1、北京航空航天大學2012-1013學年第二學期期末工程振動考試A卷2013年06月18日注意事項：1、不按題目要求不給分2、畫好圖，注意求解題目的思路和步驟一、簡答題：（8小題，每小題5分，總40分）1.振型正交性的物理含義是什么？（2分），為何它是振型疊加方法的理論基礎？（3分）答：每一階主振動的動能和勢能之和在系統自由振動過程中保持不變，即不同階主振動的能量互不交換，這就是線性系統模態正交性的物理含義。因為模態正交性，所以在選用模態坐標作為廣義坐標來建立系統的運動方程時，系統一定不存在剛度耦合和質量耦合，即系統的模態剛度矩陣和模態質量矩陣是對角矩陣。2.為何范德波爾方程x+X（x2-1）+

2、32X二0是自激振動系統？（2分）說明該系0統相軌跡是極限環的理由（3分）答：自激振動可以解釋為具有正阻尼和負阻尼的系統的自由振動。？范德波爾方程x+珈x2-1）+吒x二0描述的系統可以理解為具有可變阻尼的系統。當系統的振幅較小時，即|x|1時，方程中的阻尼系數（X2-1）1時，阻尼系數（X2-1）0，系統具有正阻尼，它消耗系統的能量，使振幅減小。因此，可以推斷范德波爾方程x+珈x2-1）+吒x二0的相軌跡具有極限環。3.寫出Lagrange方程和Duharmel積分表達式（3分），說明方程和表達式中各個參數的物理含義？（2分）亦d(CT答：Lagrange方程為：丁-dtcqj+驢-Q=0(

3、j=123n)cqcqjjj式中：n為自由度；q為第j個廣義坐標；U為彈性元件提供的系統勢能；T為慣性元j件提供的系統動能；Q為不包括彈性恢復力的與廣義坐標q對應的廣義力。jjDuhamel積分表達式：TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark20 x(t)=Af(t)h(tT)du=AfCOeW7)sine(t-t)d,(tt)00mdd式中：f（t）為一般激振力；m為系統的質量；0=-為無阻尼系統的固有角頻率;0mc為阻尼比；二v；12阻尼系統的角頻率。2mdo0舉例說明，如何利用試驗方法使系統按某一階固有振動頻率振動？（3分）主振動中節點的物理含義是什么？（2分

4、）答：設兩個自由度系統：如圖：方法1：使激振力f=Fsint的頻率與一階固有頻率相等，系統將按系統一階固有頻率振動；同理可使系統按二階固有頻率振動。方法2：使系統的初始位移x和一階模態9成比例，即x=a（其中a為一常數），而初0101始速度為零，此時系統按一階固有頻率振動。同理可使系統按二階固有頻率振動。在主振動中，在任何時刻靜止不動的點稱為節點，它在振動響應中位移總是等于零。非線性系統振動現象的本質特征是什么？（3分）給出混沌運動的主要特點（2分）答：非線性系統振動現象的本質是：跳躍現象、倍頻響應和分頻響應。混沌運動的主要特點是：對初值的敏感性、貌似隨機性和長期行為的不可預測。多自由度線彈性

5、系統的主振動為簡諧振動，問其自由振動是否也為簡諧振動并說明理由（3分）。單自由線彈性系統的自由振動和固有振動頻率相同嗎？（2分）答：多自由度線彈性系統的自由振動是各階主振動按照一定的關系疊加得到的。而疊加的關系是初始條件決定的。簡諧振動的疊加一般不是簡諧的，由此可見，多自由度系統的自由振動不一定是簡諧的。單自由度線彈性系統的自由振動頻率和固有振動頻率相同。7.借助單自由度系統來說明隔振器的原理。（5分）答：1第一類隔振：隔力或稱為主動隔振，力的傳遞率T是F傳遞到基礎結構上的合力的幅值F與振源產生的激振力的T幅值F之比，即T=J1+（2紙）2Fv（1-W2）2+（2gW）2當w時，有TF1，這時

6、減振器才有隔振的效果。2第二類隔振：隔幅或稱為被動隔振，絕對運動傳遞率給出傳遞到系統上的絕對位移振幅與振源所產生的簡諧振動振幅之比，即T_I1+（2如）2A：（1-W2）2+（2gQ）2兩類隔振要求相同，即只有當時，減振器才有隔振效果。這樣，減振器彈簧的剛度系數k應該滿足-k7|mT77777777777777777|y.sinco。但實際上為了減小系統越過0F8.簡述單自由度系統的參數共振與線性單自由度系統共振現象的區別。（5分）答：在外部激勵作用下，一般無阻尼系統的共振現象是在激勵頻率和固有頻率重合時發生而參數共振是在激發頻率等于固有頻率的兩倍時出現。參數共振的另外一個獨特之處在于在激發頻

7、率w小于主要共振頻率20時，參數共振現象也可能發生。而參數共振系統最奇特的是它具有連續的動力不穩定區域。(7)共10分)一個單自由度系統的動力學方程為X+x-x3=0該系統是否為保守系統(2分)？畫出相軌跡(4分)，并指出平衡點類型(4分)。答：令f(x)=X-X3，動力學方程可以寫為X+f(x)=0(1)因為f6)不含有X項，所以系統是保守系統。由f(x)=0可得奇點為：0，-1，+1。保守系統勢能函數為U(x)=1xf(x)lx二-011x4+x242因U(x)=-3x2+1，可知U(0)=10，為穩定點;(2)U(1)=-20為不穩定點；U(-1)=-2TjjMjd0pjjd(3-5)(

8、3-6)(3-7)3-8)本題系統是無阻尼系統，假設主坐標的穩態響應為彳二Asinot。載荷作用在左邊的質量塊上，外載荷向量為Ft=F00sinot。由公式(3-7)求主坐標位移響應Fq=0sinot=0sinot1K(1o2)4(2、2)kmo2p11FFq20sinot=0sinotK(1一o2)2(2k一mo2)p22q3=F=-oF0sinot=0sinot4(2+x;2)k一mo2K(1-o2)p33因此系統的穩態位移響應3k2一4mo2+(mo2)2x=0q+0q+0q=q+q+q=11111221331232k2一4km2+(m2)22k一mo2X2=021q1+022q2+023J1=2k2-4mko2+g2)2k2x=0q+0q+0q=q一q+q=33113223331232k2一4mko2+(