1、2.5二次函數(shù)與一元二次方程（第1課時）教學(xué)設(shè)計內(nèi)容和內(nèi)容解析內(nèi)容：二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系。內(nèi)容解析：模型思想、幾何直觀是課程標(biāo)準(zhǔn)2023年版提出的10個核心概念之一。二次函數(shù)和一元二次方程都是重要的數(shù)學(xué)模型，也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)其他模型的基礎(chǔ)。利用函數(shù)圖象研究方程的根，是培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀的重要途徑。二次函數(shù)和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系十分突出。一元二次方程的一般形式為ax2+bx+c=0（a0），而y=ax2+bx+c是二次函數(shù)的一般表達(dá)式，一元二次方程ax2+bx+c=0的解是二次函數(shù)的零點，其幾何意思是二次函數(shù)圖象與x軸公共點的橫坐標(biāo)。一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的分布與

2、拋物線y=ax2+bx+c與x軸的位置關(guān)系相關(guān)。一般來說，可以把一元二次方程ax2+bx+c=m理解為已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的函數(shù)值為m時，求對應(yīng)自變量的值。研究函數(shù)和方程的聯(lián)系可以轉(zhuǎn)化為相關(guān)知識的理解，建立二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系是對知識結(jié)構(gòu)進(jìn)一步優(yōu)化。綜上所述，本節(jié)課的教學(xué)難點是：了解一元二次方程根的幾何意義；理解拋物線與x軸的位置關(guān)系與一元二次方程根的情況之間的對應(yīng)關(guān)系。目標(biāo)和目標(biāo)解析目標(biāo)：目標(biāo)（1）了解一元二次方程的根的幾何意義，知道拋物線與軸的三種位置關(guān)系對應(yīng)著一元二次方程的根的三種情況，會利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解。目標(biāo)（2）要求學(xué)生通過以函數(shù)圖象為中介

3、，用函數(shù)的觀點看方程，進(jìn)一步體會“以形表數(shù)，以數(shù)釋形”的數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)學(xué)生的幾何觀。目標(biāo)解析：目標(biāo)（1）要求能用函數(shù)的觀點看一元二次方程，知道解一元二次方程就是已知二次函數(shù)值求自變量的值；知道函數(shù)反映的是自變量之間對應(yīng)關(guān)系的整體，方程則反映了變量的具體取值之間的對應(yīng)關(guān)系。目標(biāo)（2）要求學(xué)生通過以函數(shù)圖象為中介，用函數(shù)的觀點看方程，進(jìn)一步體會用圖象可以直觀描述函數(shù)與方程之間的聯(lián)系。教學(xué)問題診斷分析在八年級下冊，學(xué)生通過一次函數(shù)與方程、不等式的學(xué)習(xí)已經(jīng)初步建立方程模型與函數(shù)模板的聯(lián)系。在九年級上冊，學(xué)生已經(jīng)分別學(xué)習(xí)了二次函數(shù)和一元二次方程，知道它們都是刻畫現(xiàn)實問題數(shù)量關(guān)系的重要模型，但沒有建立

4、這些知識之間的有效聯(lián)系。學(xué)生可以通過類似比較的方法初步得到二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系并進(jìn)行運(yùn)用。其中從函數(shù)圖象的角度看一元二次方程，實際就是已知二次函數(shù)圖象求圖象與橫坐標(biāo)交點的橫坐標(biāo)。由于作圖或觀察可能存在誤差，由圖象求得的根，一般上近似的，可以進(jìn)一步通過不斷的縮小根所在的范圍估計一元二次方程的根，這樣計算并結(jié)合函數(shù)圖象確定根所在范圍的方法上學(xué)生首次接觸的方法。基于以上分析，利用二次函數(shù)的圖象求相應(yīng)一元二次方程實數(shù)根的近似值，這是學(xué)習(xí)的難點。教學(xué)準(zhǔn)備多媒體課件、導(dǎo)學(xué)案五、教學(xué)過程設(shè)計情景引入，溫故知新問題 如圖，以40m/s的速度將小球沿與地面成30角的方向擊出時，球的飛行路線將是一條拋物線

5、，如果不考慮空氣的阻力，球的飛行高度h（單位：m）與飛行時間t（單位：s）之間具有關(guān)系：，考慮以下問題：(1)小球的飛行高度能否達(dá)到15m ? 若能,需要多長飛行時間?(2)小球的飛行高度能否達(dá)到20m? 若能,需要多長飛行時間?【師生行為：解題前，師生共同分析，告知學(xué)生現(xiàn)在不能解決也不要緊，學(xué)完本課，你就會清楚了！】（二）合作交流，探究新知探究：二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系二次函數(shù)、 、的圖象如圖所示.思考：(1) 觀察每個圖象與 軸有幾個交點？交點坐標(biāo)是什么？(2) 一元二次方程, ， 有幾個實數(shù)根?請分別求出它們的根；觀察二次函數(shù)圖象，完成下列表格：性質(zhì)二次函數(shù)y=ax2+bx+c拋物線

6、與x軸公共點個數(shù)公共點橫坐標(biāo)b2-4ac的值相應(yīng)一元二次方程的根【師生行為：學(xué)生獨(dú)立思考完成表格，教師巡視及時糾正，學(xué)生展示結(jié)果并歸納】【設(shè)計意圖：內(nèi)化二次函數(shù)與一元二次方程之間的聯(lián)系】歸納小結(jié)：二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點的坐標(biāo)與一元二次方程ax2+bx+c=0根的關(guān)系。二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸的交點一元二次方程ax2+bx+c=0的根b2-4ac的符號(3)通過（1）（2）的探索過程，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系：從上面發(fā)現(xiàn)，二次函數(shù)y=ax2+bx+c何時為一元二次方程?【師生共同完成】一般地，當(dāng)y取定值且a0時，二次函數(shù)為一元二次方程.例

7、如，已知二次函數(shù)y = x24x的值為3，求自變量x的值，可以解一元二次方程x24x=3（即x24x+3=0）反過來，解方程x24x+3=0 又可以看作已知二次函數(shù) y = x24x+3 的值為0，求自變量x的值（三）典例剖析，拓展延伸題型1 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系例1 已知關(guān)于的二次函數(shù)(1)求證：此拋物線與軸總有交點；(2)若此拋物線與軸總有兩個交點，且它們的橫坐標(biāo)都是整數(shù)，求正整數(shù)的值針對訓(xùn)練：已知：拋物線.(1)求證：不論取何值時，拋物線與軸都有兩個不同的交點；(2)設(shè)這個二次函數(shù)的圖象與軸相交于A(，0)，B(，0)，且、的平方和為3，求的值題型2 運(yùn)動中的拋物線問題例2 如圖

8、，以40m/s的速度將小球沿與地面成30角的方向擊出時，球的飛行路線是一條拋物線，如果不考慮空氣的阻力，球的飛行高度（單位：m）與飛行時間（單位：s）之間具有關(guān)系：，你能否解決以下問題：（1）球的飛行高度能否達(dá)到15m？如果能，需要多少飛行時間？（2）球的飛行高度能否達(dá)到20m？如果能，需要多少飛行時間？（3）球的飛行高度能否達(dá)到20.5m？如果能，需要多少飛行時間？（4）球從飛出到落地要用多少時間？變式訓(xùn)練：如圖，某足球運(yùn)動員站在點處練習(xí)射門，將足球從離地面0.5m的A處正對球門踢出（點A在軸上），足球的飛行高度（單位：m）與飛行時間（單位：s）之間滿足函數(shù)關(guān)系，已知足球飛行0.8s時，離地

9、面的高度為3.5m（1）足球的飛行時間是多少？（2）足球飛行的時間是多少時，足球離地面最高？最大高度是多少？（3）若足球飛行的水平距離（單位：m）與飛行時間（單位：s）之間具有函數(shù)關(guān)系，已知球門的高度為2.44m，如果該運(yùn)動員正對球門射門時，離球門的水平距離為28m，他能否將球直接射入球門？【設(shè)計意圖：鞏固二次函數(shù)與一元二次方程之間的聯(lián)系】（四）隨堂聯(lián)系，學(xué)以致用當(dāng)堂練習(xí)1若二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，且關(guān)于的一元二次方程的一個解=3，則另一個解=_；2.一元二次方程 的兩個根是=2 ，= 5，那么二次函數(shù)與軸的交點坐標(biāo)是_.3.若一元二次方程無實根，則拋物線的圖象位于（ ）A.軸上方 B.第一、二、三象限 C.軸下方 D.第二、三、四象限4.已知函數(shù)的圖象與軸有交點，求的取值范圍5.如圖，某學(xué)生推鉛球，鉛球出手（點A處）的高度是0.6m，出手后的鉛球沿一段拋物線運(yùn)行，當(dāng)運(yùn)行到最高3m時，水平距離=4m(1)求這個二次函數(shù)的解析式；(2)該同學(xué)把鉛球推出去多遠(yuǎn)？能力提升 6.已知二次函數(shù)的圖象，利用圖象回答問題： （1）方程的解是什么？ （2）取什么值時，0 ？ （3）取什么值時，0 ？（五）課堂小結(jié)1、二次函數(shù)與一元二次方程有哪些聯(lián)系？2、通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？還有哪些疑惑？學(xué)到了哪些數(shù)學(xué)思想？六、教學(xué)反思 鼓勵學(xué)生結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)談一談他們對二次函數(shù)