an,且均為正整數(shù),可得aii(i1,2,3,n),故,當(dāng)且僅當(dāng)aii(i1,2,3,n)時(shí),上式等號成立.于是當(dāng)時(shí),aii(i1,2,3,n),從而a1,a2,an成等差數(shù)列.所以“a1,a2,an成等差數(shù)列”的充要條件是“”;()由于含有n個(gè)元素的非空子集個(gè)數(shù)有2n-1,故

10、當(dāng)n10時(shí),21011023,此時(shí)A的非空子集的元素之和最多表示1023個(gè)不同的整數(shù)m,不符合要求.而用11個(gè)元素的集合A1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024的非空子集的元素之和可以表示1,2,3,2046,2047共2047個(gè)正整數(shù).因此當(dāng)SA2020時(shí),n的最小值為11.記S10a1+a2+a10,則S10+a112020并且S10+1a11.事實(shí)上若S10+1a11,2020S10+a112a11,則a111010,S10a111010,所以m1010時(shí)無法用集合A的非空子集的元素之和表示,與題意不符.于是2020S10+a112a111,得,所以a1110

11、10.當(dāng)a111010時(shí),A1,2,4,8,16,32,64,128,256,499,1010滿足題意,所以當(dāng)SA2020時(shí),n的最小值為11,此時(shí)an的最大值1010.【點(diǎn)睛】本題考查新定義的理解和運(yùn)用,考查等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式的運(yùn)用,考查化簡運(yùn)算能力和推理能力,屬于難題.19. (本小題滿分12分) 已知橢圓和圓,A,B,F(xiàn)分別為橢圓C1左頂點(diǎn)、下頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)點(diǎn)P是曲線C2上位于第二象限的一點(diǎn),若APF的面積為,求證:APOP;點(diǎn)M和N分別是橢圓C1和圓C2上位于y軸右側(cè)的動點(diǎn),且直線BN的斜率是直線BM斜率的2倍,證明直線MN恒過定點(diǎn)參考答案:20. (本小題滿分12分)退休年齡延遲

12、是平均預(yù)期壽命延長和人口老齡化背景下的一種趨勢.某機(jī)構(gòu)為了解某城市市民的年齡構(gòu)成,從該城市市民中隨機(jī)抽取年齡段在2080歲(含20歲和80歲)之間的600人進(jìn)行調(diào)查,并按年齡層次20,30),30,40),40,50),50,60),60,70),70,80繪制頻率分布直方圖,如圖所示.若規(guī)定年齡分布在20,40)歲的人為“青年人”,40,60)為“中年人”, 60,80為“老年人”.(1)若每一組數(shù)據(jù)的平均值用該區(qū)間中點(diǎn)值來代替,試估算所調(diào)查的600人的平均年齡;(2)將上述人口分布的頻率視為該城市在20-80年齡段的人口分布的概率從該城市20-80年齡段市民中隨機(jī)抽取3人,記抽到“老年人”

13、的人數(shù)為,求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望參考答案:()由題意估算,所調(diào)查的600人的平均年齡為:(歲).4分()由頻率分布直方圖可知,“老年人”所占的頻率為.所以從該城市2080年齡段市民中隨機(jī)抽取1人,抽到“老年人”的概率為.依題意,X的可能取值為.所以,隨機(jī)變量X的分布列如下表:因此,隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望. .12分21. 在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為.(1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點(diǎn)P在C1上,點(diǎn)Q在C2上,求的最小值以及此時(shí)P的直角坐標(biāo).參考答案:(1):,:;(2

14、),此時(shí).試題分析:(1)的普通方程為,的直角坐標(biāo)方程為;(2)由題意,可設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為到的距離當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取得最小值,最小值為,此時(shí)的直角坐標(biāo)為.試題解析: (1)的普通方程為,的直角坐標(biāo)方程為.(2)由題意,可設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為,因?yàn)槭侵本€,所以的最小值即為到的距離的最小值,.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取得最小值,最小值為,此時(shí)的直角坐標(biāo)為.【方法點(diǎn)睛】參數(shù)方程與普通方程的互化:把參數(shù)方程化為普通方程,需要根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征,選取適當(dāng)?shù)南麉⒎椒ǎR姷南麉⒎椒ㄓ校捍胂麉⒎ǎ患訙p消參法;平方和(差)消參法;乘法消參法;混合消參法等把曲線的普通方程化為參數(shù)方程的關(guān)鍵:一是適當(dāng)選取參數(shù);二是確保互化前后方程的等

15、價(jià)性注意方程中的參數(shù)的變化范圍22. 已知,g(x)=2lnx+bx,且直線y=2x2與曲線y=g(x)相切(1)若對1,+)內(nèi)的一切實(shí)數(shù)x,不等式f(x)g(x)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)當(dāng)a=1時(shí),求最大的正整數(shù)k,使得對e,3(e=2.71828是自然對數(shù)的底數(shù))內(nèi)的任意k個(gè)實(shí)數(shù)x1,x2,xk都有f(x1)+f(x2)+f(xk1)16g(xk)成立;(3)求證:參考答案:考點(diǎn):導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用;函數(shù)恒成立問題.專題:壓軸題;導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用分析:(1)首先設(shè)出直線y=2x2與曲線y=g(x)的切點(diǎn),把切點(diǎn)代入兩曲線方程后聯(lián)立可求得b的值,解出g(x)后把f(x)

16、和g(x)的解析式代入f(x)g(x),分離變量a后對函數(shù)進(jìn)行兩次求導(dǎo)得到函數(shù)在區(qū)間1,+)內(nèi)的最小值,則實(shí)數(shù)a的范圍可求;(2)當(dāng)a=1時(shí)可證得函數(shù)f(x)在e,3上為增函數(shù),而g(x)也是增函數(shù),把不等式左邊放大取最大值,右邊取最小值,代入后即可求解最大的正整數(shù)k;(3)該命題是與自然數(shù)有關(guān)的不等式,采用數(shù)學(xué)歸納法證明,由歸納假設(shè)證明n=k+1成立時(shí),穿插運(yùn)用分析法解答:解:(1)設(shè)點(diǎn)(x0,y0)為直線y=2x2與曲線y=g(x)的切點(diǎn),則有2lnx0+bx0=2x02,由得,2x02=bx0,代入得x0=1,所以b=0,則g(x)=2lnx由f(x)g(x),即,整理得,x1,要使不等式f(x)g(x)恒成立,必須ax22xlnx恒成立設(shè)h(x)=x22xlnx,當(dāng)x1時(shí),h(x)0,則h(x)是增函數(shù),h(x)h(1)=0,h(x)是增函數(shù),則h(x)h(1)=1,a1又a0,因此,實(shí)數(shù)a的取值范圍是0a1 (2)當(dāng)a=1時(shí),f(x)在e,3上是增函數(shù),f(x)在e,3上的最大值為要對e,3內(nèi)的任意k個(gè)實(shí)數(shù)x1,x2,xk,都有f(x1)+f(x2)+f(xk1)16g(xk)成立,必須使得不等式左邊的最大值小于或等于右邊的最小值,當(dāng)x1=x2=xk1=3時(shí)不等式左邊取得最大值,xk=e時(shí)不等式右邊取得最小值(k1)f(3)

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