1、緩坡方程的非線性改良及其驗證分析3500字 摘 要：弱非線性緩坡方程和弱非線性彌散關系缺乏以描繪現有海洋波浪的非線性現象。在總結概述前人關于緩坡方程波浪數學模型的根底上，從Laplace方程出發，利用攝動展開方法推導出一強非線性緩坡方程，以此為控制方程，采用有限差分方法，并利用橢圓淺灘地形對強非線性緩坡方程進展了分析和討論。結果說明，在橢圓淺灘前沿及兩側，計算精度比Maa2002的形式結果有所進步，與實驗結果吻合較好，表達了非線性的作用。 畢業關鍵詞：緩坡方程 非線性 波浪變形1.前言Berkhoff最早根據勢波理論采用小參數展開法，從Laplace方程出發導出了緩坡方程，稱為傳統緩坡方程，已

2、被廣泛應用于近岸海域的波浪場計算。目前，很多研究人員在考慮各種動力機制的情況下簡化和改良了緩坡方程，并給出了一批拓展型緩坡方程。緩坡方程的改良大致可分為三類：一是對傳統緩坡方程本身進展改良，如轉化為拋物型緩坡方程或雙曲型緩坡方程、考慮底摩阻作用、陡變地形作用、波浪破碎作用、波流互相作用等；二是對方程所采用的彌散關系進展改良，如Kirby、李瑞杰等都提出了各自的非線性彌散關系，使緩坡方程數學模型的計算結果大大改善；三是對求解緩坡方程的數值方法進展改良，如利用有限元法FE、共軛梯度算法CG、廣義共軛梯度法GCG、高斯消去法GE等求解緩坡方程。然而，以上的三類改良都是對緩坡方程的弱非線性作用進展改良

3、。波浪由外海傳播至近海時，由于受到水深、地形、建筑物等影響，非線性作用加強，弱非線性緩坡方程和弱非線性彌散關系缺乏以描繪現有海洋波浪的非線性現象。本文在總結概述前人關于緩坡方程波浪數學模型的根底上，推導出一非線性緩坡方程，以此為控制方程，采用有限差分方法，并利用橢圓淺灘地形對改良后的緩坡方程進展了分析和討論。2.非線性緩坡方程的理論推導從Laplace方程出發，利用攝動展開方法，在方程中乘以滿足底部邊界條件的水深因子，再由底部到水面沿水深積分，將三維問題簡化為二維問題，推導得到強非線性緩坡方程，即本文的控制方程。下面簡要說明推導過程，詳細的推導過程見文獻13。考慮三維波浪場，假定流體不可壓、無

4、粘、運動無旋，其控制方程及邊界條件分別如下所示：拉普拉斯Laplace方程在數值模擬過程中，采用具有二階精度的五點式中心差分將控制方程和邊界條件進展離散，再利用控制方程與邊界條件的有限差分格式建立帶狀矩陣方程，并采用具有節約型帶狀矩陣解法功能的高斯消去法GEP法在PC機上直接求解橢圓型緩坡方程。3.數值模?M驗證及分析為了觀察推導出的非線性緩坡方程的適用性和計算結果的精度，采用Berkhoff的橢圓地形進展驗證。通過數值試驗，將改良后計算結果與Maa形式計算值及實驗數據進展比擬，討論改良后模型的模擬精度。Berkhoff橢圓詳細水下地形和實測斷面布置如圖1所示。計算條件情況與原始實驗一樣，入射

5、波高H0為0.0464m，入射波周期T為1.0s，入射方向為沿+x方向；x、y方向步長分別取為0.05m和0.1m；其它三邊邊界采用完全吸收邊界。圖2分別給出了斷面18的相對波高H/H0實驗值、Maa等形式的計算值和改良模型計算值的比擬圖。從圖2可以看出，斷面15對C1值的改變的敏感程度不高，只是在部分位置存在波動，根本與Maa等形式重合；而斷面68的計算值隨C1值變化影響較大，尤其是在橢圓淺灘前沿及兩側處，C1值變大，出現振蕩，呈現強非線性效應，擬合趨勢優于Maa等形式，計算值更接近實驗值。斷面68在15m后面的區域，無論Maa等形式還是改良模型的計算值均有較大的偏向，其原因可能是由于模型未

6、考慮底摩阻和波浪破碎的影響，而使得計算值較實測值偏大。盡管在個別斷面上存在一定誤差，還有變差的趨勢，但整體上模型的計算結果的計算精度相比Maa等形式有所進步，與實驗結果吻合較好，表達了強非線性的作用。4.結語針對緩坡方程弱非線性的局限性，利用攝動展開方法推導出一強非線性緩坡方程，并采用橢圓淺灘地形驗證其計算精度。將模擬結果和Maa等形式計算結果及實驗數據進展比擬，結果說明，在橢圓淺灘前沿及兩側，計算結果出現振蕩，與實驗結果吻合較好，計算精度相比Maa等形式有所進步，呈現出非線性效應。在推導出的非線性緩坡方程中存在待定系數C1，假定C1值為常系數，通過選取不同的C1值得到的模擬結果與實驗數據的比

7、選，分析C1值對非線性性能的影響，確定最正確C1值。隨著C1值的增大，非線性加強，可能導致計算結果失真，以后將進一步討論其與波高、波長和水深等因素的函數關系及其物理意義。參考文獻：1Berkhoff J C W. putation o f c o m b i n e d r e f r a c t i o n -diffractionA.In Proc. 13th Int.Conf.on Coastal EngineeringC. ASCE，1972，471-490. 2Radder A C.On the parabolic equation method for water wave pro

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