1、2021-2022學年遼寧省葫蘆島市高一下學期期末數學試題一、單選題1已知復數（其中為虛數單位）在復平面內對應的點在第四象限，則實數的取值范圍是（）ABCDD【分析】根據題意可得，即可得出.【詳解】因為在復平面內對應的點在第四象限，所以，解得.故選：D.2已知為銳角，則的值為（）ABCDC【分析】由誘導公式與同角三角函數的基本關系求解即可【詳解】因為，所以，又為銳角，所以，故選：C3已知，若，則實數的值為（）A3BCD6D【分析】根據平面向量共線得坐標表示即可得出答案.【詳解】解：因為，所以，解得.故選：D.4為了得到函數的圖象，可以將函數的圖象（）A向右平移個單位長度B向右平移個單位長度C向

2、左平移個單位長度D向左平移個單位長度A【分析】先將函數變形，再利用三角函數的圖象的平移方法，即可得到結論【詳解】函數，為了得到函數的圖象，可以將函數y=sin2x的圖象向右平移個單位長度故選A5萬花筒（Kaleidoscope），是由蘇格蘭物理學家大衛布魯斯特爵士發明的一種光學玩具，將有鮮艷顏色的實物放于圓筒的一端，圓筒中間放置一正三棱鏡（正三棱柱），另一端用開孔的玻璃密封，由孔中看去即可觀測到對稱的美麗圖像如圖，已知正三棱鏡底面邊長為6cm，高為16cm，現將該三校鏡放進一個圓柱形容器內，則該圓柱形容器的側面積至少為（）（容器壁的厚度忽略不計，結果保留）ABCDB【分析】由題意，滿足題意的圓

3、柱的高即為三棱柱的高，圓柱上下底面的圓恰好是三棱錐上下底面的外接圓，據此求出圓柱的各項數據.【詳解】由題意，圓柱的高為16cm，底面圓即為三棱柱底面的外接圓，設底面圓半徑為，由正弦定理，邊長6cm等邊三角形外接圓半徑滿足，故，于是側面積為.故選：B6函數的圖像為 （ ）ABCDA【分析】略【詳解】先根據函數為奇函數，舍去B,C再根據x等于1時，函數值大于零，舍去D故選：A7圣索菲亞教堂是哈爾濱的標志性建筑，其中央主體建筑集球、圓柱、棱柱于一體，極具對稱之美為了估算圣索菲亞教堂的高度，某人在教堂的正東方向找到一座建筑物AB，高約為36m，在它們之間的地面上的點M（B，M，D三點共線）處測得建筑物

4、頂A、教堂頂C的仰角分別是和，在建筑物頂A處測得教堂頂C的仰角為，則可估算圣索菲亞教堂的高度CD約為（）A54mB47mC50mD44mA【分析】根據題意求得，在中由正弦定理求出，即可在直角中求出.【詳解】由題可得在直角中，所以，在中，所以，所以由正弦定理可得，所以，則在直角中，即圣索菲亞教堂的高度約為54m.故選：A.8如圖，在等腰中，已知，E，F分別是邊AB，AC上的點，且，其中，且，若線段EF，BC的中點分別為M，N，則的最小值是（）ABCDB【分析】根據集合圖形中線段對應向量的線性關系，可得，又，可得關于的函數關系式，由二次函數的性質即可求的最小值.【詳解】在等腰中，已知則，因為分別是

5、邊的點，所以，而，左右兩邊平方得，又因為，所以，所以當時，的最小值為，即的最小值為.故選：B.二、多選題9復數，為虛數單位，是的共軛復數，則下列結論正確的有（）ABCDCD【分析】由得，再由復數的運算法則與模長公式驗證選項即可求解【詳解】因為，所以，對于A：，故A錯誤；對于B：，不一定成立，故B錯誤；對于C：，故C正確；對于D：，故D正確；故選：CD10下列關于函數的表述正確的是（）A最小正周期為B直線是圖象的一條對稱軸C在區間上單調遞增D點是圖象的一個對稱中心ABC【分析】利用二倍角公式和輔助角公式化簡得的解析式，再利用三角函數函數性質考查各選項即可【詳解】，函數的周期，故選項A表述正確；令

6、，解得，令，則，故B表述正確；，解得，令，可得C表述正確；,解得，由得，D表述錯誤，故選：ABC.11已知，為三條不同的直線，為三個不同的平面，則下列說法中正確的有（）A若，則B若，則C若，分別與，所成的角相等，則D若，且，則，交于點BD【分析】對于A，由線面平行的判定定理判斷，對于B，利用面面垂直的性質定理，線面垂直的性質定理，線面平行的性質定理可判斷，對于C，利用正三棱錐模型判斷，對于D，利用公理3判斷【詳解】對于A，當，時，或，所以A錯誤，對于B，如圖，設，在平面內作，在平面內作，且與不重合，因為，所以，同理可得，所以，因為，所以，因為，所以，因為，所以，所以B正確，對于C，當，分別與，

7、所成的角相等時，則，與所成的角相等，所以可將，看成正三棱錐的兩條側棱所在的直線，平面為該正三棱錐的底面所在的平面，則，與所成的角相等，但直線，相交，所以C錯誤，對于D，因為，所以，因為，所以由公理3可得，所以D正確，故選：BD12幾何學里有兩件寶，一個是勾股定理，另一個是黃金分割底與腰之比為黃金分割比（）的黃金三角形是“最美三角形”，即頂角為36的等腰三角形例如，中國國旗上的五角星就是由五個“最美三角形”與一個正五邊形組成的如圖，將五角星的五個頂點相連，記正五邊形的邊長為，正五邊形的邊長為，則下列結論正確的是（）ABCD對任意的，ACD【分析】依題意，即，再根據所給定義及三角恒等變換公式一一計

8、算可得；【詳解】解：依題意，即，在中，由正弦定理可得，所以，因為，所以，所以，即，故A正確；又，、，所以，即，所以，即，所以，故C正確，B錯誤；因為，所以，則，所以，故D正確；故選：ACD三、填空題13寫出兩個與終邊相同的角_，（答案不唯一）【分析】利用終邊相同的角的定義求解.【詳解】設是與終邊相同的角，則，令，得，令，得，故，(其他正確答案也可)14“中國天眼”是我國具有自主知識產權、世界最大單口徑、最靈故的球面射電望遠鏡（如圖），已知“天眼”的形狀為球冠（球面被平面所載后剩下的曲面，截得的圓為底，垂直于圓面的直徑被截得的部分為高），設球冠底的直徑，球冠的高，則球的半徑_（精確到整百）800

9、【分析】作出圖形，可知球心到截面圓的距離為，利用勾股定理列等式可求得.【詳解】如下圖所示：球心到截面圓的距離為，由勾股定理可得，化簡得，解得.又，所以故答案為.15已知同一平面上的和分別是邊長為2和4的正三角形（其中A，B，O和C，D，O均按逆時針排列），則的取值范圍是_【分析】設，則，根據數量積的運算律轉化為關于的三角函數，再根據正弦函數的性質計算可得.【詳解】解：設， 所以，故四、雙空題16函數（）的周期為，則的值為_；的單調遞減區間為_ 2 【分析】直接根據即可得的值，利用正弦型函數的單調性即可得結果.【詳解】因為函數（）的周期為，所以，解得，所以，由，解得，即的單調遞減區間為，故2，.

10、五、解答題17已知，均為銳角，(1)求的值；(2)求的值(1)(2)【分析】（1），再用兩角差的余弦公式計算；（2），再利用兩角和的正弦公式計算.【詳解】(1)因為，均為銳角，所以又，所以，所以(2)根據第（1）問可知18如圖，在四面體中，點是的中點，且直線面(1)直線直線；(2)平面平面(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由線面平行的性質定理證明即可；（2）由線面垂直與面面垂直的判定定理證明即可【詳解】(1)直線平面，平面平面，(2)，是的中點，是的中點又，又， ，又，平面，平面，又平面，平面平面19在，.三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解決該問題.在中，角A，B，C的對

11、邊分別為a，b，c，且滿足，.（1）求角C;（2）求周長的取值范圍（1）條件性選擇見解析，；（2）.【分析】（1）選，結合正弦定理及同角基本關系可求，進而可求；選，結合二倍角公式進行化簡可求，進而可求；選，結合三角形面積公式及向量數量積定義進行化簡求，進而可求；（2）由余弦定理及基本不等式可求的范圍，然后結合三角形的兩邊之和大于第三邊即可求解【詳解】解：（1）選，由正弦定理得，因為，所以，即，由為三角形內角得，選，整理得，由為三角形內角得，選，由三角形面積公式得，故，由為三角形內角得，（2）因為，由余弦定理得，故，所以，當且僅當時取等號，解得，因為，故周長的取值范圍，20已知，（），函數的周期

12、為，當時，函數有兩個不同的零點，(1)求函數的對稱中心的坐標；(2)（i）實數的取值范圍；（ii）求的值(1)（）(2)（i）；（ii）2.【分析】（1）根據向量數量積的坐標運算以及降冪公式、輔助角公式可將化為三角函數的一般形式，根據周期性求出的值，由三角函數的對稱性即可得結果；（2）題意轉化為的圖象與交點的情形，進而得的范圍以及的值，進而可得結果.【詳解】(1)由題意因為函數的周期為，所以所以由，得，所以的對稱中心為（）(2)由，得，作出函數在上的圖像，如圖所示（i）由圖可知，所以的取值范圍為（ii）由圖可知，所以21如圖，在四棱錐中，底面是矩形，已知，且平面，(1)在線段FG上確定一點M使

13、得平面平面PFG，并說明理由；(2)若二面角的余弦值為，求PG與平面PEM所成角的正切值(1)為中點，理由見解析(2)【分析】（1）為中點，連接，過作于，由線面垂直的判定定理證明平面，再由面面垂直的判定定理證明即可；（2）由線面角與二面角的定義求解即可【詳解】(1)為中點，證明如下：連接，過作于，于是在中，故；在中，故所以，為等腰三角形又平面，所以，為等腰三角形故在等腰三角形和等腰三角形中有，又，且，平面平面，又平面，平面平面(2)由（1）的結果可知，為二面角的平面角，在中，所以，由（1）中證明可知平面故與平面所成角為在中，又與平面所成角的正切值為22某校興趣小組在如圖所示的矩形區域內舉行機器

14、人攔截挑戰賽，在處按方向釋放機器人甲，同時在處按方向釋放機器人乙，設機器人乙在處成功攔截機器人甲，兩機器人停止運動若點在矩形區域內（包含邊界），則挑戰成功，否則挑戰失敗已知米，為中點，比賽中兩機器人均勻速直線運動方式行進，記與的夾角為（），與的夾角為(1)若兩機器人運動方向的夾角為，足夠長，機器人乙挑戰成功，求兩機器人運動路程和的最大值；(2)已知機器人甲的速度是機器人乙的速度的（i）若，足夠長，機器人乙挑戰成功，求（ii）如何設計矩形區域的寬的長度，才能確保無論的值為多少，總可以通過設置機器人乙的釋放角度使機器人乙挑戰成功？(1)8(2)（i）；（ii）答案見解析【分析】（1）用余弦定理列方程，結合基本不等式求得，也即兩機器人運動路程和的最大值.（2）（i）利用正弦定理求