1、第2章 平面問題的有限元法有限元分析的3個步驟： 離散化單元分析整體分析2.1 結構的離散化 實例：將一個受力的連續體離散化 離散化:把連續的結構看成由有限個單元組成的集合體。 目的：建立有限元計算模型以三角形單元為例注意事項對稱性的利用 如果結構與載荷都有對稱性可資利用，可取其中的一半或1/4等作為分析對象，能減少很多工作量。 圖為平面薄板的離散化模型2）節點的布置：集中載荷的作用點， 分布載荷強度的突變點， 分布載荷與自由邊界的分界點， 支承點，厚度不同或材料不同的區域等都應取為節點。3）對于重要的或應力變化急劇的部位，單元應劃得小些，對于次要的和應力變化緩慢的部位，單元可劃得大些，“中間

2、地帶”以大小逐漸變化的單元來過渡。 2. 節點的選擇和單元的劃分1）單元形狀和尺寸可自由調整。 3. 節點的編號 在節點編號時，應注意盡量使同一單元的相鄰節點的號碼差值盡可能地小些，以便縮小剛度矩陣的帶寬，節約計算機存儲。 （a） （b）如圖，（a）與（b）單元劃分相同，（b）的編號要比（a）的編號為好，即節點應順短邊編號為好。2.2 單元分析 單元分析的主要任務是推導單元節點位移與單元節點力之間的轉換關系，實質上就是求出單元剛度矩陣。 單元分析的步驟 （實施過程）：三角形單元節點位移向量： 三角形單元節點力向量： 從離散化的結構中任取一個三角形單元e單元首先對節點編碼： 稱為局部碼1.位移函

3、數的概念廣泛使用多項式來構造位移函數。 將單元中的位移分布假定是坐標的簡單函數，稱為位移函數。設單元內任意一點的位移含有6個待定參數 ，稱為廣義坐標。 （2-6）求形函數三角形單元的面積： 令式中順序輪換簡寫為： 矩陣形式 ：Ni，Nj，Nm為形函數，是關于坐標x、y的線性函數N為形函數矩陣 常數2.位移函數收斂準則 在有限元法中，把能夠滿足條件（1）、（2）的單元，稱為完備單元；滿足條件（3）的單元，稱為協調單元。 （3）位移函數應盡可能反映位移的連續性。要求所選擇的位移函數既能使單元內部的位移保持連續，又能使相鄰單元之間的位移保持連續，后者是指單元之間不出現互相脫離和互相嵌入的現象。 （2

4、）位移函數必須能反映單元的常量應變。在位移函數中的一次項就是提供單元中的常量應變的。（1）位移函數必須能反映單元的剛體位移。常數項就是用于提供剛體位移的。圖2-4 相鄰三角形單元的位移協調性分析1）要考慮到解的收斂性，即要考慮到完備性和協調性的要求。巴斯卡三角形 3. 選擇單元位移函數的一般原則3）多項式中的項數必須等于或稍大于單元邊界上的外節點的自由度數。通常是取項數與單元的外節點的自由度數相等。 2）模式應該與局部坐標系的方位無關，這一性質稱為幾何各向同性。2.2.2 單元應變 （2-10）（2-11）幾何方程： B稱作幾何矩陣，是常數矩陣。因此，三角形單元是常應變單元 。2.2.3 單元

5、應力 物理方程 ：單元應力 ：令：S稱為單元應力矩陣 由于三角形單元中的D，B矩陣都是常數矩陣，所以S矩陣也是常數矩陣。也就是說，三角形單元內的應力分量也是常量。 2.2.4 單元剛度矩陣 虛功方程：三角形單元：令：單元平衡方程（剛度方程）單元剛度矩陣每個分塊矩陣均為22階方陣。三角形單元的剛度矩陣為66階方陣。單元剛度矩陣 有如下性質： 每一個元素物理意義：是單位節點位移分量所引起的 節點力分量。 是對稱矩陣。 每一行（或列）元素之和為零。是奇異矩陣， 的元素決定于單元的形狀、大小、方位和彈性 常數，而與單元的位置無關，即不隨單元（或坐標軸） 的平行移動或作 （n為整數）角度的轉動而改變。

6、單元剛度矩陣按節點寫成分塊形式： 例2-1 如圖2-6所示平面應力情形的直角三角形單元 ，直角邊長均為 ，厚度為t，彈性模量為E，泊松比為 ，求單元剛度矩陣。圖2-6 直角三角形單元解：（1）求（2）求（3）求（4）求2.3 整體分析 結構的整體分析就是將離散后的所有單元通過節點連接成原結構物進行分析。總體剛度矩陣。整個結構上節點位移列陣整個結構上節點力列陣整體平衡方程（整體剛度方程）分析過程：是將所有單元平衡方程組集在一起，形成總體平衡方程，引進邊界條件后，求解整體節點位移向量。 平面問題的整體剛度矩陣是由相關單元的單元剛度矩陣中的分塊矩陣集合而成，按節點編號對號入座，即剛度集成法。它的集成

7、規律有下列幾點：1）先對每個單元求出其單元剛度矩陣 ，以分塊形式按節點編號順序排列。2）將單元剛度矩陣擴大階數為2n2n，并將單元剛度矩陣中的分塊矩陣按局部碼與總碼的對應關系，搬到擴大后的矩陣中，形成單元貢獻矩陣 。3）將所有單元貢獻矩陣同一位置上的分塊矩陣簡單疊加成總體剛度矩陣中的一個子矩陣，各行各列都按以上步驟即形成總體剛度矩陣 。總體剛度矩陣 為2n2n階，亦即nn階分塊矩陣，n為節點總數。例2-2 用剛度集成法求圖2-7所示結構的整體剛度矩陣1）找出各單元局部碼與總碼的對應關系解：2）分別寫出各個單元的分塊矩陣3）形成各單元貢獻陣 4）將擴大后的4個單元貢獻陣相疊加，就得到總體剛度矩陣

8、 整體剛度矩陣有以下一些性質： 1）整體剛度矩陣是對稱矩陣。 2）整體剛度矩陣的主對角線上的元素總是正的。 3）整體剛度矩陣是一個稀疏陣。 4）整體剛度矩陣是一個奇異陣。 例2-3 已知如圖a）所示的懸臂深梁，在右端面作用著均布拉力，其合力為P。采用如圖 b）所示簡單網格，設 ，厚度為t。試求節點位移。a） b）解：）求出各單元剛度矩陣）形成各單元貢獻矩陣 ）形成總體剛度矩陣 ）形成整體載荷列陣 ）形成整體節點位移列陣 ）形成整體平衡方程 ）引入邊界條件，求節點位移“化1置0法”處理 ：若已知節點 在 方向位移 為零，則令 中的元素 為1，而第 行和 列的其余元素都為零， 中的第 個元素變為零

9、。若已知節點 在 方向位移 為零，則令 中的元素 為1，而第 行和 列的其余元素都為零， 中的第 個元素變為零。 2.4 有限元法解題過程與算例 有限元法的具體解題過程為： 1）將結構進行離散化，包括單元劃分、節點編號、單元編號、節點坐標計算、位移約束條件的確定。 2）等效節點力的計算。 3）剛度矩陣的計算。 4）建立整體平衡方程，引入約束條件，求解節點位移。 5）應力計算。 例2-4 如圖2-20a所示兩端固支的矩形深梁，跨度為2a ，梁高為a，厚度為 t，已知E， ，承受均布壓力q ，試用有限元法求解此平面應力問題。 a） b） 圖2-20 矩形深梁解：利用對稱性，可取梁的一半分析，例如右

10、半。1. 劃分單元并準備原始數據2. 計算單元剛度矩陣2 3 13 2 43. 集成整體剛度矩陣 依照各單元局部編號與整體編號的對應關系，兩個單元的貢獻矩陣分別為再集成整體剛度矩陣4. 處理載荷，形成整體平衡方程整體節點載荷列陣為 組成結構整體平衡方程 5. 引入位移邊界條件，求解節點位移由于6. 應力計算在整體分析中求得節點位移之后，為了計算結構上任意一點的應變或應力，應該又返回到單元分析中去。計算單元的應力矩陣由整體節點位移向量獲取單元節點位移向量計算應力 2.5 單元等效節點力一、單元自重 三角形單元 的厚度為t，重度為 ，面積為 ，自重沿y軸負方向。 受自重載荷情形的等效節點力為單元重

11、量的1/3。 圖2-14 三角形單元 介紹幾種常用載荷作用下的等效節點力二、均布面力 三角形單元 的厚度為t，ij邊的長度為 ，集度為圖2-15 受均布面力三角形單元 相當于把作用于ij邊上的表面力按靜力等效平均分配到該邊兩端的節點上。 三、線性分布面力 三角形單元 的厚度為t，ij邊的長度為 ，表面力在 點集度為圖2-16 受線性分布面力三角形單元 相當于將總載荷的2/3分配給點，1/3分配給 點。 2.6 邊界條件的處理 常用的且比較方便的做法是以某種方法引入已知的節點位移（包括零位移約束），而保持方程原有的數目不變，只是修 和 中某些元素，以避免計算機存儲作大的變動。 1、“化1置0法”

12、-為節點總碼編號設已知節點位移為 ，當引進上述已知節點位移后，方程變成 例如：為說明這一過程，現考察一個只有四個方程的簡單例子2、“乘大數法”設已知節點位移為 ，當引進上述已知節點位移后，方程變成 2.7 計算結果的整理繞節點平均法： ABCDEF把環繞該節點的各單元應力加以平均，視為該節點的應力。兩單元平均法：把相鄰兩單元應力的平均值作為公共邊中點的應力。 ABCDEFGHI78910采用上述兩種應力平均法時應注意幾點：（1）只有當相連單元具有相同厚度和材料時平均法才有意義。（3）位于結構邊界點的應力不應該用平均法求得，若用繞節點平均法則因其相連單元太少而不能得到較佳的近似值。這種情況往往改

13、用內部應力點外推的辦法，去求它的近似值。（2）為了使繞節點平均法得來的應力能夠較好地表示節點處的實際應力，環繞該節點的各個單元的面積不應相差太大。 2.8 矩形單元 設有矩形單元 ，其邊長分別為 和 ，矩形的兩邊分別與 軸平行。取矩形的四個角點作為節點。 單元節點位移向量為： 在單元分析中為了計算上的方便和簡化，我們引用一個無量綱的局部坐標系 ，局部坐標系的原點取在矩形的形心上， 軸分別與整體坐標軸平行，它們之間的坐標變換為在局部坐標系中，四個節點坐標分別是即為（-1，-1），（1，-1），（1，1），（-1，1）。 1、位移模式 形函數 雙線性模式從中求出合并寫成:（2-74）形函數 寫成矩陣形式形函數矩陣 （2-74）合并寫成:2、單元應變寫成矩陣形式四節點矩形單元不再是常應變單元。幾何方程將位移函數帶入上式復合函數求導法則3、單元應力 四節點矩形單元不再是常應力單元。根據物理方程：4、單元剛度矩陣寫成分塊形式： 5、單元等效節點力 （1）對于單元的自重W，載荷列陣為 即移置于每一節點的載荷都是四分之一的自重。（2）如果單元在一個邊界上受有三角形分布的表面力，在該邊界上一個節點處為零，而在另一個節點處為最大，則將總表面力的三分之一移置到前一個節點，三分之二移置到后一個節點。6、整體平衡方程 將各單元的 、 和 都擴大到整個彈性體自