1、中考數學壓軸題-二次函數-存在性問題第12節 相似三角形的存在性 方法點撥三角形相似的判定方法、定義法：對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形相似、平行法：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構成的三角形與原三角形相似、判定定理1：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似，可簡述為兩角對應相等，兩三角形相似。、判定定理2：如果一個三角形的兩條邊和另一個三角形的兩條邊對應相等，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似，可簡述為兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似。、判定定理3：如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應成比例，那么這兩個三角

2、形相似，可簡述為三邊對應成比例，兩三角形相似 例題演練1如圖已知拋物線yax2+bx+3與x軸交于A（1，0）、B兩點，與y軸交于點C對稱軸為直線x1，P為頂點（1）求出點B的坐標及拋物線的表達式；（2）在x軸上是否存在點M，使得MOC與BCP相似？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由【解答】解：（1）由題意，解得，拋物線的解析式yx22x+3，令y0，則x22x30，解得x1或3，B（3，0） （2）存在如圖，連接PB，PCB（3，0），P（1，4），C（0，3），BC3，PC，PB2，PB2PC2+CB2，PCB90，PC：BC：31：3，當MO：OC1：3或OC：MO1：3時，C

3、OM與BCP相似，OM1或9，滿足條件的點M的坐標為（1，0）或（1，0）或（9，0）或（9，0）2如圖所示，拋物線yx2+bx+c與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C（0，3），其對稱軸x1與x軸相交于點D，點M為拋物線的頂點（1）求拋物線的表達式（2）若直線CM交x軸于點E，求證：BCEC（3）若點P是線段EM上的一個動點，是否存在以點P、E、O為頂點的三角形與ABC相似若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由【解答】解：（1）yx2+bx+c與y軸相交于點C（0，3），將點C（0，3）代入可得：c3，又對稱軸，b2，即拋物線的表達式為yx22x3；（2）對稱軸為x1，代入拋物線表

4、達式得y1234，即點M（1，4），設直線CM的表達式為ykx+n，把點C（0，3），M（1，4）代入解得k1，n3，CM的表達式為yx3，點E在x軸上，即縱坐標y0，此時x3，E（3，0），由平面直角坐標系的可知：OEOCOB3，EOCBOC90，EOCBOC（SAS），ECBC；（3）存在，點P在線段EM上，可設P（t，t3），如圖1所示，作PNx軸于N，PNt+3，MNOEON3+t，由勾股定理可知PE（t+3），BC，又ABOA+OB4，由（2）可知EOCBOC，OECOBC，當PEOABC時，即，解得t1，即點P的坐標為（1，2），當PEOCBA時，解得t，即點P的坐標為（，），綜上

5、P的坐標為（1，2）或（，）3如圖，已知二次函數yx2+bx+c的圖象經過點A（4，0）和點B（3，2），點C是函數圖象與y軸的公共點、過點C作直線CEAB（1）求這個二次函數的解析式；（2）求直線CE的表達式；（3）如果點D在直線CE上，且四邊形ABCD是等腰梯形，求點D的坐標；（4）若P是拋物線上x軸上方的一動點，過P作PMx軸，垂足為M，是否存在P點，使得以A，P，M為頂點的三角形與OAC相似？若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由【解答】解：（1）二次函數圖象經過點A（4，0）和點B（3，2），則，解得，所求二次函數的解析式為yx2x2； （2）直線AB的表達式為y2

6、x8，CEAB，設直線CE的表達式為y2x+m又直線CE經過點C（0，2），直線CE的表達式為y2x2； （3）設點D的坐標為（x，2x2）四邊形ABCD是等腰梯形，ADBC，即3解得x1（舍去）或，點D的坐標為（，）； （4）設點P的坐標為（x，x2x2），當P是拋物線上x軸上方的一動點，則PMx2x2，則AM|x4|，在RtAOC中，tanOAC，故當以A，P，M為頂點的三角形與OAC相似時，tanPAM或2，即，則，解得x0（舍去）或4（舍去）或3（舍去）或5或2，故點P的坐標為（2，3）或（5，18）4已知，如圖，已知拋物線yax2+bx與x軸交于A（3，0），B（1，0）兩點，與y軸

7、交于點C，連接AC，BC，若點M是x軸上的動點（不與點B重合），MNAC于點N，連接CM（1）求拋物線的解析式；（2）當MN1時，求點N的坐標；（3）是否存在以點C，M，N為頂點的三角形與ABC相似，若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由【解答】解：（1）拋物線yaax2+bx與x軸交于A（3，0），B（1，0）兩點，得，解得：，（2）當x0時，y，C（0，），OC，A（3，0），OA3，OAC30，MN1，MNA90，在RtAMN中，AN，過點N作NHx軸于點H，NH，AH，當點M在點A左側時，N的坐標為（，），當點M在點A右側時，N的坐標為（，），綜上，點N的坐標為（）或（，）

8、，（3）設M點為（x，0），則由（2）可得AB4，BC2，AC2，BC2+AC2AB2，ABC是直角三角形，BCA90，又由2SCMAAMOCACMN得：MN，若以點C，M，N為頂點的三角形與ABC相似，則：，即，即6x6，所以x1，此時M為（1，0）；，即，即x2+3x0，解之可得：x0或x3，M為（0，0）或（3，0），綜上所述，存在以點C，M，N為頂點的三角形與ABC相似，且M的坐標為（1，0）或（0，0）或（3，0）5如圖，拋物線yax28x+c經過A（2，0），B（6，0）兩點，直線l為拋物線的對稱軸并與x軸交于點C直線yx+2與拋物線分別交于點B，D兩點，與直線l交于點E（1）求拋

9、物線的解析式；（2）若以點A為圓心適當的長為半徑畫圓，使圓A與直線BD相切于點F，求點F的坐標并說明直線l，y軸與圓A的位置關系（3）在（2）的條件下，在圓A上是否存在點G，使得以G，O，C為頂點的三角形與BCE相似若存在，請直接寫出G點坐標；若不存在，請說明理由【解答】解：（1）設拋物線的表達式為ya（xx1）（xx2）a（x2）（x6）a（x28x+12），8a8，解得a1，故拋物線的表達式為yx28x+12； （2）由點A、B的坐標知，拋物線的對稱軸為直線x4，即OC4，由直線BD的表達式知，EBC30，BD和圓A相切，AFBD，在RtABF中，AB624，EBC30，則AFAB2OAA

10、C，故圓A與直線l、y軸都相切，則BFAB2，設點F的坐標為（x，x+2），則BF2（x6）2+（x+2）2（2）2，解得x9（舍去）或3，故點F的坐標為（3，）； （3）在BCE中，EBC30，ECB90，當點G在圓上時，則CGD90，OC4，故以G，O，C為頂點的三角形與BCE相似時，GCO30或60即可滿足條件當點G在x軸上方時，過點G作GHx軸于點H，當GCO30時，則GOH60，則OGCO2，則OHOGcos601，GHOGsin60，故點G的坐標為（1，）；當GCO60時，則GOH30，則OGCOsin602，則OHOGcos303，GHOGsin30，故點G的坐標為（3，）；故點

11、G的坐標為（1，）或（3，）；當點G在x軸下方時，根據圓的對稱性，則點G的坐標為（1，）或（3，）；綜上，點G的坐標為（1，）或（3，）或（1，）或（3，）6如圖所示，拋物線yax2+bx+c的圖象過A（0，3），B（1，0），C（3，0）三點，頂點為P（1）求拋物線的解析式；（2）設點G在y軸上，且OGB+OABACB，求AG的長；（3）若ADx軸且D在拋物線上，過D作DEBC于E，M在直線DE上運動，點N在x軸上運動，是否存在這樣的點M、N使以A、M、N為頂點的三角形與APD相似？若存在，請求出點M、N的坐標【解答】解：（1）把A（0，3），B（1，0），C（3，0）代入yax2+bx+c

12、，得，解得，拋物線的解析式為yx2+2x+3（2）如圖1，過點G作GFAB，交AB的延長線于點F，則BFG90OAOC3，ACB45，GBFOGB+OABACB45，FGB45GBF，FBFGtanBAO，AB，FBFG，AF+，AG5；作點G關于點O的對稱點G，則點G也滿足OGB+OABACB，此時，OGOG532，AG321綜上所述，AG的長為5或1（3）存在由B（1，0），C（3，0）得，拋物線的對稱軸為直線x1，點D與點A關于直線x1對稱，且A（0，3），D（2，3），E（2，0）；當x1時，y1+2+34，P（1，4），作PHAD于點H，則H（1，3），PHAHDH1，APD90，且

13、APDP，APD是等腰直角三角形，當AMN是等腰直角三角形時，以A、M、N為頂點的三角形與APD相似.如圖2，AN為斜邊，點M、N分別在DE、OE上，ADMMENAMN90，AMD90EMNMNE，又AMMN，AMDMNE（AAS），ADME2，DMEN1，ON211，M（2，2）、N（1，0）；如圖3，AN為斜邊，點M、N分別在DE、OE的延長線上，ADMMENAMN90，AMD90EMNMNE，又AMMN，AMDMNE（AAS），ADME2，DMEN3+25，ON2+57，M（2，2）、N（7，0）；如圖4，AM為斜邊，點M、N分別在DE、EO的延長線上，AONNEMANM90，OAN90

14、ONAENM，又ANNM，AONNEM（AAS），ONEM1，M（2，1）、N（1，0）；如圖5，AM為斜邊，點M、N分別在DE、OE的延長線上，AONNEMANM90，OAN90ONAENM，又ANNM，AONNEM（AAS），OAEN3，ONEM2+35，M（2，5）、N（5，0）綜上所述，M（2，2）、N（1，0）或M（2，2）、N（7，0）或M（2，1）、N（1，0）或M（2，5）、N（5，0）7如圖，已知直線yx4與坐標軸分別交于點B、點C，二次函數yx2+2x的圖象經過點C（1）求直線與拋物線的另一個交點A的坐標及線段AB的長；（2）若點D在x軸的正半軸上，是否存在以點D，C，B構

15、成的三角形與OAB相似？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由【解答】解：（1）直線yx4與y軸、x軸分別交于點B、點C，B（0，4），C（4，0）.由，得，A（2，6），AB2；（2）存在OBOC4，BOC90，BC4，OBCOCB45，BCDABO135，如圖1，當CBDBOA時，則CBDBOA，解得CD4，OD4+48，D（8，0）；如圖2，當CBDBAO時，則CBDBAO，解得DC8，OD4+812，D（12，0）綜上所述，點D的坐標為（8，0）或（12，0）8已知拋物線yx2+bx+c與x軸交于A，B兩點（點A在點B左邊），與y軸交于點C直線yx4經過B，C兩點（1）求拋物線的

16、解析式；（2）如圖1，動點M，K同時從A點出發，點M以每秒4個單位的速度在線段AB上運動，點K以每秒個單位的速度在線段AC上運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動設運動的時間為t（t0）秒如圖1，連接MK，再將線段MK繞點M逆時針旋轉90，設點K落在點H的位置，若點H恰好落在拋物線上，求t的值及此時點H的坐標；如圖2，過點M作x軸的垂線，交BC于點D，交拋物線于點P，過點P作PNBC于N，當點M運動到線段OB上時，是否存在某一時刻t，使PNC與AOC相似若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由【解答】解：（1）直線yx4經過B，C兩點，B（8，0），C（0，4），將B、C兩點代入

17、拋物線解析式得：，b，c4，；（2）由題意得A（2，0），OMAMOA4t2，AK，過K作KVx軸于V，由ACOAKV可知，AVt，KV2t，OV2t，MV3t，在MKV和HMN中，MKMH，KVNMNHKMH90，VMKMHN，MKVHMN（AAS），MNKV2t，HNMV3t，H（6t2，3t），點H恰好落在拋物線上，解得t1，t20（舍），H（6，4）（3）當OACNCP時，tanNCPtanOAC，2，由RtBOCRtGHB，GH16，BH8，G（16，16），直線CP的解析式為：yx4，點P在拋物線上，x10，x23，P（3，），t當OCANCP時，OCAOBC，NCPOBC，CPx

18、軸，C、P關于對稱軸x3對稱，P（6，4），t2綜上所述：t或t29如圖，直線y2x+2與x軸交于點A，與y軸交于點B，把AOB沿y軸翻折，點A落到點C，過點B的拋物線yx2+bx+c與直線BC交于點D（3，4）（1）求直線BD和拋物線的解析式；（2）在第一象限內的拋物線上，是否存在一點M，作MN垂直于x軸，垂足為點N，使得以M，O，N為頂點的三角形與BOC相似？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由【解答】解：（1）在y2x+2中，當x0時，y2，B（0，2），當y0時，x1，A（1，0），拋物線yx2+bx+c過點B（0，2），D（3，4），解得：，拋物線的解析式為yx2+x+2，設直線BD的解析式為ykx+n，代入B（0，2），D（3，4）得，解得：，直線BD的解析式為：y2x+2；（2）存在；如圖，設M（m，m2+m+2），MNx軸，MNm2+m+2，ONm，直線BD的解析式為：y2x+2，y0時，x1，C（1，0），OC1，B（0，2），OB2，若BOCMNO，則，即，解得：m11，m22（舍去），m1時，m2+m+22，M（1，2）；若BOCONM，則，即，解得：，（舍去），m時，m2+m+2，M（，），綜上所述，M（1，2）或M（，）10如圖，在平面直角坐標系中，拋物線yax2+bx+