1、Chap函數是現代數學的基本概念之一，是高等數學的主要研究對象極限概念是微積分的理論基礎，極限方法是微積分的基本分析方法，因此，掌握、運用好極限方法是學好微積分的關鍵連續是函數的一個重要性態本章將介紹函數、極限與連續的基本知識和有關的基本方法，為今后的學習打下必要的基礎1.一、引言在現實世界中，一切事物都在一定的空間中運動著世紀初，數學首先從對運動（如天文、航海問題等）的研究中引出了函數這個基本概念在那以后的二百多年里，這個概念在幾乎所有的科學研究工作中占據了中心位置二、集合的概念集合（或簡稱集）是指具有某種特定性質的事物的總體組成這個集合的事物稱為該集合的元素aMaM有限集由有限個元素組成的

2、集合無限集由無窮多個元素組成的集合集合的表示：列舉法和描述法A,a,a,B.，b,b,12n12nM帚1%所具有的特湎HI例如，平面xoy上坐標適合方程x2J21的點事,y的全體組成的集合M,y*x,yR,x2y21.自然數集合N整數集合Z有理數集合Q無理數集合;實數集合R復數集合A*.A；Z*,Q*,R*；參考課時：微積分是近代數學中最偉大的成就對它的重要性無論做怎樣的估計都不會過分馮諾伊曼注:馮諾依曼（,匈牙利人），世紀最杰出的數學家之一，在純粹數學、應用數學、計算數學等許多分支，從集合論、數學基礎到量子理論與算子理論等作多方面，他都作出了重要貢獻他與經濟學家合著的博弈論與經濟行為奠定了對

3、策論的基礎，他發明的“流程圖”溝通了數學語言與計算機語言，制造了第一臺計算機，被人稱為“計算機之父”AA,；N,Z,Q,R子集AB(BA)xAxBNZ;ZQ;QR集合相等ABAB且BA空集不含任何元素的集合()例如事xR,x210.三、集合的運算交集并集差集A交集并集差集A*BlxAxbABlxAxbABlxAx2求f(x)xx2作業：習題、單利與復利利息是指借款者向貸款者支付的報酬它是根據本金的數額按一定比例計算出來的利息又有存款利息、貸款利息、債券利息、貼現利息等幾種主要形式單利計算公式設初始本金為p元銀行年利率為r則第一年末本利和為sprpp(1r)i第二年末本利和為sp(1r)rp(1

4、2r)2第n年末的本利和為sp(1nr)復利計算公式設初始本金為p元銀行年利率為r則第一年末本利和為sprpp(1r)1第二年末本利和為sp(1r)rp(1r)p(1r)22第n年末的本利和為sp(1r)n二、多次付息單利付息情形因每次的利息都不計入本金故若一年分n次付息則年末的本利和為spn-p(Hr)即年末的本利和與支付利息的次數無關復利付息情形因每次支付的利息都記入本金故年末的本利和與支付利息的次數是有關系的設初始本金為p元銀行年利率為r若一年分m次付息則一年末的本利和為s靖；m易見本利和是隨付息次數m的增大而增加的而第n年末的本利和為sp口-；m三、貼現票據的持有人為在票據到期以前獲得

5、資金從票面金額中扣除未到期期間的利息后得到所余金額的現金稱為貼現錢存在銀行里可以獲得利息如果不考慮貶值因素那么若干年后的本利和就高于本金如果考慮貶值的因素則在若干年后使用的未來值相當于本利和就有個較低的現值考慮更一般的問題確定第n年后價值為R元錢的現值假設在這n年之間復利年利率r不變利用復利計算公式有Rp(1Br)n得到第n年后價值為R元錢的現值為p-R-(1Br)n式中R表示第n年后到期的票據金額r表示貼現率而p表示現在進行票據轉讓時銀行付給的貼現金額若票據持有者手中持有若十張不同期限及不同面額的票據且每張票據的貼現率都是相同的則一次性向銀行轉讓票據而得到的現金_n_R_R_RpR12n0(

6、1r)(1r)2(1r)n式中R為已到期的票據金額R為n年后到期的票據0n金額_稱為貼現因子，它表示在貼現率r下n年后到(1Br)n期的元錢的貼現值由它可給出不同年限及不同貼現率下的貼現因子表四、需求函數需求函數是指在某一特定時期內市場上某種商品的各種可能的購買量和決定這些購買量的諸因素之間的數量關系假定其它因素如消費者的貨幣收入、偏好和相關商品的價格等不變則決定某種商品需求量的因素就是這種商品的價格此時需求函數表示的就是商品需求量和價格這兩個經濟量之間的數量關系qf(P)其中q表示需求量p表示價格需求函數的反函數pf(q)稱為價格函數習慣上將價格函數也統稱為需求函數五、供給函數供給函數是指在

7、某一特定時期內市場上某種商品的各種可能的供給量和決定這些供給量的諸因素之間的數量關系六、市場均衡對一種商品而言如果需求量等于供給量則這種商品就達到了市場均衡以線性需求函數和線性供給函數為例令qqdsapbcpddbpp0ac0這個價格p稱為該商品的市場均衡價格0市場均衡價格就是需求函數和供給函數兩條曲線的交點的橫坐標當市場價格高于均衡價格時將出現供過于求的現象而當市場價格低于均衡價格時將出現供不應求的現象當市場均衡時有qqqds0圖示稱q為市場均衡數量0根據市場的不同情況，需求函數與供給函數還有二次函數、多項式函數與指數函數等但其基本規律是相同的都可找到相應的市場均衡點pq00七、成本函數產品

8、成本是以貨幣形式表現的企業生產和銷售產品的全部費用支出成本函數表示費用總額與產量或銷售量之間的依賴關系產品成本可分為固定成本和變動成本兩馬克思資本論部分所謂固定成本是指在一定時期內不隨產量變化的那部分成本所謂變動成本是指隨產量變化而變化的那部分成本一般地以貨幣計值的總成本C是產量x的函數即CC(x)(x0)稱其為成本函數當產量x0時對應的成本函數值C(0)就是產品的固定成本值設C(x)為成本函數稱CC(x0)為單位成本函x數或平均成本函數成本函數是單調增加函數其圖象稱為成本曲線八、收入函數與利潤函數銷售某種產品的收入R等于產品的單位價格p乘以生產目的銷售量x即RP,稱其為收入函數而銷售利潤L等

9、于收入R減去成本C即LRC,稱其為利潤函數當LRC0時生產者盈利；當LRC0時生產者虧損；當LRC0時生產者盈虧平衡使L(x)0的點x稱為盈虧平衡點又稱為保本點0例現有初始本金按單利計算按復利計算按復利計算元若銀行年儲蓄利率為,例現有初始本金按單利計算按復利計算按復利計算年末的本利加為多少年末的本利和為多少需多少年能使本利和超過初始本金的一倍例某人手中有三張票據其中一年后到期的票據金額是元二年后到期的是元五年后到期的是元已知銀行的貼現率現在將三張票據向銀行做一次性轉讓銀行的貼現金額是多少例某種商品的供給函數和需求函數分別為Q25P10,Q2005Pds求該商品的市場均衡價格和市場均衡數量例某批

10、發商每次以元臺的價格將臺電扇批發給零售商在這個基礎上零售商每次多進臺電扇則批發價相應降低元批發商最大批發量為每次臺試將電扇批發價格表示為批發量的函數并求零售商每次進臺電扇時的批發價格例某工廠生產某產品每日最多生產單位它的日固定成本為元生產一個單位產品的可變成本為元求該廠日總成本函數及平均成本函數例某工廠生產某產品年產量為臺每臺售價元當年產量超過臺時超過部分只能按折出售這樣可多售出臺如果再多生產，本年就銷售不出去了試寫出本年的收益入函數例已知某廠單位產品時，可變成本為元，每天的固定成本為元，如這種產品出廠價為元，求()利潤函數；()若不虧本，該廠每天至少生產多少單位這種產品例某電器廠生產一種新產

11、品在定價時不單是根據生產成本而定還要請各銷售單位來出價即他們愿意以什么價格來購買根據調查得出需求函數九W0OP45000.該廠生產該產品的固定成本是元而單位產品的變動成本為元為獲得最大利潤出廠價格應為多少例已知該商品的成本函數與收入函數分別是C123試求該商品的盈虧平衡點并說明盈R11x虧情況作業：習題4.一、極限概念的引入極限是研究變量的變化趨勢的基本工具，高等數學中許多基本概念，例如連續、導數、定積分、無窮級數等都是建立在極限的基礎上極限方法又是研究函數的一種最基本的方法樸素的極限思想一尺之棰，日取其半，萬世不竭一莊周割之彌細所失彌少割之又割以至于不可割則與圓周合體而無所失矣一劉徽割圓術極

12、限悖論龜兔賽跑二、數列的定義稱爾DN的函數為數列(序列)xf(n)nx有界M0,xIBM(Hn)nn單調性xxxxxn12nnxxxxx!.n12nn112358314xxx.nnnH2xx121J01x()n)n,n5522、Y衛0.618(黃金分割數)x2n數列，繁殖數列，(馬爾薩斯人口論)123n,TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark32 234n12,4,6,8,2n； HYPERLINK l bookmark40 1111 HYPERLINK l bookmark42 I2,4,8，2n1,m,1,m,(,)n幾何意義數軸上的一系列動點三、數列的極限1

13、43n(m)n數列2,丁.7,(二，當n越來越無限大234n時，越來越無限地接近于“N”語言數學語言“N”語言數學語言N不唯一“袋子”(形象)lim%A或xAn&R,0nnnN()當nN時xBAn如果數列有極限，也稱數列收斂；eg/如果數列沒有極限，也稱數列發散dgt幾何意義(AA/x至多只有有限個點落在n區間以外動態解釋()n例已知工，77SK7,證明：limx0n(n11)2nn例設M1，則limqn0n例limn/n1n四、收斂數列的有界性設limxA根據定義，對于1IN當nN時nx(xA)AXAA1A,nnn令MmaxR1,1x1,1xl,1-lA1則12NlxIBM(Un)inn即x

14、有界n收斂數列一定有界逆命題不成立但無界數列必發散五、子數列的收斂性xAxA(lk)nnnkkxAxA,xA推廣n2n2n例設xC(C為常數)，證明limxCnnn例設x0,且limxa0,求證limJx4annnnn例用數列極限定義證明lim注n2n13n3例用數列極限定義證明limn221nn2nHl例證明數列x()n.是發散的n作業：習題5.數列可看作自變量為正整數n的函數xf(n)數n列x的極限為4，即：當自變量n取正整數且無限增大n(n)時，對應的函數值f(n)無限接近數a若將數列極限概念中自變量n和函數值f(n)的特殊性撇開，可以由此引出函數極限的一般概念顯然，極限A與自變量x的變

15、化過程緊密相關，自變量的變化過程不同，函數的極限就有不同的表現形式一、自變量趨向無窮大時函數的極限用“誤差”分析1面義生3xxlimf(x)A改R,0,或(0當1x!X時xf(x)BAf()A幾何意義yA喙HHX使曲線yf(x)(1x!X)落在“袋子”之中limf(x)AIAR,0,IX(0當xX時xf(x)BAf(Alimf(x)AAR,0,(0當xHHX時xf(x)BAf(Af()Af(f(Alimarctanx,limarctanxx2x2數學方法：從特殊到一般“X”語言數學語言X不唯一圖示動態解釋幾何意義圖示動態解釋幾何意義圖示動態解釋nlimarctanx不x1例證明lim一0(k0

16、)xxk二、自變量趨向有限值時函數的極限用“誤差”分析lim3x22用“誤差”分析lim3x22x印4x1xHlimf(x)A改R,0,0當0 xxxx0時f(x)BA幾何意義ByA喙x使曲線yf(x)0“”語言數學語言不唯一limf(x)與f(x)xx0無關圖示動態解釋0 xx落在“袋子”之中0三、左右極限(單側極限)三、limf(x)AIAR,0,0當x-喟xx時fxx時f(x)A0圖示動態解釋左極限f(x0)f(xlimf(x)AIAR,0,0當xxx時xx時f(x)HA0圖示動態解釋右極限/(x0)f(xIDlimf(x)Af(x0)f(x0)Alim區,lim|x-J1；x0l證明x

17、0 xIxI-lim不x0 x證明limccxx0limxxxx01，此處c為常數證明lim(2x1)1x1例證明lim上!E2x1x1例證明當x0時，lim、Xcj0 xx001當x0例設f(x)二0當x0，求limf(x)limf(x)不|x1當x0 x0 x.0拋開上述七種極限n,x,x,xx,xx00的具體涵義，抽象出共同點“任給一個誤差限制可找到一個范圍在該范圍誤差小于限制”就可得到一般的極限概念limA改R,0時亥U)T0當tT時A四、極限的性質唯一性設limA則A唯一反證法，同一法局部有界性設lim則在某范圍有界保號性設limA(110，則在某范圍(國0逆命題不成立弱保號性設li

18、mA,在某范圍00則Ag0推論設lim在某范圍AB則AlimB數列極限與函數極限的關系lim設(x)Axx0 xx,xx,limf(x)An0n0nnx可為,x00例證明：limsnC0 xxj1x例證明limxx1作業：習題數學抽象方法的逆否命題6.一、無窮小的概念對無窮小的認識問題，可以遠溯到古希臘，那時，阿基米德就曾用無限小量方法得到許多重要的數學結果，但他認為無限小量方法存在著不合理的地方直到年，柯西在他的分析教程中才對無限小(即這里所說的無窮小)這一概念給出了明確的回答而有關無窮小的理論就是在柯西的理論基礎上發展起來的為無窮小量lim00,T0當tT時1無窮小量不是是無窮小量二、無窮

19、小與變量極限的關系imAA(lim0)三、無窮小的運算性質lim0M則lim0無窮小量與有界變量的乘積仍為無窮小量有限個無窮小量的和、差、代數和、積、線性組合仍為無窮小量四、無窮大的概念為無窮大量11mHM0,IT0當tT時M為正無窮大量limHM0,IT0當tT時M為負無窮大量limHM0,IT0當tT時M不成立沒有任何問題可以像無窮那樣深深地觸動人的感情，很少有別的觀念能像無窮那樣激勵理智產生富有成果的思想，然而也沒有任何其它的概念能像無窮那樣需要加于闡明大衛希爾伯特與過程有關分析定義非常重要五、各種極限的分析定義見六、無窮小與無窮大的關系1一limlim-01lim0,0lim-有限個無

20、窮大量的積為無窮大量lim%cos%Xj1一一一、.例證明y%2sin一當0時為無窮小%例求limsin%X%j1例證明lim%i%.例證明lim(a%Hl)a1)%ii.11一.一一、一_例當%0時sin是一個無界變量但不、是無窮大%例求lim%4%35作業：習題無窮大量與有界變量的乘積不一定為無窮小量(1)limnxxxA0N當nN時1xA!n0X0當IxIBX時If(x)A0X0當xX時If(x)A0X0當xHHX時If(x)A00IN當nN時xt0X0當IxIX時If(x)I0X0當xX時If(x)I0X0當xHHX時If(x)M0IN當nN時1xIBMnM0X0當IxIX時If(x)

21、IMM0X0當xX時If(x)IMM0X0當xHHX時If(x)IMM0IN當nN時xMnM0X0當IxIBX時f(x)MM0X0當xX時f(x)MM0X0當xHHX時f(x)MM0IN當nN時xBIMfnM0X0當IxIBX時f(x)”M0X0當xX時f(x)M0X0當xHHX時f(x)”limXX0XX0XX0limA0,0當0 xx1時0If(X)A10,0當XXX時00If(X)A0,0當XXX時00If(X)A0T0當tT時IA00,0當0XX時0If(X)0,0當x10 xx時00If(X)0,0當XXX時00If(X)0T0當tT時IIBBM0,0當0XX時0If(X)I-MM0

22、,0當X10XX時00If(X)I-MM0,0當XXX時00If(X)I-MM0T0當tT時IIBMM00當0XX時0f(X)MM00當X10XX時00f(X)MM00當XXX時00f(X)MM0T0當tT時MM0,0當0XX時0f(X)M0,0當X10XX時00f(X)M0,0當XXX時00f(X)M0T0當tT時HIM7.設limA,limBlimA,limB,.A!Blim-0)(AB)(ab(a-BnaaiaHAB;AB.lim()ABlimlimlimABlimmlimlimABlimmlimA則Blim(B0)傳統經典證明和、差、積、商的極限等于極限的和、差、積、商若AB有意義則l

23、imABlimlim(m)(，)(m)(，)lim;limCClim;limiiilim.ii極限符號可與有限求和、有限連乘符號交換次序有限個變量四則運算的極限等于極限的四則運算代數和的極限等于極限的代數和線性組合的極限等于極限的線性組合形式復合函數的極限運算法則復合函數的極限運算法則設fg(x)在點x的某去心鄰域內有定義且g(x)0limf(u)A則limfg(x)limf(u)Ami3x27xH53例limx2x26x92例limPn9hII0|IIHnP5)I1.3x22x1_例lim2x1x2.1因式分解例例.n/1H印.1lim-xxn例3晨婢2,2lim-Ix2屈理3/分子、分母有

24、理化，廣義因式分解例lim(.上)1n.n2n2n22易犯錯誤，積累例lim(.1)1n135(2nHl)(2nBl)2拆項，推廣分子有理化limQ，琳2nn-n2n).1例n例xnHllimx1xm；lim(%:x21xnHllimx1xm；lim(%:x21x弋x21x)不xlim(sin%.xHlsin%.x)x已知lim(5xtax2bxc)2x作業：習題8.一、極限存在準則兩邊夾定理夾逼定理設在某范圍limAlim則limA單調有界數列必有極限(xcgtcgt0,.(當n,mN時n!n!1lim0(0-)nnnlim(Innn21(二nn2nlimn二、兩個重要極限I、limx0nn

25、nxxnm1M,1kn)n2knn21(2cos-n2nsinxtanx11limsinxxtanx(0 x2x,1limx不(sinxsinxx(x0)IsinxIHxI(xRsin(x)tan,x)lim11lim,(lim(x)0)圖示解釋經典證明圖示解釋柯西收斂準則理論意義了解重點先講無窮小的比較主要用于處理與三角函數和冪函數有關的0型極0limX0sinaxa1limxsin1tanbxbX.一,1limxsin0limnxMlimX0limXlimX0arcsinxyarcsinxlimy0sinylimX0tanxsinx原式limx0 xz.(sin_xX3tanx)0例lim

26、xasinxsina,cosa三角函數的變換必須非常熟悉eeK2.7182818284590451II、lim(1B-)nenlanX(1-nnn1Hln(n)J.2!n2n(n)(n2)J3!n!1)(12)nn2!n3!nn(1nn(1nn1n!nI1)(1.)(11nB13!nB1n1).1B)nHln(n.1)nHl112x11一一1_1113!12!L)213()n32!3!X”且2limX3Ik1,n_,UnxnH1xn(1二)n11.e_n1_(1)n(1)x1-_1_nHlnHlnHl(11)x(1U)x(11)n(11)n(11)exnnnnlim(1i)xe；又lim(1B

27、i)xe；xxxxlim(1Bi)xelim(1Bt)；exxt01lim(1-x)/)e,(lim(x)0),一，111例lim(1B一)n1;lim(1B-)20;lim(1-)n2nn2nnnnn2例lim()nenn3例lim(tanx)tan2xexJ4例lim1nx)limln(1Bx)：lnlim(1x)：(?)lne1x0 xx0 x0例limfL?：yexBilimy1x0 xy01n(1y)三、連續復利設初始本金為p元銀行年利率為r按復利付息若一年分m次付息則第n年末的本利和為sp：-:；m如果利息按連續復利計算即計算復利的次數m趨于無窮大時t年末的本利和為splim，-:

28、pert若要年mm末的本利和為則初始本金pset1例lim(12n3n)nn主要用于處理1型極限提出問題TOC o 1-5 h z111例lim?11；n就2(n1)2(nn)2例limJn111n例limxX0 x例設xJ3,x/3x,xJ3x-求limx21nnnn例設a0為常數數列xn由下列定義axtf.n1,2,)n2.nx.n其中x為大于零的常數，求limxn.0nn例一投資者欲用元投資年設年利率為試分別按單利、復利、每年按次復利和連續復利付息方式計算到第年末該投資者應得的本利和A注連續復利的計算公式在其它許多問題中也常有應用如細胞分裂、樹木增長等問題作業：習題9.一、無窮小的比較無

29、窮小比的極限不同反映了無窮小趨向于零的快慢程度不同設limlim0,lim:l,l0時稱為比高階的無窮小量；o()；l時稱為比低階的無窮小量；0l1時稱與為同階的無窮小量；O()lH1時稱與為等價的無窮小量；如果某種關系“U”滿足以下性質反身性A-A；對稱性ABBA；傳遞性A.B,BCA_C則稱該關系“u”為等價關系，馬.d“朋友”nrsx印_x(x0)n設limlim,lim!l則l時稱為比高階的無窮大量；l0時稱為比低階的無窮大量；0l1時稱與為同階的無窮大量；等號的含義x2(x遇ax0)x3o(x)但x2x3三、l1時稱與三、l1時稱與為等價的無窮大量；常用等價無窮小tanxarcsin

30、x_arctanx_ln(1x)_LexM;x1.;1cosxnxlna(?).等價無窮小替換定理設limlimlimlimlim則lim則limlim.例.巫互則處亙亙等價無窮大量也可以替換x0(2618x51)(419x7Hl)等價無窮大量也可以替換4x3J6x9lim213-(n：TBxnx)1TOC o 1-5 h zx.0IBx59xx7n32611“四、等價無窮小的充要條件.設limlim0，則o()例證明當x0時4xtan3x為x的四階無窮小tanxsinx例limx0sin32xlimx01tanxlimx01S2xH例lim融作業：習題10.客觀世界的許多現象和事物不僅是運動

31、變化的，而且其運動變化的過程往往是連綿不斷的，比如日月行空、歲月流逝、植物生長、物種變化等，這些連綿不斷發展變化的事物在量的方面的反映就是函數的連續性本節將要引入的連續函數就是刻畫變量連續變化的數學模型、世紀微積分的醞釀和產生，直接肇始于對物體的連續運動的研究例如伽利略所研究的自由落體運動等都是連續變化的量但直到世紀以前，數學家們對連續變量的研究仍停留在幾何直觀的層面上，即把能一筆畫成的曲線所對應的函數稱為連續函數世紀中葉，在柯西等數學家建立起嚴格的極限理論之后，才對連續函數作出了嚴格的數學表述連續函數不僅是微積分的研究對象，而且微積分中的主要概念、定理、公式法則等，往往都要求函數具有連續性一

32、、無窮小的比較增量改變量小xx,xxMX；00好f(x)f(x)f(xMx)f(x)；000f(x)f(x)f(x)00f(x)在xx點連續limiy00lx0limf(x)f(x)xx000,x)當1xx時f(x)f(x)10001設limf(x)Ax,limx則limf()A00 xx0f(x)在x點連續limf(x)f(x)f(limx)0 xx00 xx0自變量增量函數增量圖示幾何意義有向線段分析連續性極限值等于函數值分析定義與極限的區別x可為,x-00f(x)在x點連續limBxlimf()f(x)f(lim)000極限符號可與連續函數符號交換次序二、左右連續f(x)在x點連續f(x

33、0)f(x0)f(x)0000單側連續左連續f(x0)f(x)；00右連續f(x0)f(x)00三、連續函數與連續區間f(x)在D連續f(x)在D的每一點連續f(x)C(D),f(x)C(a,b),f(x)Ca,b閉區間連續端點a,b單側連續四、函數的間斷點不連續點也叫間斷點間斷點的分類第I類間斷點f(x0),f(xB0)00“”可去間斷點“”不可去間斷點跳躍間斷點第n類間斷點f(x0),f(x0)至少有一個不00無窮間斷點；振蕩間斷點例f(x)；tanxxk21類可去間斷點定義f(k5)0則連續22x0I類可去間斷點定義f(0)1則連續xk(k0)n類無窮間斷點例f(x)tanxtan/x有可列個間斷點：x0,叫,，1，一，23n圖示僅在x0點連續S1,xQ無連續點；|f(x)|無間斷點,xRQ僅在有理數點連續黎曼函數證明f(x)x0在x0處連續x0設f(僅在有理數點連續黎曼函數證明f(x)x0在x0處連續x0設f(x)是定義于”,b上的單調增加函數x(a,b)0如果limf(x)存在試證明函數f(x)在點x處連續2,討論f(x)2,xI0 x0在x0處的連續性x0已知f(x)x0在點x0處連續，求b的值x0證明函數ysinx在區間()內連續求下列函數的間斷點并判斷其類型若為可去間斷點試補充或修改定義后使其為連續點f(x)/xl(x2Bl)I0,x,及0 x作業:討論f(