1、2021-2022學(xué)年上海市閔行區(qū)魯匯中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、 選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1. 下列函數(shù)中，同時具有性質(zhì)：(1)圖象過點(0,1)；(2)在區(qū)間(0，)上是減函數(shù)；(3)是偶函數(shù).這樣的函數(shù)是 ( ) A. yx31 B. ylog2(|x|2) C. y()|x| D. y2|x|參考答案：C2. 若直線經(jīng)過點，則 （ ）（A） （B） （C） （D）參考答案：B略3. 已知p：函數(shù)在3,+)上是增函數(shù)，q：函數(shù)在3,）是增函數(shù)，則p是q的A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也

2、不必要條件參考答案：B4. 關(guān)于函數(shù)f（x）=x2（lnxa）+a，給出以下4個結(jié)論：?a0，?x0，f（x）0；?a0，?x0，f（x）0；?a0，?x0，f（x）0；?a0，?x0，f（x）0其中正確結(jié)論的個數(shù)是( )A0B1C2D3參考答案：D考點：命題的真假判斷與應(yīng)用；全稱命題；特稱命題 專題：簡易邏輯分析：令a=，進行驗證即可；令a=5，通過驗證結(jié)論成立；當(dāng)a=5時，舉反例x=5時，不滿足條件；求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)存在極值進行判斷解答：解：當(dāng)a=，則f（x）=x2（lnx）+，函數(shù)的定義域為（0，+），此時函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f（x）=2x（lnx）+x2=2xlnxx+x=2xlnx，由f

3、（x）=0得，x=1，則當(dāng)x1時，則f（x）0，此時函數(shù)遞增，當(dāng)0 x1時，則f（x）0，此時函數(shù)遞減，故當(dāng)x=1時，函數(shù)f（x）取得極小值同時也是最小值f（1）=+=0，則對?x0，f（x）f（1）=0；故正確，當(dāng)a=5，則f（x）=x2（lnx5）+5，則f（e）=e2（lne5）+5=4e2+50，故?a0，?x0，f（x）0，成立由知當(dāng)a=5時，?x=e，滿足e0，但f（e）0，故?a0，?x0，f（x）0不成立，故錯誤函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f（x）=2x（lnxa）+x2=2x（lnxa）+x=x（2lnx2a+1）=2x（lnx+）由f（x）=0，則lnx+=0，即lnx=a，即?a0，函數(shù)f

4、（x）都存在極值點，即?x0，f（x）0成立，故正確，綜上正確是有，故選：D點評：本題主要考查命題的真假判斷，利用特殊值法和排除法是解決本題的關(guān)鍵難度較大5. “”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件參考答案：A考點：充分條件與必要條件若函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則恒成立，所以的最大值，即，所以“”是“”的充分不必要條件。6. 已知函數(shù)(為常數(shù))是奇函數(shù)，則的反函數(shù)是 答( )A BC D參考答案：A7. 已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足（），則（ ）ABCD 參考答案：B設(shè)g（x）=，定義在R上的奇函數(shù)f（x），所以g（x）是奇函數(shù)，

5、x0時，g（x）=，因為函數(shù)f（x）滿足2f（x）xf（x）0（x0），所以g（x）0，所以g（x）是增函數(shù)，g（）=，可得：故選：B8. 已知均為銳角，sin=，sin（）= ，則 sin（）= （ ）A B C D 1參考答案：D略9. 已知復(fù)數(shù)z滿足為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點所在象限為 （ ）A第一象限 B 第二象限 C第三象限 D第四象限參考答案：A略10. 若是銳角，且，則的值等于A. B. C. D . 參考答案：A二、 填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11. 如果關(guān)于的不等式和的解集分別為，和，那么稱這兩個不等式為“對偶不等式”.如果不等式 與不等式為“對偶不等式

6、”，且，那么=.參考答案：12. 拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出.現(xiàn)有拋物線，如圖一平行于x軸的光線射向拋物線，經(jīng)兩次反射后沿平行x軸方向射出，若兩平行光線間的最小距離為4，則該拋物線的方程為_參考答案：【分析】先由題意得到必過拋物線的焦點，設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，表示出弦長，再根據(jù)兩平行線間的最小距離時，最短，進而可得出結(jié)果.【詳解】由拋物線光學(xué)性質(zhì)可得：必過拋物線的焦點，當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)的方程為，由得：，整理得，所以，所以；當(dāng)直線斜率不存在時，易得；綜上，當(dāng)直線與軸垂直時，弦長最短，又因為兩平行光線間的最小距離為4，

7、最小時，兩平行線間的距離最小；因此，所求方程為.故答案為【點睛】本題主要考查直線與拋物線位置關(guān)系，通常需要聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合韋達定理、弦長公式等求解，屬于常考題型.13. 已知x，yR，滿足x2+2xy+4y2=6，則z=x2+4y2的最小值為參考答案：4【考點】基本不等式【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法【分析】將x2+2xy+4y2=（x+2y）22xy=6，那么（x+2y）2=2xy+6，z=x2+4y2=（x+2y）24xy，利用基本等式的性質(zhì)，即可求解【解答】解：由題意x2+2xy+4y2=（x+2y）22xy=6，那么（x+2y）2=2xy+6，（x+2y）24x?2y=8x

8、y，當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時取等號則：2xy+68xy解得：xy1z=x2+4y2=（x+2y）24xy8xy4yx=4所以z=x2+4y2的最小值為4故答案為：4【點評】本題考查了基本不等式的變形和靈活的運用能力屬于中檔題14. 在邊長為1的正三角形ABC中，設(shè)，則 參考答案： 15. 設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x0時，f（x）=x2，若對任意xa，a+2，不等式f（x+a）f（3x+1）恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是 參考答案：【知識點】函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的應(yīng)用. B3 B4 解析：因為當(dāng)x0時，f（x）=，所以f(x)是的增函數(shù)，又f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(x)是R上的增函

9、數(shù)，所以若對任意xa，a+2，不等式f（x+a）f（3x+1）恒成立，即對任意xa，a+2，因為函數(shù)2x+1是a，a+2上的增函數(shù)，所以2x+1有最大值2a+5,所以.【思路點撥】先根據(jù)已知判定函數(shù)f(x)是R上的單調(diào)增函數(shù)，然后把命題轉(zhuǎn)化為對任意xa，a+2,a 2x+1恒成立問題求解.16. 已知i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的模等于_ 參考答案：117. 若對于任意的x0，不等式a恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為參考答案：，+）【考點】函數(shù)恒成立問題【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用【分析】由x0， =，運用基本不等式可得最大值，由恒成立思想可得a的范圍【解答】解：由x0， =，當(dāng)且僅當(dāng)x=

10、2時，取得最大值所以要使不等式a恒成立，則a，即實數(shù)a的取值范圍為，+）故答案為：，+）【點評】本題考查函數(shù)的恒成立問題的解法，注意運用基本不等式求得最值，考查運算能力，屬于中檔題三、 解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18. 已知數(shù)列滿足：，,是數(shù)列的前n項和;數(shù)列前n項的積為，且。（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項和為,證明：對于任意的nN*，都有參考答案：（1）：由題知，即數(shù)列隔項成等差數(shù)列，又，n為奇數(shù)時，；n為偶數(shù)時，.,，n=1時 ，時，。 （2）由（1）知，數(shù)列成等差數(shù)列， 19. 已知函數(shù)（1）求函數(shù)的圖像在點處的切線方程；（2）

11、若，且對任意恒成立，求的最大值；（3）當(dāng)時，證明參考答案：（1）解：因為，所以，函數(shù)的圖像在點處的切線方程；3分（2）解：由（1）知，所以對任意恒成立，即對任意恒成立4分 令，則，4分令，則， 所以函數(shù)在上單調(diào)遞增5分因為，所以方程在上存在唯一實根，且滿足當(dāng)，即，當(dāng)，即，6分所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增所以7分 所以故整數(shù)的最大值是38分（3）由（2）知，是上的增函數(shù)，9分所以當(dāng)時，10分即整理，得11分因為， 所以12分即即13分所以14分20. 在直角坐標系中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立坐標系已知曲線C：sin2=2acos（a0），過點P（2，4）的直線l的參數(shù)方程為（t

12、為參數(shù)），直線l與曲線C分別交于M、N兩點（1）寫出曲線C和直線l的普通方程；（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，求a的值參考答案：【考點】參數(shù)方程化成普通方程【專題】坐標系和參數(shù)方程【分析】（1）直接利用關(guān)系式把極坐標方程轉(zhuǎn)化成直角坐標方程（2）利用參數(shù)方程和拋物線方程建立成關(guān)于t的一元二次方程組，利用根和系數(shù)的關(guān)系求出兩根和與兩根積，進一步利用等比數(shù)列進一步求出a的值【解答】解：（1）曲線C：sin2=2acos（a0），轉(zhuǎn)化成直角坐標方程為：y2=2ax線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），轉(zhuǎn)化成直角坐標方程為：xy2=0（2）將直線的參數(shù)方程（t為參數(shù)），代入y2=2ax得到：，所

13、以：，t1t2=32+8a，則：|PM|=t1，|PN|=t2，|MN|=|t1t2|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，所以：，由得：a=1【點評】本題考查的知識要點：極坐標方程與直角坐標方程的互化，參數(shù)方程與直角坐標方程的互化，利用根和系數(shù)的關(guān)系建立方程組求解，等比數(shù)列的應(yīng)用21. （13分）（2016?菏澤一模）已知數(shù)列bn的前n項和（）求數(shù)列bn的通項公式；（）設(shè)數(shù)列an的通項，求數(shù)列an的前n項和Tn參考答案：【考點】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化思想；等差數(shù)列與等比數(shù)列【分析】（I）利用遞推關(guān)系即可得出；（II）=（3n2）?2n+（1）n?2n設(shè)數(shù)列（3n2）?2

14、n的前n項和為An，利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出；再利用等比數(shù)列的前n項和公式即可得出【解答】解：（I）數(shù)列bn的前n項和，b1=B1=1；當(dāng)n2時，bn=BnBn1=3n2，當(dāng)n=1時也成立bn=3n2（II）=（3n2）?2n+（1）n?2n設(shè)數(shù)列（3n2）?2n的前n項和為An，則An=2+422+723+（3n2）?2n，2An=22+423+（3n5）?2n+（3n2）?2n+1，An=2+3（22+23+2n）（3n2）?2n+1=4（3n2）?2n+1=（53n）?2n+110，An=（3n5）?2n+1+10數(shù)列（1）n?2n的前n項和=1（2）n數(shù)列an

15、的前n項和Tn=（3n5）?2n+1+101（2）n【點評】本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“錯位相減法”、遞推關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題22. 已知函數(shù)且a0）（1）求曲線y=f（x）在點（1，f（1）處的切線方程；（2）若函數(shù)f（x）的極小值為，試求a的值參考答案：（1）；（2）.【分析】（1）由題意可知，由此能求出曲線y=f（x）在點（1，f（1）處的切線方程（2）當(dāng)a-1時，求出，解得，不成立；當(dāng)a=-1時，0在（0，+）上恒成立，f（x）在（0，+）單調(diào)遞減f（x）無極小值；當(dāng)-1a0時，極小值f（1）=-a-4，由題意可得，求出；當(dāng)a0時，極小值f（1）=-a-4由此能求出a的值【詳解】（1）函數(shù)f（x）=（2ax2+4x）lnx-ax2-4x（aR，且a0）由題意可知 曲線y=f（x）在點（1，f（1）處的切線方程為 （）當(dāng)a-1時