1、工程流體力學流體動力學的理論基礎和方法講解 3-2 流體運動中的幾個基本概念 3-3 流體運動的連續方程式 3-4 伯努利方程及其應用 3-5 動量方程及其應用 3-1 描述流體運動的兩種方法 第三章 流體動力學的理論基礎一、教學目標 1）了解流體動力學的兩種描述方法 2）掌握流體動力學的幾個基本概念 3）理解流體場中的空間運動規律及平衡方程的建立。 4）能夠靈活運用破努力方程與動量方程二、教學重、難點 重點：伯努利方程及其能量守恒定律的應用難點：動量方程及其動量守恒定律的應用3-1 描述流體運動的兩種方法 流體運動實際上就是大量流體質點運動的總和，它比靜力學多了兩個參數：粘度和速度。 描述流

2、體的運動參數在流場中各個不同空間位置上隨時間 連續變化的規律。研究方法歐拉法：拉格朗日法：著眼于整個流場的狀態，即研究表征流場內流體流動特性的各種物理量的矢量場與標量場著眼于個別流體質點的運動，綜合所有流體質點的運動后便可得到整個流體的運動規律一、拉格朗日法與質點系 用初始時刻 t0 某流體質點具有的空間坐標(a,b,c)來標識不同的流體質點，其3-1 描述流體運動的兩種方法 定義：是以流場中每一流體質點作為描述流體運動的方法，它以流體個別質點隨時間的運動為基礎，通過綜合足夠多的質點（即質點系）運動求得整個流動，其研究對象是流體質點。運動質點的位置坐標不是獨立變量，而是起始坐標 a、b、c 和

3、時間變量t的函數，即 但由于流體質點的運動情況非常復雜，應用這種方法分析流體運動，在數學上將會遇到困難，況且在實用上一般也不需要知道給定流體質點運動的全過程。所以，除少數情況（如研究振動和波浪運動）外，在流體力學中通常不采用這種方法，而用較為簡便的歐拉法。3-1 描述流體運動的兩種方法 用空間坐標和時間變量t共同表達質點的運動規律，則陳（a,b,c，t）為拉格朗日數。 所以，任何質點在空間的位置（x,y,z）都可看作是（a,b,c）和時間t 的函數。二、歐拉法與控制體 它不直接追究質點的運動過程，而是以充滿運動流體質點的空間流場為研究對象。研究各時刻質點在流場中的變化規律。將個別流體質點運動過

4、程置之不理，而固守于流場各空間點。通過觀察在流動空間中的每一個空間點上運動要素隨時間的變化，把足夠多的空間點綜合起來而得出的整個流體的運動情況。這種借以觀察流體運動的空間區域又稱為控制體。3-1 描述流體運動的兩種方法 定義：著眼于整個流場的狀態，即研究表征流場內流體流動特性的各種物理量的矢量場與標量場。 用歐拉法研究流體運動時，運動要素是空間坐標x、y、z和時間變量 t 的連續可微函數，這里x、y、z、t 統稱為歐拉變量。因此，流場中各空間點的流速所組成的流速場可表示為：如用分量形式表示，則3-1 描述流體運動的兩種方法3-1 描述流體運動的兩種方法 流體質點某一時刻處于流場不同位置，速度是

5、坐標及時間的函數，所以流速是t 的復合函數，對流速求導可得加速度場:如用分量形式表示，則若上式寫成矢量形式，則3-1 描述流體運動的兩種方法 上式等號右邊第一項是時變加速度（流動過程中流體由于速度隨時間變化而引起的加速度）；后三項是位變加速度（流動過程中流體由于速度隨位置變化而引起的加速度）； 其中 ux = dx/dt、uy = dy/dt、uz = dz/dt；即全加速度 = 時變加速度（當地加速度） + 位變加速度（遷移加速度）。式中稱為哈密頓算子一、恒定（定常）流與非恒定流 3-2 流體運動中的幾個基本概念非定常流動：定常流動：流動是否定常與所選取的參考坐標系有關。二、一元流、二元流與

6、三元流 一元流動： 流動參數是一個坐標的函數；二元流動： 流動參數是兩個坐標的函數；三元流動： 流動參數是三個坐標的函數。3-2 流體運動中的幾個基本概念1、流線 對于工程實際問題，在滿足精度要求的情況下，將三維流動簡化為二維、甚至一維流動，可以使得求解過程盡可能簡化。 三、流線與跡線 （1）定義：表示某一瞬時流體各點流動趨勢的曲線（曲線上每一點的速度矢量總在該點與曲線相切），右圖為流線譜中顯示的流線形狀 這是歐拉方法中，用幾何曲線形象描述流動的手段。3-2 流體運動中的幾個基本概念（2）流線的性質 b.）流線不能是折線，而是一條光滑的曲線。a.）同一時刻的不同流線,不能相交.c.）流線簇的疏

7、密反映了速度的大小（流線密集的地 方流速大，稀疏的地方流速小）。 d.）流線的形狀和位置，在定常流動時不隨時間變化；而在不定常流動時，隨時間變化。 3-2 流體運動中的幾個基本概念（3）流線的方程 根據流線的定義，可以求得流線的微分方程： 設ds為流線上A處一微元弧長: u 為流體質點在A點的流速，則3-2 流體運動中的幾個基本概念即 因為流速向量與流線相切，即沒有垂直于流線的流速分量，u 和ds重合。所以整理得流線方程2、跡線 3-2 流體運動中的幾個基本概念 （1）定義：某一質點在某一時段內的運動軌跡線，右圖為煙火的軌跡為跡線。（2）跡線的微分方程式中，ux,uy,uz均為時空t,x,y,

8、z的函數，且t 是自變量。 3-2 流體運動中的幾個基本概念注意： 1）流線和跡線是兩個完全不同的概念，流線是同一時刻與許多質點的流速矢量相切的空間曲線，而跡線則是同一質點在一個時段的運動跡線。 2）流線是歐拉法分析流體運動的概念，時間是參變量；而跡線是拉格朗日法分析流體運動的概念，時間是自變量。 【例1】已知流速場 ux= kx，uy= -ky，uz= 0，其中y0，k 為常數，試求：（1）流線方程；（2）流線方程。解：1）據 uz= 0，y0 可知，流體運動僅限于Oxy的上半平面內，則流線微分方程： 3-2 流體運動中的幾個基本概念積分得：xy = C 即該流線為一族等角雙曲線，如右圖所示

9、。2）由跡線方程得3-2 流體運動中的幾個基本概念 上述兩方程表明恒定流動時流線和跡線在幾何上完全重合。積分得：3-2 流體運動中的幾個基本概念四、流管、流束、元流、總流、過流斷面 1、流管：在流場中取任一封閉曲線（不是流線），通過該封閉曲線的每一點作流線，這些流線所組成的管狀空間稱為流管。 因為流管是由流線構成的，所以它具有流線的一切特性，流體質點不能穿過流管流入或流出(由于流線不能相交)。流管就像固體管子一樣，將流體限制在管內流動。 2、流束：過流管橫截面上各點作流線，則得到充滿流管的一束流線簇，稱為流束。3-2 流體運動中的幾個基本概念 3、元流 （微元流束）：流管中的液流稱為元流或微小

10、流束元流的極限是一條流線。 4、過流斷面：與流束中所有流線正交的橫斷面稱為過流斷面；如水道（管道、明渠等）中垂直于水流流動方向的橫斷面, 如圖中的 1-1，2-2 斷面。又稱為有效截面，在流束中與各流線相垂直，在每一個微元流束的過水斷面上，各點的速度可認為是相同的。 5、總流：如果封閉曲線取在流場周界上，所得流束稱為總流。3-2 流體運動中的幾個基本概念 質量流量（kg/s）五、流量與斷面平均流速體積流量（ ）：五、流量與斷面平均流速流量在單位時間內流過過流斷面（有效截面積）的流體的量。單寬流量單位寬度上河流或輸水管的流量。3-2 流體運動中的幾個基本概念 上式引入斷面平均流速后，可將實際的三

11、元或二院問題簡化為一元問題，這就是所謂的一元分析法（或總流分析法）。斷面平均流速體積流量與有效截面積之比值,用 v 表示。3-2 流體運動中的幾個基本概念 根據位于同一流線上各質點的流速矢量是否沿流程變化，可將流體流動分為均勻流，否則稱為非均勻流。六、均勻流與非均勻流、漸變流 若流場中同一流線上各質點的流速矢量沿程不變，這種流動稱為均勻流，否則稱為非均勻流。 為了便于研究，常常按流線沿程變化的緩急程度，又將非均勻流分為漸變流和急變流。 漸變流：流束內流線的夾角很小、流線的曲率半徑很大，近乎平行直線的流動。否則即為急變流。 急變流：在管道截面積變化劇烈流動方向發生改變的地方，如突擴管、突縮管、彎

12、管、閥門等處的流動為急變流。 一、直角坐標系中歐拉變數的連續性微分方程 3-3 連續性方程 微元六面體，邊長分別為dx 、dy 、dz ；中心流速為 ux、uy、 uz， 密度為，則單位時間內在x向流進、流出控制體的流體質量差為： 定義：它是質量守恒定律在工程流體力學中的的數學表達式。 質量守恒定律：對于空間固定的封閉曲面，dt 時間內流出的流體質量與流入的流體質量之差應等于封閉曲面內的流體質量的減少量。同理得3-3 連續性方程1、可壓縮流體三維流動連續性方程 將mx 、my 、mz 、代入上式得3-3 連續性方程 因為流體是連續介質，根據質量守恒定律，單位時間內流進、流出控制體的流體質量差應

13、等于控制體內流體因密度變化所引起的質量增量，即 上式是可壓縮流體三維流動連續方程式 ，也叫流體運動的連續性微分方程的一般形式。它表達了任何可能存在的流體運動所必須滿足的條件是連續性條件 ，即質量守恒條件。 3-3 連續性方程 適用范圍： 定常流動或非定常流動 ；可壓縮流體或不可壓縮體。 物理意義： 單位時間內通過單位體積表面流入的流體 質量等于單位時內內部質量的增量。 3-3 連續性方程2、可壓縮定常流動的連續性方程當為恒定流時，有/t0，則3、不可壓縮定常流或非定常流的連續性方程 對于不可壓縮定常流體，為常數是，則 不可壓縮流體流動時，流速在 x 、y 、 z 軸方向的分量沿其軸向的變化率，

14、互相約束 。 物理意義：不可壓縮流體單位時間內流入單位空間 的流體質量（體 積）， 與流出的流體質量（體積）之差等于零。 例題1：已知不可壓縮流體的兩個分速度為ux = ax2+by2+cz2，uy = -(dxy+eyz+fzy)，其中 a、b、c、d、e、f 皆為常數。若當 z = 0 時，uz = 0，試求坐標z方向的分速度uz3-3 連續性方程解： 將上式代入不可壓縮定常流流體的連續方程式得3-3 連續性方程將上式積分得因為當 z = 0 時，uz = 0，代入上式得C = 0 即3-3 連續性方程二、微元流束和總流的連續性微分方程 1 、微元流束的連續性方程 微元流束上兩個過水斷面d

15、A1、dA2， 相應的速度分別為 u1、 u2， 密度分別為1、2；dt時間內，經dA1流 入的質量為dM11u1dA1d t，經dA2流出的質量 為dM22u2dA2dt， 對定常流動 ，根據質量守恒定律：1u1d A1dt 2u2dA2dt 1u1dA12u2dA2（流入質量=流出質量） 對不可壓縮流體12， u1dA1 u2dA2得 ： dqv1= dqv2，其物理意義： 在同一時間內通過微元流束上任一過流斷面的流量相等（流束段內的流體體積（質 量）保持不變 。 2、總流的連續方程3-3 連續性方程對定常流動 ： 物理意義：對于保證連續流 動（定常流）的不可壓縮流體，過流斷面面積與斷面平

16、均流速成反比，即流線密集 的地方流速大， 而流線疏展的地方流速小。 即在流量沿程不變的條件下 ： 例題1：下圖為一輸水三通管道，已知輸入流量qv = 140L/s，兩輸出支管管道直徑分別為d2 = 150 mm，d3 = 200 mm，且兩支管的斷面平均流速相等。試求兩支管流量qv2和qv33-3 連續性方程解： 3-3 連續性方程3、變直徑管的直徑d1=320 mm，d2= 160mm ， 流速1= 1.5 m / s ， 2為 （ ）3-3 連續性方程C問題1：歐拉法研究的變化情況（ ）A）每個質點的流速 B）每個質點的軌跡 C）每個空間流場的流速 D ) 以上都是2：非定常流動是（ ）A

17、）u/t0 B）u/t0 C）u/s0 D ) u/s0AA）3 m/s B）4 m/s C）6 m/s D) 9 m/sC3-6 伯努利方程及其應用一、歐拉運動微分方程的積分將上式分別乘以dx、dy、dz，然后相加得 由于歐拉微分方程和連續方程是求解理想流體運動問題的基本方程，其一階非線性偏微分方程組（遷移加速度中包含了未知量與其偏導數的乘積）至今未找到它的通解，而只是在幾種特殊情況下的特解。 下面我們介紹在工程流體力學中常見的伯努利積分，它是在以下四個限定條件下的積分：3-6 伯努利方程及其應用1、恒定流，即/t0，則3、質量力有勢，設W為質量力的勢函數，則3-6 伯努利方程及其應用2、流

18、體為不可壓縮的，即為常數4、沿流線積分（在恒定流調條件下也是跡線積分），則利用上述四個條件，得3-6 伯努利方程及其應用因為為常數，故上式可寫成將上式積分得 上式即為伯努利積分式，它表明對于不可壓縮的理想流體，在有勢的質量力作用下恒定流動時，在同一流線上W-p/-u2/2 保持不變。但是對于不同的流線，伯努利積分常數一般不同。 上式就是理想流體恒定元流的伯努利方程，其物理意義：z 是單位重量流體相對于基準面所具有的位能（位置勢能）；p/g是單位重量流體所具有的壓能（壓強勢能）；u2/2g是單位重量流體所具有的動能；勢能（位能與壓能之和）與動能之和稱為機械能。故對于重力作用下的3-6 伯努利方程

19、及其應用二、理想流體恒定流的伯努利方程 對于質量力僅有重力的恒定不可壓縮流體，其質量勢函數 W=- gz ，將其代入沿流線（元流）的伯努利積分式得： 恒定不可壓縮理想流體，單位重量流體所具有的機械能沿流線方向不變，即機械能守恒。 幾何意義：z 表示元流過斷面上某點相對于基準面的位置高度，稱為位置水頭；p/g稱為壓能水頭，當p為相對壓強時，p/g也叫做測壓管的高度；u2/2g稱為速度水頭，即流體以速度u 垂直向上噴射到空氣中所達到的高度；z+p/g+u2/2g稱為總水頭，故其幾何意義是在重力作用下的恒定不可壓縮理想流體，總水頭沿流線為一常數。 適用條件：理想流體； 穩定流動 ；質量力只受重力 ；

20、不可壓流體；沿流線或微小流束。 3-6 伯努利方程及其應用 例題1： 如圖（a）所示，皮托（H.Pitot）管是將流體動能轉化為勢能，從而通過測定流體點流速的儀器。它是由測壓管和測速管（兩端開口的直角彎管）組成，其測速原理如圖（b）。測速時，將彎端管口正對來流方向置于A點下游同一流線上相距很近的B點，來流在B點受測速管的阻滯速度為零（B點成為駐點或滯止點），動能全部轉化為勢能，測速管內液柱保持一定高度。試根據B、A兩點的測壓管水頭差ha = (zB+ pB/g)-(zA+ pA/g)計算A點的流速u。3-6 伯努利方程及其應用解： 由理想流體恒定流的伯努利方程得 即，A點速度3-6 伯努利方程

21、及其應用 考到實際流體粘性作用引起的水頭損失和測速管對流動的影響，用上式計算A點流速時尚需進行修正，即 式中稱為皮托管因數，其值與皮托管的構造有關，由實驗確定，數值接近1.0。3-6 伯努利方程及其應用三、實際流體恒定總流的伯努利方程 由于實際流體具有粘性，在流動過程中流層間內摩擦阻力做功，將使一部分機械能不可逆地轉化為熱能而消耗，因此實際流體流動的機械能將沿程減少。設hw 為實際流體中單位重量流體從過流斷面1-1到過流斷面2-2 的機械能損失（亦稱為元流的水頭損失），則根據能量守恒原理，可得實際流體恒定元流的伯努利方程： 但是，在工程實際中要求解決的往往是總流問題，如流體在管道、渠道中的流動

22、問題。因此實際流體恒定總流的伯努利方程為：3-6 伯努利方程及其應用對上式三種類型積分分析得3-6 伯努利方程及其應用 將上式在過流斷面上積分，得單位時間內通過總流兩過流斷面的能量關系式1）勢能積分 漸變流過流斷面服從液體靜壓強分布規律，z+p/g = C，則2）動能積分 由于過流斷面上的流速分布與流動內部結構和邊界條件有關，一般難以確定，工程實際中為了計算方便，常用斷面平均流速 v 來表示實際的動能，即3-6 伯努利方程及其應用 式中 v 是過流斷面的平均流速； 是動能修正系數（實際動能與按斷面平均流速計算的動能之比），工程計算中常見流動通常取 = 1.3）水頭損失積分 式中hw為單位重量流

23、體在兩過流斷面間的平均機械能損失，通常稱為總流的水頭損失。 將（1）、（2）、（3）式代入恒定流的能量關系式得3-6 伯努利方程及其應用 水頭損失積分是單位時間內總流由過流斷面1-1至2-2之間的機械能損失。根據積分中值定律，得應用條件：1）流體是不可壓縮的且恒定的；2）質量力只有重力；3）過流斷面取在漸變流上，但兩過流斷面之間可以是急變流。4）兩過流斷面之間除水頭損失以外，總流沒有能量的輸入或輸出。當總流在兩過流斷面之間通過水泵、風機或水輪機等流體機械時，流體額外獲得或失去能量，則總流的伯努利方程為：3-6 伯努利方程及其應用3-6 伯努利方程及其應用應用伯努利方程解決工程實際應用問題時應注意以下幾點：1）適用條件：不可壓縮流體、定常流動、質量力只有重力作用。2）往往與連續方程聯合使用。3）在選取適當的位置勢能為零的水平基準面后，可選擇過流斷面上任意高度為已知點 z1 和 z2 列出伯努利方程。（三選一列）4）所選用的過流斷面必須是漸變過流斷面。且其中一個斷面應選在待求未知量所在處，另一個斷面應選在各參數已知處。3-6 伯努利方程及其應用 例題2：文丘里流量計是一種測量有壓管道流量的儀器。如圖所示，它是由光滑的收縮段、喉道和擴散段三部分組成。管道過流時，因喉道斷面縮小，流速增大，動能增加，勢