1、2021年第十一屆MathorCup高校數學建模挑戰賽賽題賽題分為A、B、C、D題，其中，硏究生組參賽隊只能從A、B題中任選一題完成答卷；本科組及?？平M參賽隊可從A、B、C、D題中任選一題完成答卷。2021年第十一屆MathorCup高校數學建模挑戰賽題目A題自動駕駛中的車輛調頭問題自動駕駛是近年人工智能應用的熱門研究領域之一，其中調頭是自動駕駛中一個非常實際又很有趣的場景。假設無人車為四輪乘用車，采用前輪轉向后輪驅動；車身可認為是一個矩形，車長5米，車寬2米，軸距2.8米；方向盤最大轉角470，方向盤與前輪轉角的傳動比為16:I（方向盤每轉動16，前輪轉動1），方向盤最犬轉速為400/s；最

2、大油門加速度3m/s2,限剎車加速JS-5m/s2o無人車的軌跡，指的是一條含有位置和時間等信息的曲線，它由一列軌跡點構成，各個軌跡點中應包含位置坐標、方向角、曲率、曲率變化率、速度、加速度及運動到此點時的時間等信息。這里軌跡指的是車身中某一特定點的軌跡，即控制點?？刂泣c是事先選定的，通常位于無人車車身對稱軸（車身可以近似認為是左右軸對稱的）上的一點，在行駛時，控制點的位置會與軌跡點相重合，控制點處的速度方向將與軌跡點的方向角一致。由于無人車的車輛動力學性質和安全性要求，軌跡必須滿足以下條件：（1）任何點的加速度不得高于最大油門加速度，不得低于極限剎車減速度；（2）無人車朝向和方向盤轉角都不能

3、突變，軌跡線必須是連續、且切線方向連續，當無人車不杲靜止時，曲率也必須連續（靜止時可以原地打方向，非靜止時不能）；（3）軌跡線的聶大曲率應盡量不高于0.205,禁止高于0.21； （4）按軌跡行駛時，在調頭完成之前，無人車車身任何點不得與任何障礙物或者掉頭區域邊界發生碰撞，且與障礙物至少保留一個最小安全距離，一般不小于30cmo無人車調頭軌跡在保證上述條件之外也應具備盡可能舒適的駕乘體感，以及具備盡可能高的通行效率，同時出于規范駕駛的考慮，盡量減少不必要的壓車道線行駛。請參賽者按照下面問題中簡化版的無人車調頭場景和附件數據，建立無人車安全快速調頭的數學模型，設計無人車調頭軌跡的計算方法，在輸入

4、外部道路和障礙物信息后，計算岀合理可行的無人車軌跡。同時，由于附近障礙物可能由于視野問題被遮擋，導致調頭中周圍環境信息發生變化，軌跡應當是可以實時更新的。附件數據文件中的邊界線均表示為折線點列，按坐標點從上到下的順序連接形成；所有障礙物均以多邊形表示，其中的點均按逆時針順序排列，路況簡圖見數據文件。請你們的參賽隊完成以下問題：問題1：如圖1所示場景，無人車（用橙色矩形表示）正在最左側車道準備調頭，存在三個對向車道。附件數據文件中，掉頭區域邊界以紅色邊框A表示，兩條對向車道線以E、C表示（均為路面上的虛線），中間的隔離障礙物以D表示。無人車起始位置已經在附件數據文件中給出，當無人車身觸碰到對向的

5、掉頭區域邊界（圖1中綠色部分）時，認為調頭完成。請闡述控制點位置，解釋其理由；基于此建立無人車調頭的數學模型，并給出一個合理可行的算法設計，給出調頭軌跡。圖1:無人車調頭場景1問題2：當掉頭區域狹窄時，判斷什么樣的場景下無人車能夠在不倒車的情況下完成調頭，什么情況需要至少一次倒車（如圖2場景2,藍色箭頭表示向前，紅色箭頭表示倒車）才能通過。建立相應的無人車調頭的數學模型，給岀合理的算法設計，并給岀仿真結果。圖2：無人車調頭場景2問題3：如圖3場景，如果道路上還存在其它靜止障礙物（附件數據文件中以F和G表示），當僅存在F、僅存在G、或二者都存在時，建立相應的無人車調頭的數學模型，給岀合理的算法設

6、計，并給岀調頭軌跡，你的算法應明確如何進行避障？圖3：無人車調頭場景3問題4:按交規規定，如果道路上存在人行橫道即斑馬線，其所占區域在附件數據文件中以E表示，則無人車需要盡可能在不壓人行橫道的情況下通過，如果無法做到，則需要越過（后輪越過）人行橫道后再開始調頭，禁止騎人行橫道調頭（如圖4場景4所示）。其中標識“的為可行通行方式，標識“X”為騎人行道調頭方式。建立相應的無人車調頭的數學模型，給岀合理的算法設計和相應的調頭軌跡；當斑馬線和障礙物同時存在時（如圖5場景5所示），你的模型和算法如何同時滿足交規并進行避障繞行?55圖4:無人車調頭場景4圖5:無人車調頭場景5問題5:無人車在實際路況行駛中

7、進行調頭時，道路中的障礙物通常是處于移動狀態，如對向來車等，針對圖3和圖5的兩種場景，假設圖中標識的障礙物位置為無人車處在起始時刻的初始位置，障礙物以一定的速度移動，假設只考慮與道路平行方向移動，請建立更一般的無人車調頭軌跡規劃模型并給出相應算法設計和無人車調頭策略，給出仿真結果。問題6:為保證無人駕駛的安全性，無人車的軌跡規劃算法必須擁有盡可能高的求解成功率（應傾向使用更收斂更穩定，失敗率更低的計算方法）同時為了能對路況進行快速反應，需要以盡可能高的頻率進行計算（計算復雜度盡量低）。你的算法如何在求解成功率和求解耗時這兩方面優化？2021年第十一屆MathorCup高校數學建模挑戰賽題目B題

8、三維團簇的能量預測團簇，也稱超細小簇，屬納米材料的尺度概念。團簇是由幾個乃至上千個原子、分子或離子通過物理或化學結合力組成的相對穩定的微觀或亞微觀聚集體，其物理和化學性質隨所含的原子數目而變化。團簇是材料尺度納米材料的一個概念。團簇的空間尺度是幾埃至幾百埃的范圍，用無機分子來描述顯得太小，用小塊固體描述又顯得太大，許多性質既不同于單個原子分子，又不同于固體和液體，也不能用兩者性質的簡單線性外延或內插得到。因此，人們把團簇看成是介于原子、分子與宏觀固體物質之間的物質結構的新層次。團簇科學是凝聚態物理領域中非常重要的研究方向。團簇可以分為金屬團簇和非金屬團簇，由于金屬團簇具有良好的催化性能，因此備

9、受關注。但由于團簇的勢能面過于復雜，同時有時候還需要考慮相對論效應等，所以搜索團簇的全局最優結構（即能量最低）顯得尤為困難。其中，傳統的理論計算方法需要數值迭代求解薛定銬方程，并且隨原子數增加，高精度的理論計算時間呈現指數増長，非常耗時。因此，目前需要對這種方法加以改進，例如：考慮全局優化算法，結合機器學習等方法，訓練團簇結構和能量的關系，從而預測新型團簇的全局最優結構，有利于發現新型團簇材料的結構和性能。請建立三維團簇能量預測的數學模型，并使用附件中的坐標和能量數據，解決下列問題。備注：附件中數據集格式為護，第一行是原子數，第二行是能量，后面是原子的三維坐標。可用文本閱讀器打開，并用VMD等

10、軟件進行可視化。問題1：針對金屬團簇，附件給岀了1000個金團簇Amo的結構，請你們建立金團簇能量預測的數學模型，并預測金團簇AU20的全局最優結構，描述形狀；問題2:在問題1的基礎上，請你們設計算法，產生金團簇不同結構的異構體，自動搜索和預測金團簇AU32的全局最優結構，并描述其幾何形狀，分析穩定性；問題3:針對非金屬團簇，附件給岀了3751個硼團簇氏5的結構，請你們建立硼團簇能量預測的數學模型，并預測硼團簇B打的全局最優結構，描述形狀；問題4：在問題3的基礎上，請你們設計算法，產生硼團簇不同結構的異構體，自動搜索和預測硼團簇創。的全局最優結構，并描述其幾何形狀，分析穩定性。C題海底數據中心

11、的散熱優化設計據統計，全球數據中心每年消耗的電量，占全球總電量的2%左右，而其中能源消耗的成本占整個IT行業的30%50%,特別是電子器件散熱所需消耗的能量占比極大。目前，國內大數據中心主要建設在內陸地區，預計2020年大數據中心年經濟體量超過3000億元。但大數據中心建設在陸地上需要占用大量土地，冷卻時需要消耗大量的電能和冷卻水資源，并花費大量建設成本。由于沿海發達省市數據中心増長迅猛，類似的資源矛盾尤為突出?！昂５讛祿行捻椖?ProjectUDC)”是將服務器等互聯網設施安裝在帶有先進冷卻功能的海底密閉的壓力容器中，用海底復合纜供電，并將數據回傳至互聯網；海底數據中心通過與海水進行熱交換

12、，利用巨量流動海水對互聯網設施進行散熱，有效節約了能源。海底數據中心對岸上土地占用極少，沒有冷卻塔，無需淡水消耗，既可以包容海洋牧場、漁業網箱等生態類活動，又可與海上風電、海上石油平臺等工業類活動互相服務。將數據中心部署在沿海城市的附近水域可以極大地縮短數據與用戶的距離，不僅無需占用陸上資源，還能節約能源消耗，是完全綠色可持續發展的大數據中心解決方案。據悉，2015年8月，微軟首次在美國西部加利福尼亞州一處海域對一個水下數據中心的原型機進行了測試。研究人員在位于美國西北部華盛頓州的微軟總部辦公室對其進行操控，為期3個月的測試取得了超出預期的 成功。該水下數據中心原型機裝配了傳感器，可以感知壓力

13、，濕度等狀況，幫助研究人員更好地了解其在水下環境的運行情況。2018年微軟ProjectNatick項目在蘇格蘭海岸線附近的水域中實驗性地部署了一個水下的數據中心。這是數據中心首次部署在海底，這個數據中心被設計成集裝箱樣式，然后被懸放在海平面7英尺處，之后海底數據中心通過鋪設的海底電纜與陸上操作中心相連。海底數據中心以城市工業用電為主，海上風能、太陽能、潮汐能等可再生能源為輔，具有低成本、低時延、高可靠性和高安全性的特點。據微軟團隊測算，海底數據中心的故障率是陸地的1/8o2021年1月100,由北京海蘭信數據科技股份有限公司聯合中國船舶集團廣船國際有限公司打造的全國首個海底數據艙在珠海高欄港

14、揭幕，標志著我國大數據中心走進了海洋時代。對于海底數據中心，如何在有限的體積內存放更多的服務器且保證服務器工作過程中向海水中正常快速的散熱是一項非常有挑戰性的問題?，F在各位參賽隊員將參與到海底數據中心的優化設計，解決如下問題，并給微軟，谷歌，華為等公司的海底數據中心的外売散熱提供設計方案。問題1:固體在液體中的冷卻的方式主要是對流傳熱，對流傳熱可分為自然對流和強制對流。假定數據中心集裝箱的尺寸為直徑lim長12m的圓柱形，懸空放置（圓柱形軸線與海平面平行）在中國南海溫度為20攝氏度的海域深度，其中單個1U服務器的產熱為500W（正常工作溫度不能超過80攝氏度），1U服務器機箱的高度為44.45

15、毫米，寬度為482.6毫米，長度為525毫米，請評估單個集裝箱外殼中最多可以放多少個服務器（僅考慮服務器的散熱需求）。問題2：假定集裝箱外殼最大尺寸不超過Imxlmxi2m,結合第一問的分析，如何設計集裝箱外殼的結構（如在圓柱體，長方體等上考慮翅片結構），可以實現最大化的散熱效果，即存放更多的服務器。問題3：較深的海水具有較低的溫度，能取得更好的散熱效果，同時増大的壓力會對集裝箱外殼的耐壓能力提岀更高的要求；值得注意的是海水本身是一種強的腐蝕介質，直接與海水接觸的各種金屬結構物都不可避免地受到海水的腐蝕。請在問題2的基礎上進一步選擇合適的材料和海底深度進行優化設計，進一步提高散熱效果，并盡可能

16、降低成本，提高使用年限。問題4：潮汐和季節會改變局部水位和溫度，并帶來暫時性的海水流動，可能對數據中心的散熱帶來一定影響。請考慮潮汐和季節變化等因素對海底數據中心集裝箱散熱效果的影響。問題5：競賽組委會希望大家可以根據自己的分析結果寫一封建議信給相關公司的誨底數據中心散熱設計部門。數據中心：數據中心是全球協作的特定設備網絡，用來在讓基礎設施上傳遞、加速、展示、計算、存儲數據信息。簡單來彳中心大概就是一個有龐大數量的服務器（計算機）放在一起，扌用來處理商業和運作的組織的數據。附件：SomeConmionlvUsedMarineMaterials.pdf2021年第十一屆MathorCup高校數學

17、建模挑戰賽題目D題鋼材制造業中的鋼材切割下料問題某鋼材生產制造商的鋼材切割流程如圖1所示。其中開卷上料環節將原材料鋼卷放在開卷機上，展開放平送至右側操作區域（見圖2）。剪切過程在剪切臺上完成，剪切臺上依次有切頭剪和圓盤剪。開卷上料配刀準備剪切卷取下料圖1:錢材切割流程開額卷取機切頭剪圖2：銀材操作區域示意圖圓盤剪（見圖3）用旋轉的圓盤刀片連續對縱向運動著的原材料進行切割。在圓盤剪剪切前，需根據訂單切割方案進行排刀。假設排刀架上可以以任意間距排刀，但刀具數量是有限制的，一次排刀上限不能超過5刀。用同一排刀方案切割得到的訂單稱為一組訂單，切割不同組時需要工人重新排刀，稱為一次換刀。切割每卷原材料之

18、間均需要換刀。切頭剪為“一刀切”，即將整個鋼板橫向完全切斷。圖41中的橫向切割（紅色虛線所示）不滿足一刀切要求，無法用切頭剪實現，圖42的橫向切割（紅色虛線所示）則符合要求。 圓盤剪排刀架/7切頭剪CCXC/橫向圖3:風盤剪示意圖圖41:橫向切割1經過橫向切割后，當且僅當某些訂單還需要額外橫向一刀將其與廢料分開，則將這些訂單移至小機器再次切割（見圖42藍色虛線）。同-組內相同訂單可以通過-刀圖也橫向切割2同時變成成品。鋼材切割訂單有兩種，分別是板料訂單和卷斜訂單。切完的板料訂單直接通過下料小車包裝入庫，卷料則需要先通過卷取機壓臂成卷再入庫。原料在切割成品的同時若有剩余，且符合余料標準（見附件2

19、），則可將這部分按照余料標準回收入庫，供下次切割使用。不符合余料標準的稱為廢料，必須丟棄。成材率定義為，被切割成成品的面積加上可回庫的余料面積與使用原料總面積之比。更詳細的切割說明可參考附件1某原材料切割方案說明.X1SXo工廠未來一批訂單需求已給岀，訂單需求數量必須恰好滿足（不允許超額供應）。根據工廠現有原料切割訂單，每種原料的使用數目不能超過其庫存。請建立數學模型解決F面的問題。問題仁針對給出的所有原料，請使用最少張數的原材料，滿足對5種卷料的要求（不考慮浮動比例），同時盡量提高總的成材率，給岀切割方案。問題2:針對給出的所有原料，請使用最少張數的原材料，滿足對所有訂單的要求（不考慮浮動比

20、例），同時盡量提高總的成材率，給岀切割方案。問題3：圓盤剪每次排刀需要人工更換刀在排刀架上的位置，同時若有材料需要被移到小機器上再次切割也需要人為操作。為減少人力成本，希望盡量減少換刀數和在小機器上切割數。針對給岀的所有原料，請使用最少張數的原材料，滿足對所有訂單的要求（不考慮浮動比例）。同時盡量減少換刀數和在小機器上切割數，并盡量提高總的成材率。給出切割方案。問題4：若訂單額外指定了浮動比例，則交付的訂單長度可在需求長度的基礎上上下浮動。例如，規定浮動比例為5%,則切割出的長度在原有長度的95%到105%之間均滿足要求。請重新按照第2問的要求，給岀切割方案。另外，請在完成論文基礎上，將每問切

21、割方式信息填入“提交結果.xlsx”文件對應表單中。填入數據要求如下：問題1結果輸出數據包括：材料編號，張數，訂單1,訂單2,訂單3,訂單4,訂單5,成材率，可回庫余料1長，可回庫余料I寬。說明：這里訂單i指切割得到的訂單i數量，沒有則填0。無可回庫余料則填0,不滿足條件的廢料不用填入；有更多可回庫余料可繼續往后填。后面問題同。問題2結果輸出數據包括：材料編號，張數，訂單1,訂單2,訂單15,成材率，可回庫余料1長，可回庫余料1寬。問題3結果輸出數據包括：材料編號，張數，訂單1,訂單2,訂單15,換刀次數，小機器切割次數，成材率，可回庫余料1長，可回庫余料1寬。問題4結果輸出數據包括：材料編號，張數，訂單I,訂單2,訂單15,成材率，訂單1浮比，訂單4浮比，訂單5浮比，訂單7浮