1、湖南省長沙市第五中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析一、 選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1. （00全國卷）函數(shù)的部分圖象是參考答案：答案:D2. 已知定義域?yàn)镽的函數(shù)在上為減函數(shù)，且函數(shù)為偶函數(shù)，則 A B C. D. 參考答案：D3. 在某項(xiàng)測量中，測量結(jié)果X服從正態(tài)分布，若X在（0，8）內(nèi)取值的概率為0.6，則X在（0，4）內(nèi)取值的概率為A.0.2B.0.3C.0.4D.0.6 參考答案：B4. 已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)圖象如圖所示，若為銳角三角形，則一定成立的是ABCD參考答案：D略5. 為了解某市居民用水情況，通過抽樣，獲得了

2、100位居民某年的月均用水量(單位：噸).將數(shù)據(jù)按照0,0.5)，4,4.5分成9組，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.政府要試行居民用水定額管理，制定一個(gè)用水量標(biāo)準(zhǔn)a.使85%的居民用水量不超過a，按平價(jià)收水費(fèi)，超出a的部分按議價(jià)收費(fèi)，則以下比較適合做為標(biāo)準(zhǔn)a的是（ ）A. 2.5噸B. 3噸C. 3.5噸D. 4噸參考答案：B【分析】根據(jù)頻率分布直方圖中，長方形面積表示頻率，找出將面積分割為和的數(shù)值，即為標(biāo)準(zhǔn).【詳解】根據(jù)頻率分布直方圖，結(jié)合題意可得：解得.故要滿足的居民用水量不超過，則比較合適的取值為3噸.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖中，頻率的計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.6. 向量，滿足|

3、=1，|=，（ +）（2），則向量與的夾角為（）A45B60C90D120參考答案：C【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算【分析】設(shè)向量與的夾角為利用（+）（2），可得（+）?（2）=+=0，即可解出【解答】解：設(shè)向量與的夾角為（+）（2），（+）?（2）=+=0，化為cos=0，0，=90故選：C7. “”是“”成立的 A充要條件 B既不充分也不必要條件 C充分不必要條件 D必要不充分條件參考答案：C8. 定義在上的奇函數(shù)滿足，且在區(qū)間上是增函數(shù)，則（ ）（A） （B） （C） （D）參考答案：9. 若，則下列說法正確的是（ ） A.若則 B.若則C.若則 D.若則 參考答案：C10. 已知定義在上

4、 的函數(shù)與函數(shù)的圖像有唯一公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D. 參考答案：D【分析】原題等價(jià)為有一解，即，令,確定其函數(shù)性質(zhì)即可求解【詳解】與函數(shù)的圖像有唯一公共點(diǎn)，故有唯一解，即有唯一解令，所以g（x）關(guān)于x=2對稱，故a=g(2)=2故選：D【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)性質(zhì)及方程的根，準(zhǔn)確構(gòu)造函數(shù)判斷其對稱性是本題關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題二、 填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11. 某高中有學(xué)生2000人，其中高一年級有760人，若從全校學(xué)生中隨機(jī)抽出1人，抽到的學(xué)生是高二學(xué)生的概率為0.37，現(xiàn)采用分層抽（按年級分層）在全校抽取20人，則應(yīng)在高三年級中抽取的人數(shù)為 參考答案：5【考點(diǎn)

5、】分層抽樣方法【分析】根據(jù)分層抽樣的定義和性質(zhì)，建立比例關(guān)系即可得到結(jié)論【解答】解：在全校學(xué)生中抽取1名學(xué)生，抽到高二年級學(xué)生的概率為0.37，則高二人數(shù)為0.372000=740人，高三人數(shù)為2000760740=500人，則從高三抽取的人數(shù)為=5人，故答案為：512. 設(shè)函數(shù)f（x）=ex，g（x）=lnx+m，下列五個(gè)命題：對于任意x1，2，不等式f（x）g（x）恒成立，則me；存在x01，2，使不等式f（x0）g（x0）成立，則me2ln2；對于任意x11，2，x21，2，使不等式f（x1）g（x2）恒成立，則meln2；對于任意x11，2，存在x21，2，使不等式f（x1）g（x2）

6、成立，則me存在x11，2，x21，2，使不等式f（x1）g（x2）成立，則me2其中正確命題的序號為（將你認(rèn)為正確的命題的序號都填上）參考答案：略13. 已知實(shí)數(shù)x，y滿足則的最小值為 參考答案：4由約束條件畫出可行域如下圖，目標(biāo)函數(shù)可化簡為=，設(shè),所以即可行域上的點(diǎn)P與定點(diǎn)D(0,-2)斜率的范圍為,過點(diǎn)A(1,0)時(shí)取最小值，所以目標(biāo)函數(shù)的最小值為4，填4.14. 定義在上的函數(shù)是減函數(shù)，且函數(shù)的圖象關(guān)于成中心對稱，若滿足不等式，則當(dāng)時(shí)，的取值范圍是_.參考答案：略15. 對于滿足的實(shí)數(shù)，使恒成立的取值范圍是 參考答案：原不等式等價(jià)為，即，所以，令，則函數(shù)表示直線，所以要使，則有，即且，

7、解得或，即不等式的解析為.16. f（x）=在定義域上為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)k=參考答案：1【考點(diǎn)】3K：函數(shù)奇偶性的判斷【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，解方程f（x）=f（x），即可得到結(jié)論【解答】解：若f（x）=在定義域上為奇函數(shù)，則f（x）=f（x），即=，即=，則（k?2x1）（1+k?2x）=（k2x）（k+2x），即k2?22x1=（k222x，則k2?22x1+k222x=0，即k21=0，解得k=1，故答案為：117. 已知中，內(nèi)角的對邊的邊長為，且,則的最小值為 參考答案：三、 解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18. 已知由n（nN*）個(gè)正整數(shù)

8、構(gòu)成的集合Aa1，a2，an（a1a2an，n3），記SAa1+a2+an，對于任意不大于SA的正整數(shù)m，均存在集合A的一個(gè)子集，使得該子集的所有元素之和等于m.（1）求a1，a2的值；（2）求證：“a1，a2，an成等差數(shù)列”的充要條件是“”；（3）若SA2020，求n的最小值，并指出n取最小值時(shí)an的最大值.參考答案：（1）a11，a22；（2）證明見解析；（3）n最小值為11，an的最大值1010【分析】（1）考慮元素1，2，結(jié)合新定義SA，可得所求值；（2）從兩個(gè)方面證明，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式，即可得證；（3）由于含有n個(gè)元素的非空子集個(gè)數(shù)有2n1，討論當(dāng)n10時(shí)，n11時(shí)，結(jié)

9、合條件和新定義，推理可得所求.【詳解】（1）由條件知1SA，必有1A，又a1a2an均為整數(shù)，a11，2SA，由SA的定義及a1a2an均為整數(shù)，必有2A，a22；（2）證明：必要性：由“a1，a2，an成等差數(shù)列”及a11，a22，得aii（i1，2，n）此時(shí)A1，2，3，n滿足題目要求，從而；充分性：由條件知a1a2an，且均為正整數(shù)，可得aii（i1，2，3，n），故，當(dāng)且僅當(dāng)aii（i1，2，3，n）時(shí)，上式等號成立.于是當(dāng)時(shí)，aii（i1，2，3，n），從而a1，a2，an成等差數(shù)列.所以“a1，a2，an成等差數(shù)列”的充要條件是“”；（）由于含有n個(gè)元素的非空子集個(gè)數(shù)有2n-1，故

10、當(dāng)n10時(shí)，21011023，此時(shí)A的非空子集的元素之和最多表示1023個(gè)不同的整數(shù)m，不符合要求.而用11個(gè)元素的集合A1，2，4，8，16，32，64，128，256，512，1024的非空子集的元素之和可以表示1，2，3，2046，2047共2047個(gè)正整數(shù).因此當(dāng)SA2020時(shí)，n的最小值為11.記S10a1+a2+a10，則S10+a112020并且S10+1a11.事實(shí)上若S10+1a11，2020S10+a112a11，則a111010，S10a111010，所以m1010時(shí)無法用集合A的非空子集的元素之和表示，與題意不符.于是2020S10+a112a111，得，所以a1110

11、10.當(dāng)a111010時(shí)，A1，2，4，8，16，32，64，128，256，499，1010滿足題意，所以當(dāng)SA2020時(shí)，n的最小值為11，此時(shí)an的最大值1010.【點(diǎn)睛】本題考查新定義的理解和運(yùn)用，考查等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式的運(yùn)用，考查化簡運(yùn)算能力和推理能力，屬于難題.19. (本小題滿分12分) 已知橢圓和圓，A，B，F(xiàn)分別為橢圓C1左頂點(diǎn)、下頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)點(diǎn)P是曲線C2上位于第二象限的一點(diǎn)，若APF的面積為，求證：APOP；點(diǎn)M和N分別是橢圓C1和圓C2上位于y軸右側(cè)的動點(diǎn)，且直線BN的斜率是直線BM斜率的2倍，證明直線MN恒過定點(diǎn)參考答案：20. (本小題滿分12分)退休年齡延遲

12、是平均預(yù)期壽命延長和人口老齡化背景下的一種趨勢.某機(jī)構(gòu)為了解某城市市民的年齡構(gòu)成，從該城市市民中隨機(jī)抽取年齡段在2080歲（含20歲和80歲）之間的600人進(jìn)行調(diào)查，并按年齡層次20,30)，30,40)，40,50)，50,60)，60,70)，70,80繪制頻率分布直方圖，如圖所示.若規(guī)定年齡分布在20,40)歲的人為“青年人”，40,60)為“中年人”， 60,80為“老年人”.（1）若每一組數(shù)據(jù)的平均值用該區(qū)間中點(diǎn)值來代替，試估算所調(diào)查的600人的平均年齡；（2）將上述人口分布的頻率視為該城市在20-80年齡段的人口分布的概率從該城市20-80年齡段市民中隨機(jī)抽取3人，記抽到“老年人”

13、的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望參考答案：（）由題意估算，所調(diào)查的600人的平均年齡為：（歲）.4分（）由頻率分布直方圖可知，“老年人”所占的頻率為.所以從該城市2080年齡段市民中隨機(jī)抽取1人，抽到“老年人”的概率為.依題意，X的可能取值為.所以，隨機(jī)變量X的分布列如下表：因此，隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望. .12分21. 在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為.（1）寫出C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)P在C1上，點(diǎn)Q在C2上，求的最小值以及此時(shí)P的直角坐標(biāo).參考答案：（1）：，：；（2

14、），此時(shí).試題分析：（1）的普通方程為，的直角坐標(biāo)方程為；（2）由題意，可設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為到的距離當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，此時(shí)的直角坐標(biāo)為.試題解析： （1）的普通方程為，的直角坐標(biāo)方程為.（2）由題意，可設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，因?yàn)槭侵本€，所以的最小值即為到的距離的最小值，.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，此時(shí)的直角坐標(biāo)為.【方法點(diǎn)睛】參數(shù)方程與普通方程的互化：把參數(shù)方程化為普通方程，需要根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征，選取適當(dāng)?shù)南麉⒎椒ǎＲ姷南麉⒎椒ㄓ校捍胂麉⒎ǎ患訙p消參法；平方和（差）消參法；乘法消參法；混合消參法等把曲線的普通方程化為參數(shù)方程的關(guān)鍵：一是適當(dāng)選取參數(shù)；二是確保互化前后方程的等

15、價(jià)性注意方程中的參數(shù)的變化范圍22. 已知，g（x）=2lnx+bx，且直線y=2x2與曲線y=g（x）相切（1）若對1，+）內(nèi)的一切實(shí)數(shù)x，不等式f（x）g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）當(dāng)a=1時(shí)，求最大的正整數(shù)k，使得對e，3（e=2.71828是自然對數(shù)的底數(shù)）內(nèi)的任意k個(gè)實(shí)數(shù)x1，x2，xk都有f（x1）+f（x2）+f（xk1）16g（xk）成立；（3）求證：參考答案：考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用；函數(shù)恒成立問題.專題：壓軸題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用分析：（1）首先設(shè)出直線y=2x2與曲線y=g（x）的切點(diǎn)，把切點(diǎn)代入兩曲線方程后聯(lián)立可求得b的值，解出g（x）后把f（x）

16、和g（x）的解析式代入f（x）g（x），分離變量a后對函數(shù)進(jìn)行兩次求導(dǎo)得到函數(shù)在區(qū)間1，+）內(nèi)的最小值，則實(shí)數(shù)a的范圍可求；（2）當(dāng)a=1時(shí)可證得函數(shù)f（x）在e，3上為增函數(shù)，而g（x）也是增函數(shù)，把不等式左邊放大取最大值，右邊取最小值，代入后即可求解最大的正整數(shù)k；（3）該命題是與自然數(shù)有關(guān)的不等式，采用數(shù)學(xué)歸納法證明，由歸納假設(shè)證明n=k+1成立時(shí)，穿插運(yùn)用分析法解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)（x0，y0）為直線y=2x2與曲線y=g（x）的切點(diǎn)，則有2lnx0+bx0=2x02，由得，2x02=bx0，代入得x0=1，所以b=0，則g（x）=2lnx由f（x）g（x），即，整理得，x1，要使不等式f（x）g（x）恒成立，必須ax22xlnx恒成立設(shè)h（x）=x22xlnx，當(dāng)x1時(shí)，h（x）0，則h（x）是增函數(shù)，h（x）h（1）=0，h（x）是增函數(shù)，則h（x）h（1）=1，a1又a0，因此，實(shí)數(shù)a的取值范圍是0a1 （2）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）在e，3上是增函數(shù)，f（x）在e，3上的最大值為要對e，3內(nèi)的任意k個(gè)實(shí)數(shù)x1，x2，xk，都有f（x1）+f（x2）+f（xk1）16g（xk）成立，必須使得不等式左邊的最大值小于或等于右邊的最小值，當(dāng)x1=x2=xk1=3時(shí)不等式左邊取得最大值，xk=e時(shí)不等式右邊取得最小值（k1）f（3）