1、平方差公式同步練習一、選擇題。1如果一個正整數可以表示為兩個連續奇數的平方差，那么稱該正整數為“和諧數”如（83212，165232，即8，16均為“和諧數”），在不超過2017的正整數中，所有的“和諧數”之和為（）A255054B255064C250554D2550242已知一個圓的半徑為Rcm，若這個圓的半徑增加2cm，則它的面積增加（）A4cm2B（2R+4）cm2C（4R+4）cm2D以上都不對3下列運用平方差公式計算，錯誤的是（）A（b+a） （ab）a2b2B（m2+n2）（m2n2）m4n4C（23x） （3x2）9x24D（2x+1）（2x1）2x214若a2b2，a+b，則a

2、b的值為（）ABC1D25下列各式能用平方差公式計算的是（）A（2x+y）（2y+x）B（x+1）（x1）C（xy）（x+y）D（3xy）（3x+y）二、填空題。6閱讀下文，尋找規律，并填空：已知x1，計算：（1x）（1+x）1x2（1x）（1+x+x2）1x3（1x）（1+x+x2+x3）1x4（1x）（1+x+x2+x3+x4）1x5觀察上式，并猜想：（1x）（1+x+x2+xn） 7計算：2008201020092 8若A（2+1）（22+1）（24+1）（216+1）（232+1），則A的個位數字是 9計算： 10計算：（1） ；（2） 三、解答題。11觀察探索：（x1）（x+1）x2

3、1（x1）（x2+x+1）x31（x1）（x3+x2+x+1）x41（x1）（x4+x3+x2+x+1）x51（1）根據規律寫出第個等式： ；（2）求27+26+25+24+23+22+2的值；（3）請求出22018+22017+22016+22+2的個位數字12通過計算我們知道：（a1）（a+1）a21（a1）（a2+a+1）a31（a1）（a3+a2+a+1）a41（1）請根據以上計算規律填空：（a1）（an+an1+a3+a2+a+1） （2）根據上述規律，請你求出32018+32017+33+32+3+1的個位上的數字13探索（x1）（x+1）x21（x1）（x2+x+1）x31（x1

4、）（x3+x2+x+1）x41（x1）（x4+x3+x2+x+1）x51（1）試寫出第五個等式；（2）試求26+25+24+23+22+2+1的值；（3）判斷22017+22016+22015+22+2+1的值的個位數字是幾14閱讀下文件，尋找規律：已知x1，計算：（1x）（1+x）1x2（1x）（1+x+x2）1x3（1x）（1+x+x2+x3）1x4（1x）（1+x+x2+x3+x4）1x5（1）觀察上式猜想：（1x）（1+x+x2+x3+xn） （2）根據你的猜想計算：1+2+22+23+24+22018214+215+210015閱讀下面的材料并填空：（1）（1+）1，反過來，得1（1

5、）（1+）（1）（1+）1，反過來，得1（1）（1+） （1）（1+）1，反過來，得1 利用上面的材料中的方法和結論計算下題：（1）（1）（1）（1）（1）（1）平方差公式同步練習參考答案與試題解析一、選擇題。1如果一個正整數可以表示為兩個連續奇數的平方差，那么稱該正整數為“和諧數”如（83212，165232，即8，16均為“和諧數”），在不超過2017的正整數中，所有的“和諧數”之和為（）A255054B255064C250554D255024【分析】由（2n+1）2（2n1）28n2017，解得n252，可得在不超過2017的正整數中，“和諧數”共有252個，依此列式計算即可求解【解答】

6、解：由（2n+1）2（2n1）28n2017，解得n252，則在不超過2017的正整數中，所有的“和諧數”之和為3212+5232+50525032505212255024故選：D【點評】此題考查了平方差公式，弄清題中“和諧數”的定義是解本題的關鍵2已知一個圓的半徑為Rcm，若這個圓的半徑增加2cm，則它的面積增加（）A4cm2B（2R+4）cm2C（4R+4）cm2D以上都不對【分析】半徑為Rcm的圓的面積是S1R2，若這個圓的半徑增加2cm，則其面積是S2（R+2）2，用增加后的圓的面積減去增加前圓的面積，利用平方差公式計算即可【解答】解：S2S1（R+2）2R2，（R+2R）（R+2+R

7、），4（R+1），它的面積增加4（R+1）cm2故選：D【點評】本題考查了平方差公式，比較簡單，關鍵是熟悉圓的面積公式3下列運用平方差公式計算，錯誤的是（）A（b+a） （ab）a2b2B（m2+n2）（m2n2）m4n4C（23x） （3x2）9x24D（2x+1）（2x1）2x21【分析】根據平方差公式，即可解答【解答】解：A（b+a）（ab）a2b2，計算正確，故本選項不符合題意；B（m2+n2）（m2n2）m4n4，計算正確，故本選項不符合題意；C（23x）（3x2）9x24，計算正確，故本選項不符合題意；D（2x+1）（2x1）4x21，故本選項錯誤；故選：D【點評】本題考查了平方差

8、公式，解決本題的關鍵是熟記平方差公式4若a2b2，a+b，則ab的值為（）ABC1D2【分析】根據a2b2（a+b）（ab），a+b即可求得ab的值【解答】解：a2b2（a+b）（ab），a+b，ab，故選：B【點評】本題主要考查平方差公式，解題的關鍵是掌握平方差公式的結構特點5下列各式能用平方差公式計算的是（）A（2x+y）（2y+x）B（x+1）（x1）C（xy）（x+y）D（3xy）（3x+y）【分析】能用平方差公式進行因式分解的式子的特點是：兩項平方項，符號相反，對各選項分析判斷后利用排除法【解答】解：A、（2x+y）（2y+x）不符合平方差公式的特點，不能用平方差公式計算，故本選項錯

9、誤；B、（x+1）（x1）（y+x）（yx），不符合平方差公式的特點，不能用平方差公式計算，故本選項錯誤；C、（xy）（x+y）符合平方差公式的特點，能用平方差公式計算，故本選項正確；D、（3xy）（3x+y）不符合平方差公式的特點，不能用平方差公式進行計算，故本選項錯誤故選：C【點評】本題考查的是應用平方差公式進行計算的能力，掌握平方差公式的結構特征是正確解題的關鍵二、填空題。6閱讀下文，尋找規律，并填空：已知x1，計算：（1x）（1+x）1x2（1x）（1+x+x2）1x3（1x）（1+x+x2+x3）1x4（1x）（1+x+x2+x3+x4）1x5觀察上式，并猜想：（1x）（1+x+x2

10、+xn）1xn+1【分析】根據平方差公式和所給出的式子的特點，找出規律，寫出答案即可【解答】解：（1x）（1+x+x2+xn）1xn+1；故答案為：1xn+1【點評】此題考查數字的變化規律，關鍵是根據平方差公式找出本題的規律，是一道基礎題7計算：20082010200921【分析】先變形，再根據平方差公式進行計算，最后求出即可【解答】解：原式（20091）（2009+1）20092200921200921，故答案為：1【點評】本題考查了平方差公式，能靈活運用平方差公式進行計算是解此題的關鍵8若A（2+1）（22+1）（24+1）（216+1）（232+1），則A的個位數字是5【分析】將A進行化

11、簡，確定出個位數字即可【解答】解：A（21）（2+1）（22+1）（24+1）（216+1）（232+1）（221）（22+1）（24+1）（216+1）（232+1）（241）（24+1）（216+1）（232+1）（2161）（216+1）（232+1）（2321）（232+1）2641，212，224，238，2416，個位上數字以2，4，8，6循環，64416，個位上數字為6，則A個位數字為5，故答案為：5【點評】此題考查了平方差公式，以及尾數特征，弄清題中的規律是解本題的關鍵9計算：2【分析】在原式的前面添上2，即可連續運用平方差公式進行計算，進而得出計算結果【解答】解：22+2+2

12、+2+2+2+2故答案為：2【點評】本題主要考查了平方差公式的運用，解決問題的關鍵是在原式的前面添上2，便于運用平方差公式10計算：（1）3；（2）399【分析】（1）先化成指數相同的冪相乘，再利用積的乘方的性質的逆用計算即可；（2）先寫成20與的和與差的積，再根據平方差公式進行計算【解答】解：（1）（）100（3）101，（）100（3）100（3），（3）100（3），3；（2）原式（20+）（20），400，399【點評】本題考查了積的乘方的性質的逆用和平方差公式，整理成性質和公式的形式是解題的關鍵三、解答題。11觀察探索：（x1）（x+1）x21（x1）（x2+x+1）x31（x1）（

13、x3+x2+x+1）x41（x1）（x4+x3+x2+x+1）x51（1）根據規律寫出第個等式：（x1）（x5+x4+x3+x2+x+1）x61；（2）求27+26+25+24+23+22+2的值；（3）請求出22018+22017+22016+22+2的個位數字【分析】（1）根據探索材料規律寫出第個等式；（2）把27+26+25+24+23+22+2變形為2（26+25+24+23+22+2+1），再根據探索材料規律得到原式2（21）（26+25+24+23+22+2+1），依此即可求解；（3）把22018+22017+22016+22+2變形為2（22017+22016+22+2+1），再

14、根據探索材料規律得到原式2（21）（22017+22016+22+2+1），得出原式220192，研究22019的末尾數字規律，進一步解決問題依此即可求解【解答】解：（1）第個等式是：（x1）（x5+x4+x3+x2+x+1）x61；（2）27+26+25+24+23+22+22（22017+22016+22+2+1）2（21）（26+25+24+23+22+2+1）2（271）282254；（3）22018+22017+22016+22+22（22017+22016+22+2+1）2（21）（22017+22016+22+2+1）2（220181）220192，21的個位數字是2，22的個位

15、數字是4，23的個位數字是8，24的個位數字是6，25的個位數字是2，2n的個位數字是以2、4、8、6四個數字一循環201945043，所以22019的個位數字是8，220192的個位數字是6故答案為：（x1）（x5+x4+x3+x2+x+1）x61【點評】此題考查了平方差公式，乘方的末位數字的規律，尾數特征，注意從簡單情形入手，發現規律，解決問題12通過計算我們知道：（a1）（a+1）a21（a1）（a2+a+1）a31（a1）（a3+a2+a+1）a41（1）請根據以上計算規律填空：（a1）（an+an1+a3+a2+a+1）an+11（2）根據上述規律，請你求出32018+32017+3

16、3+32+3+1的個位上的數字【分析】（1）通過計算先找到規律，根據規律得結論；（2）先把32018+32017+33+32+3+1乘以（31）變形為（1）中規律的形式，計算出結果再找到3n的個位數字變化規律，得結論【解答】解：（1）由以上計算規律可知：（a1）（an+an1+a3+a2+a+1）an+11；故答案為：an+11；（2）32018+32017+33+32+3+1（31）（32018+32017+33+32+3+1）（320191）因為313，329，3327，3481，35的個位數字為3，36的個位數字為9，37的個位數字為7，38的個位數字為1所以32019的個位數字是7所以

17、原式的個位數字是3【點評】本題考查了多項式乘以多項式，特殊數的個位數字特點題目難度較大解決本題的關鍵是把（2）變形為（1）的規律通項13探索（x1）（x+1）x21（x1）（x2+x+1）x31（x1）（x3+x2+x+1）x41（x1）（x4+x3+x2+x+1）x51（1）試寫出第五個等式；（2）試求26+25+24+23+22+2+1的值；（3）判斷22017+22016+22015+22+2+1的值的個位數字是幾【分析】（1）利用規律得出第五個等式即可；（2）原式變形后，利用得出的規律計算即可得到結果；（3）原式變形后，利用得出的規律計算得到結果，即可做出判斷【解答】解：（1）第五個等

18、式（x1）（x5+x4+x3+x2+x+1）x61；（2）原式（21）（25+25+24+23+22+2+1）271127；（3）原式（21）（22017+22016+22015+22+2+1）220181，則個位上數字是413【點評】本題考查了多項式乘多項式，尾數特征，規律型：數字的變化類，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵14閱讀下文件，尋找規律：已知x1，計算：（1x）（1+x）1x2（1x）（1+x+x2）1x3（1x）（1+x+x2+x3）1x4（1x）（1+x+x2+x3+x4）1x5（1）觀察上式猜想：（1x）（1+x+x2+x3+xn）1xn+1（2）根據你的猜想計算：1+2+22+23+24+22018214+215+2100【分析】（1）依據變化規律，即可得到（1x）（1+x+x2+x3+xn）1xn+1（2）依據（1）中的規律，即可得到1+2+22+23+24+22018的值；將214+215+2100寫成（1+2+22