1、二、 函數的間斷點 一、 函數連續性的定義 第十節函數的連續性與間斷點 第一章 一、 函數連續性的定義1.變量的增量設變量 從它的一個初值 變到終值 終值與初值的差 就叫做變量u的增量 記作即注：不表示某個變量 與u的乘積，而是一個整體不可分割的記號.設函數y = f (x)在點 的某一個鄰域內是有定義的 當自變量 在這鄰域內從 變到 時函數y相應地從 變到 因此函數 y 的對應增量為其幾何意義如右圖所示：2.函數連續性的定義定義:在的某一鄰域內有定義 , 設函數那么就稱函數 在點 處連續 如果設則即可見 , 函數在點定義:在的某一鄰域內有定義 , 則稱函數(1) 在點即(2) 極限(3)設函

2、數連續必須具備下列條件:存在 ;且有定義 ,存在 ;前提條件左連續與右連續左連續右連續函數在點連續有下列等價命題:如果 存在且等于 即如果存在且等于 即左連續:右連續:例 1解右連續但不左連續 ,連續函數的圖形是一條連續而不間斷的曲線.例 2解因為所以 f (x) 在 x = 0 處連續.若在某區間上每一點都連續 , 則稱它在該區間上連續 , 或稱它為該區間上的連續函數 .在閉區間上的連續函數的集合記作如果函數在開區間 內連續,并且在左端點處右連續,在右端點 處左連續,則稱函數 在閉區間 上連續.簡單地說，連續函數的圖形能一筆畫成。例3. 證明函數在內連續 .證: 即這說明在內連續 .同樣可證

3、: 函數在內連續 .導致函數圖象斷開的原因？oxy121、(1)在x=1處有定義(3)函數 f (x)的極限不存在。12oxy2.5yxo12、(1)在x=1處有定義；(2)函數在x=1處的左右極限相等，即函數在x=1處的極限存在，且等于2，但不等于f (1)導致函數圖象斷開的原因：1、函數在 處沒有定義2、函數在 時極限不存在函數值不等3、函數在 處的極限值和oxy1212oxy2.5yxo12在在二、 函數的間斷點(1) 函數(2) 函數不存在;(3) 函數存在 ,但不連續 :設在點的某去心鄰域內有定義 ,則下列情形這樣的點之一, 函數 f (x) 在點雖有定義 , 但雖有定義 , 且稱為

4、不連續點或間斷點 . 在無定義 ;為其無窮間斷點 .為其振蕩間斷點 .為可去間斷點 .例如:顯然為其可去間斷點 .(4)(5) 為其跳躍間斷點 .間斷點分類:第一類間斷點:及均存在 ,若稱若稱第二類間斷點:及中至少一個不存在 ,稱若其中有一個為振蕩,稱若其中有一個為為可去間斷點 .為跳躍間斷點 .為無窮間斷點 .為振蕩間斷點 .例4 討論函數的間斷點.因此 x = 0 是該函數的可去間斷點. 解即該函數在 x = 0 處的左、但是由于xyO1右極限存在，因為，如果修改定義 f (0) = 1，在 x = 0 連續.則函數xyO1內容小結左連續右連續第一類間斷點可去間斷點:跳躍間斷點: 左右極限

5、不相等第二類間斷點無窮間斷點: 振蕩間斷點: 函數值在 的去心鄰域(左右極限至少有一個不存在)在點間斷的類型在點連續的等價形式(左右極限都存在)內變動無限多次左右極限相等,但不等于函數值或無定義思考與練習1. 討論函數x = 2 是第二類無窮間斷點 .間斷點的類型.2. 設時提示:在x = 0 連續.答案: x = 1 是第一類可去間斷點 , 作業 P49 2(1)(2)(4); 3 ; 4(2) 第九節 求函數 的間斷點，并指出間斷點的類型。 解：由函數的表達式可知，間斷點只能在無定義處。因為所以 為間斷點。而所以 為第二類無窮間斷點。 所以 為第一類可去間斷點。思考題間斷點的類型.解: 間斷點為無窮間斷點;故為跳躍間斷點. 1. P49 題 52. 確定函數分析 所給函數是極限的形式，首先應求出不同區間的極限，給出函數的分