1、分形理論及其在股市上的應用分形幾何產生的背景經典幾何的研究對象: 規則的圖形，如圓，三角形等問題： 對于不規則的圖形：如海岸線，云的邊界，我們如何研究？ 如何用計算機去生成？分形幾何產生的背景下面我們再介紹一些傳統方法難以處理的一些問題如何研究在閉區間上處處連續處處不可導的函數：如Weierstrass函數？一類Weierstrass函數的具體表達式其中1s2,大自然的不規則性樹木花草、山川河流、煙霧云彩等是不規則的。晶體的生長，分子的運動軌跡等也是不規則的。如何用幾何來描述它？B. Mandelbrot 觀察到英國海岸線與Van Koch 曲線的關系，提出了一門描述大自 然的幾何形態的學科-

2、分形(Fractal).Julia集C = -1Julia集C = -0.5+0.5iJulia集C=-0.2+0.75 iJulia集C=0.64 iJulia集Mandelbrot集Mandelbrot集分形幾何的歷史萌芽期：十九世紀末，二十世紀初. Cantor集，Weierstrass函數等的提出.分形幾何的歷史形成期：二十世紀六、七十年代. Mandelbrot的大量工作. 1. 1967年，Science, 英國的海岸線有多長？ 2. 1975年，分形對象：形，機遇和維數.分形(fractal)這個詞源于這本書. 它的意思是“不規則的或者斷裂的”拉丁語“fractus”派生 出來的

3、.英國的海岸線有多長?測量方法： 我們想象一個人沿著一段海岸線揀盡可能短的道路步行，并規定每步長度不超過，設這樣測得的海岸線長度為L().然后重新開始，并使他在海岸線上最長的步長越來越短。 英國的海岸線有多長? 用一只小老鼠代替人測量。 用蒼蠅代替小老鼠測量。測量結論：隨著步長越來越短，我們測量出來的海岸線長度越來越長。英國的海岸線有多長(續)?Richardson的經驗數據 L()與成正比，其中的值依賴于具體的海岸線。而且對同一海岸線，對不同的區段，常常得到不同的。在Richardson看來， 沒有什么特別意義。英國的海岸線有多長(續)?Mandelbrot的貢獻 把的意義挖掘出來，將1+

4、=D解釋為“分形維數”。 分形幾何的歷史(續)發展期：二十世紀八十年代至今. 1. Hutchinson, 1981, 分形與自相似. 給出了自相似集合的數學理論基礎. 2. Mandelbrot, 1982, 自然界的分形幾何. 分形幾何的歷史(續) 3. Barnsley, 1988, Fractal everywhere. 4. Falconer, 1990, 分形幾何數學基礎 及其應用.分形函數 我們的主要研究對像是分形函數。 Weierstrass函數 Weierstrass型函數分形幾何的研究對象（二）自仿射集（每個映射都是壓縮的仿射映射）。迭代函數系統的不變集（每個映射都是壓縮映

5、射）。分形函數（如：Weierstrass函數）。隨機分形（如：隨機Koch曲線）。分形的應用領域數學中的動力系統等;物理中的布朗運動,流體力學中的湍流等;化學中酶的構造等;生物中細胞的生長等;分形的應用領域地質學中的地質構造等;天文學中土星光環的模擬等;其它:計算機,經濟學,社會學,藝術等Minkowski “香腸”龍曲線Hilbert曲線花草樹木(L系統）Hausdorff DimensionBox Dimension分形在金融分析中的應用金融學的基礎之一是現代證券理論，支撐這一理論的數學在處理極端問題時，作了盡可能從寬的處理。認為重大的市場巨變出現的可能性很小，或者認為這類變化無法加以考

6、慮。現代證券理論提出的防范風險的措施依靠的是一些要求很嚴而且沒有什么根據的假設。分形在金融分析中的應用首先，它認為價格的變動統計上是彼此獨立的，例如今天的價格對于現行價格和明天的價格之間的變化毫無關系。其次，假設所有價格變化的分布服從標準的正態分布，正態分布的寬度描述了價格變化偏離平均值有多遠，極端情況的事件被認為是及其罕見的。 然而，人們經常觀察到價格的急升急降-頻繁到每個月都會出現-它們的概率并不像證券理論認為的億億億分之一，而是高達百分之幾。分形在金融分析中的應用 最近，人們通過對實際市場歷史數據的研究發現，即使競爭最激烈的市場，實際上市場的變化規律也不是嚴格的隨機的，價格的起伏是相關的

7、，且具有長程相關性，因此可以通過分形理論來進行描述。分形在金融分析中的應用 Manderbrot在其早期對棉花價格的分析中發現，棉花的差價顯示出時間標度行為。 Stanley等發現隨著銷售額的增加，下降速率的分布在七個量級以上呈現冪函數規律。分形在金融分析中的應用 Zhang對32間（1966-1998）紐約市場包含最大的四百家上市公司綜合指數的每日收盤價進行了統計，發現歷史價格可以以一定概率預測最近的將來指數的漲落。也就是說，即使是復雜的、多體相互作用的金融市場，其內部也隱含有一定的規律。分形在金融分析中的應用 Mandelbrot提出用分形生成元模擬價格隨時間的變化，而多重分形分形中可以得

8、到大的價格漲落的信息。分形的特點是具有自相似性，在金融學中，這一概念并不是無根據的抽象，人們在市場走勢圖中經常可以看到局部和整體有某種程度的相似性。分形在金融分析中的應用 觀察者無法確定哪些數據涉及的是價格從一周到下一周的變化情況，哪些數據涉及的是價格從一天到下一天的變化情況，哪些數據涉及的是價格從某一鐘點到下一鐘點的變化情況，換言之，人們研究發現的哪些金融數據中，廣泛地存在著標度不變規律。分形在金融分析中的應用 分形可以對這一特征從理論的高度上重新進行表述。而多重分形又在簡單分形的基礎上增加了能描述市場易變性的功能。與常規的統計方法不同，多重分形的方法能將復雜體系分成許多奇異程度不同的區域來

9、研究，分形在金融分析中的應用從而使我們能分層次地了解復雜體系的內部精細結構和所富含的信息。通過對金融數據的多重分形分析，有望能找到多重分形參數與金融數據中大的漲落間的關聯性，并以一定概率反映和預測金融市場的劇烈動蕩。分形在金融分析中的應用 人們可以利用多分形來對證券進行“應力測試利用支配多分形的規則來產生支配真實市場的未知規則所產生的那些變化模式。多分形描述了生成元的形狀和實際市場資料圖表上待發現的價格上下波動規律間的關系。分形在金融分析中的應用 從實用角度看，分形生成元可以根據市場的歷史資料總結出來。所用的實際模型并不僅僅考察市場昨天或上個星期發生的情況。實際上，它是市場波動的更現實的描述，稱為多分形交易時間中的分數布朗運動。分形在金融分析中的應用 該模型產生的生成元所創造的圖形可以模擬以前的市場活動為基礎的替代變化圖景，這種方法不會使人們能夠更有把握地根據過去的資料預測某一天的股價是升還是降。但是，它們提供了關于市場動向的概率估計值，據此人們可以對必將發生的重大變化做好準備。分形在金融分析中的應用 多重分形譜是直接由指數隨時間的變化計算出來的，它是對指數的價位、最高最低指數的比值和低位指數出現的頻率等進行統計計算，因此應當包含有反映市場活動趨勢的信息。分形在金融分析中的應用 對恒生指數的多重分形譜的計算可以