1、第 1 頁(yè)/531 頁(yè)/531 頁(yè)/532.3 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖及其簡(jiǎn)化一、傳遞函數(shù)的方框圖 一個(gè)系統(tǒng)可由若干環(huán)節(jié)按一定的關(guān)系組成，將這些環(huán)節(jié)以方框表示，其間用相應(yīng)的變量及信號(hào)流向聯(lián)系起來，就構(gòu)成系統(tǒng)的方框圖。系統(tǒng)方框圖具體而形象地表示了系統(tǒng)內(nèi)部各環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型、各變量之間的相互關(guān)系以及信號(hào)流向。事實(shí)上它是系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的一種圖解表示方法，它提供了關(guān)于系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的有關(guān)信息，并且可以揭示和評(píng)價(jià)每個(gè)組成環(huán)節(jié)對(duì)系統(tǒng)的影響。根據(jù)方框圖，通過一定的運(yùn)算變換可求得系統(tǒng)傳遞函數(shù)。故方框圖對(duì)于系統(tǒng)的描述、分析、計(jì)算是很方便的，因而被廣泛地使用。Block diagram of control system

2、 and its simplification2011年9月第 1 頁(yè)/531 頁(yè)/532 頁(yè)/53+Xi(s)+G1G3G2Xo(s)H1+H2E(s)B(s)1、方框圖的結(jié)構(gòu)要素方框相加點(diǎn)分支點(diǎn)最后結(jié)果：Xi(s)Xo(s)2011年9月第 1 頁(yè)/531 頁(yè)/533 頁(yè)/53(1) 函數(shù)的方框 函數(shù)方框是傳遞函數(shù)的圖解表示，如下圖所示。圖中指向方框的箭頭表示輸入的Laplace變換；離開方框的箭頭表示輸出的Laplace變換；方框中表示的是該輸入輸出之間的環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。所以方框的輸出應(yīng)是方框中的傳遞函數(shù)乘以其輸入，即G(s)Xi(s)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)框圖Xo(s)2011年9月第 1 頁(yè)

3、/531 頁(yè)/534 頁(yè)/53 相加點(diǎn)是信號(hào)之間代數(shù)求和運(yùn)算的圖解表示，如下圖所示。在相加點(diǎn)處，輸出信號(hào)(離開相加點(diǎn)的箭頭表示)等于各輸入信號(hào)(指向相加點(diǎn)的箭頭表示)的代數(shù)和，每一個(gè)指向相加點(diǎn)的箭頭前方的“+”號(hào)或“-”號(hào)表示該輸入信號(hào)在代數(shù)運(yùn)算中的符號(hào)。在相加點(diǎn)處加減的信號(hào)必須是同種變量，運(yùn)算時(shí)的量綱也要相同。相加點(diǎn)可以有多個(gè)輸入，但輸出是唯一的。+ABCA-B+C在相加點(diǎn)處，輸出信號(hào)(離開相加點(diǎn)的箭頭表示)等于各輸入信號(hào)(指向相加點(diǎn)的箭頭表示)的代數(shù)和。2011年9月第 1 頁(yè)/531 頁(yè)/535 頁(yè)/53(2) 分支點(diǎn)分支點(diǎn)表示同一信號(hào)向不同方向的傳遞。如下圖所示，在分支點(diǎn)引出的信號(hào)不僅

4、量綱相同，而且數(shù)值也相等。X(s)X(s)X(s)2011年9月第 1 頁(yè)/531 頁(yè)/536 頁(yè)/532、系統(tǒng)方框圖的建立建立系統(tǒng)方框圖的步驟如下：(1) 建立系統(tǒng)（或元件）的原始微分方程；(2) 對(duì)這些原始微分方程進(jìn)行Laplace變換，并根據(jù)各變換式中的因果關(guān)系，繪出相應(yīng)的方框圖；(3) 按照信號(hào)在系統(tǒng)中傳遞、變換的過程，依次將各傳遞函數(shù)方框圖連接起來(同一變量的信號(hào)通路連接在一起），系統(tǒng)輸入量置于左端。輸出量置于右端，便得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖。Block diagram establishing2011年9月第 1 頁(yè)/531 頁(yè)/537 頁(yè)/53RCi例： 繪制R、C網(wǎng)絡(luò)的框圖。解

5、： 列寫網(wǎng)絡(luò)的運(yùn)動(dòng)方程式，得 畫出上述兩式對(duì)應(yīng)的框圖I(s)+1/RUc(s)Ur(s)1/csUc(s)I(s)下面舉例說明系統(tǒng)方框圖建立。找到中間變量，逐漸消除！相加式與反饋量有關(guān)輸入：Ur(s)輸出：Uc(s)中間變量：I(s)2011年9月第 1 頁(yè)/531 頁(yè)/538 頁(yè)/53I(s)+1/RUc(s)Ur(s)1/csUc(s)I(s) 各單元框圖按信號(hào)的流向依次連接。+1/RUc(s)Ur(s)1/csI(s)2011年9月第 1 頁(yè)/531 頁(yè)/539 頁(yè)/53例1：圖2.1.3所示的液壓伺服機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)微分方程由式式和式描述，其中式是小偏差條件下經(jīng)線性化處理后到的。在零初始條件

6、下分別對(duì)式和式取變換得輸入：X(s)輸出：Y(s)中間變量：P(s) Q(s) 2011年9月第 1 頁(yè)/531 頁(yè)/5310 頁(yè)/53滑閥與油缸組合的液壓伺服機(jī)構(gòu)，如圖所示。xyAmc負(fù)載輸入：X(s)輸出：Y(s)中間變量：P(s) Q(s) 2011年9月第 1 頁(yè)/531 頁(yè)/5311 頁(yè)/53根據(jù)變量之間的因果關(guān)系，對(duì)上述各式分別繪出相應(yīng)的傳遞函數(shù)方框圖，如下圖所示。P(s)(a)Y(s)As(b)Y(s)Q(s)1/KcX(s)(c)P(s)Kq+_Q(s)AsY(s)(b)Q(s)輸入：X(s)輸出：Y(s)中間變量：P(s) Q(s) 2011年9月第 1 頁(yè)/531 頁(yè)/53

7、12 頁(yè)/53最后，將上述各傳遞函數(shù)方框圖按信號(hào)的傳遞關(guān)系連接起來，便得到下圖所示的系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的方框圖。1/KcX(s)(c)P(s)Kq+_Q(s)Y(s)As2011年9月第 1 頁(yè)/531 頁(yè)/5313 頁(yè)/53例2：如圖2.1.2所示電樞控制式直流時(shí)機(jī)，由第2.1節(jié)例2的推導(dǎo)可知其運(yùn)動(dòng)微分方程可列寫如下：對(duì)上述各式在零初始條件下分別進(jìn)行變換得輸入：Ua(s), ML(s)輸出：W(s)中間變量：Ed(s),M(s), I(s)練習(xí)題：2011年9月第 1 頁(yè)/531 頁(yè)/5314 頁(yè)/53按各變量的因果關(guān)系，分別繪出上述各式的傳遞函數(shù)方框圖，如圖所示。(a)Ia(s)+_Ed(s)

8、Ua(s)(c)W(s)+_ML(s)M(s)W(s)KdEd(s)(b)Ia(s)KmM(s)(d)2011年9月第 1 頁(yè)/531 頁(yè)/5315 頁(yè)/53最后將各傳遞方框圖按信號(hào)的傳遞關(guān)系連接起來，便得到圖2.1.2所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖，如下圖所示。Ia(s)+_Ed(s)Ua(s)KmM(s)W(s)KdML(s)+_2011年9月第 1 頁(yè)/531 頁(yè)/5316 頁(yè)/53建立系統(tǒng)方框圖的步驟如下：(1) 建立系統(tǒng)（或元件）的原始微分方程；(2) 對(duì)這些原始微分方程進(jìn)行Laplace變換，并根據(jù)各變換式中的因果關(guān)系，繪出相應(yīng)的方框圖；(3) 按照信號(hào)在系統(tǒng)中傳遞、變換的過程，依次將各

9、傳遞函數(shù)方框圖連接起來(同一變量的信號(hào)通路連接在一起），系統(tǒng)輸入量置于左端。輸出量置于右端，便得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖。同前未講2011年9月第 1 頁(yè)/531 頁(yè)/5317 頁(yè)/53二、傳遞函數(shù)方框圖的等效變換 對(duì)于實(shí)際系統(tǒng)，特別是自動(dòng)控制系統(tǒng)，通常用多回路的方框圖表示，如大環(huán)回路套小環(huán)回路，其方框圖甚為復(fù)雜。為便于分析與計(jì)算，需要利用等效變換的原則對(duì)方框圖加以簡(jiǎn)化。所謂等效是指變換前后輸入輸出總的數(shù)學(xué)關(guān)系保持不變。+Xi(s)+G1G3G2Xo(s)H1+H2E(s)B(s)2011年9月第 1 頁(yè)/531 頁(yè)/5318 頁(yè)/531、串聯(lián)環(huán)節(jié)的等效變換規(guī)則 前一環(huán)節(jié)的輸出為后一環(huán)節(jié)的輸入的

10、聯(lián)接方式稱為環(huán)節(jié)的串聯(lián)，如圖所示。當(dāng)各環(huán)節(jié)之間不存在或可忽略負(fù)載效應(yīng)時(shí)，則串聯(lián)聯(lián)接后的傳遞函數(shù)為：Series 2011年9月第 1 頁(yè)/531 頁(yè)/5319 頁(yè)/53 積串聯(lián)兩個(gè)環(huán)節(jié)相串聯(lián)Xi(s)Xo(s)X1(s)多個(gè)環(huán)節(jié)相串聯(lián)Xi(s)Xo(s)2011年9月第 1 頁(yè)/531 頁(yè)/5320 頁(yè)/53兩個(gè)環(huán)節(jié)相串聯(lián)等效框圖Xi(s)Xo(s)2011年9月第 1 頁(yè)/531 頁(yè)/5321 頁(yè)/532.并聯(lián)環(huán)節(jié)的等效變換規(guī)則各環(huán)節(jié)的輸入信號(hào)相同，輸出為各環(huán)節(jié)輸出的代數(shù)和。+兩個(gè)環(huán)節(jié)相并聯(lián)Xi(s)Xo(s)Xo1(s)Xo2(s)_Parallel 2011年9月第 1 頁(yè)/531 頁(yè)/

11、5322 頁(yè)/53Xi(s)Xo(s)多個(gè)環(huán)節(jié)相并聯(lián)和+.和2011年9月第 1 頁(yè)/531 頁(yè)/5323 頁(yè)/53兩個(gè)環(huán)節(jié)相并聯(lián)等效框圖Xi(s)Xo(s)2011年9月第 1 頁(yè)/531 頁(yè)/5324 頁(yè)/53 3方框圖的反饋聯(lián)接及其等效規(guī)則 如圖所示稱為反饋聯(lián)接，實(shí)際上它也是閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖的最基本形式。單輸入作用的閉環(huán)系統(tǒng)，無論組成系統(tǒng)的環(huán)節(jié)有多復(fù)雜，其傳遞函數(shù)方框圖總可以簡(jiǎn)化成右圖所示的基本形式。Xi(s)Xo(s)反饋環(huán)節(jié)等效變換等效Xo(s)+Xi(s)+Feedback2011年9月第 1 頁(yè)/531 頁(yè)/5325 頁(yè)/53圖中G(s)稱為前向通道傳遞函數(shù)，它是輸出Xo(

12、s)與偏差E(s) 之比。即H(s)稱為反饋回路傳遞函數(shù)，即Xo(s)+Xi(s)+Forward pathFeedback path2011年9月第 1 頁(yè)/531 頁(yè)/5326 頁(yè)/53 前向通道傳遞函數(shù)G(s)與反饋回路傳遞函數(shù)H(s)之乘積定義為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)GK(s) ，它也是反饋信號(hào)B(s)與偏差E(s)之比，即Xo(s)+Xi(s)+2011年9月第 1 頁(yè)/531 頁(yè)/5327 頁(yè)/53 開環(huán)傳遞函數(shù)可以理解為：封閉回路在相加點(diǎn)斷開以后，以E(s)作為輸入，經(jīng)G(s) 、 H(s)而產(chǎn)生輸出B(s) ，此輸出與輸入的比值B(s) /E(s) ，可以認(rèn)為是一個(gè)無反饋的開環(huán)系統(tǒng)

13、的傳遞函數(shù)。由于B(s)與E(s)在相加點(diǎn)量綱相同，因此，開環(huán)傳遞函數(shù)無量綱，而且H(s)的量綱是G(s)的量綱的倒數(shù)。開環(huán)傳遞函數(shù)無量綱這點(diǎn)是十分重要的，必須充分注意。Xo(s)+Xi(s)+2011年9月第 1 頁(yè)/531 頁(yè)/5328 頁(yè)/53輸出信號(hào)Xo(s)與輸入信號(hào)Xi(s)之比定義為系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)GB(s) 由圖可知由此可得即Xo(s)+Xi(s)+2011年9月第 1 頁(yè)/531 頁(yè)/5329 頁(yè)/53故反饋聯(lián)接時(shí)，其等效傳遞函數(shù)等于前向通道傳遞函數(shù)除以1加(或減)前向通道傳遞函數(shù)與反饋回路傳遞函數(shù)的乘積。注意符號(hào)！在圖中若相加點(diǎn)B(s)的處為負(fù)號(hào)，則E(s)= Xi(s)

14、 -B(s) ，此時(shí)式中G(s)H(s)前為正號(hào)；若相加點(diǎn)的B(s) 處為正號(hào)，則E(s)= Xi(s) +B(s) ，此時(shí)式中G(s)H(s)前為負(fù)號(hào)。Xo(s)+Xi(s)+2011年9月第 1 頁(yè)/531 頁(yè)/5330 頁(yè)/53 相加點(diǎn)的B(s)處的符號(hào)由物理現(xiàn)象及H(s)本身符號(hào)決定，即，若人為地將H(s)改變符號(hào)，則相加點(diǎn)的B(s)處也要相應(yīng)地改變符號(hào)，結(jié)果由式所得的傳遞函數(shù)不變，但閉環(huán)系統(tǒng)的反饋是正反饋還是負(fù)反饋，與反饋信號(hào)在相加點(diǎn)取正號(hào)還是取負(fù)號(hào)是兩回事。正反饋是反饋信號(hào)加強(qiáng)輸入信號(hào)，使偏差信號(hào)E(s)增大時(shí)的反饋；而負(fù)反饋是反饋信號(hào)減弱輸入信號(hào)使偏差信號(hào)E(s)減小的反饋。當(dāng)然

15、在可能的情況下，應(yīng)遲可能使相加點(diǎn)的B(s)處的正負(fù)號(hào)與反饋的正負(fù)相一致。Xo(s)+Xi(s)+2011年9月第 1 頁(yè)/531 頁(yè)/5331 頁(yè)/53 閉環(huán)傳遞函數(shù)的量綱決定于Xo(s)與Xi(s)的量綱，兩者可以相同與可以不同。若反饋回路傳遞函數(shù)H(s) =1，稱為單位反饋。此時(shí)有Xo(s)+Xi(s)+Xo(s)+Xi(s)+2011年9月第 1 頁(yè)/531 頁(yè)/5332 頁(yè)/53前述三種基本連接形式：串聯(lián)、并聯(lián)、反饋兩個(gè)環(huán)節(jié)相串聯(lián)Xi(s)Xo(s)X1(s)兩個(gè)環(huán)節(jié)相并聯(lián)+Xi(s)Xo(s)Xo1(s)Xo2(s)_小小總結(jié)：Xo(s)+Xi(s)+反饋連接：2011年9月第 1

16、頁(yè)/531 頁(yè)/5333 頁(yè)/534、分支點(diǎn)移動(dòng)規(guī)則 若分支點(diǎn)由方框之后移到該方框之前，為了保持移動(dòng)后分支信號(hào)X3不變，應(yīng)在分支路上串入具有相同傳遞函數(shù)的方框，如圖所示。G(s)X2X1X3(= X2)G(s)X2X1X3(= X2)G(s)前移G(s)X2X1X3(= X1)后移分支點(diǎn)G(s)X2X1X3(= X1)1G(s)2011年9月第 1 頁(yè)/531 頁(yè)/5334 頁(yè)/535、相加點(diǎn)移動(dòng)規(guī)則 若相加點(diǎn)由方框之前移到該方框之后，為了保持總的輸出信號(hào)X3不變，應(yīng)在移動(dòng)的支路上串入具有相同傳遞函數(shù)的方框，如圖所示。 若相加點(diǎn)由方框之后移到該方框之前，應(yīng)在移動(dòng)的支路上串入具有相同傳遞函數(shù)的倒

17、數(shù)的方框，如圖所示。2011年9月第 1 頁(yè)/531 頁(yè)/5335 頁(yè)/53G(s)X3X1X2G(s)X3X1X2前移后移相加點(diǎn)G(s)X3X1X2G(s)G(s)X3X1X21 G(s)2011年9月第 1 頁(yè)/531 頁(yè)/5336 頁(yè)/536、分支點(diǎn)之間、相加點(diǎn)之間的互移動(dòng)規(guī)則分支點(diǎn)、相加點(diǎn)間的相互移動(dòng)，均不改變?cè)械臄?shù)學(xué)關(guān)系，因此，可以相互移動(dòng)，如圖。但分支點(diǎn)相加點(diǎn)之間不能相互移動(dòng)，因?yàn)樗鼈儾⒉坏刃А1(s)X2(s)X4(s)X3(s)X1(s)X2(s)X4(s)X3(s)不變不變X(s)X(s)X(s)X(s)X(s)X(s)X(s)X(s)引出點(diǎn)與相加點(diǎn)之間的不能相互移動(dòng)，因

18、為它們并不等效！2011年9月第 1 頁(yè)/531 頁(yè)/5337 頁(yè)/53例：求系統(tǒng)傳遞函數(shù)。+Xi(s)+G1G3G2Xo(s)H1+H2E(s)B(s)相加 點(diǎn)前移+Xi(s)+G1G3G2Xo(s)+H2/G1E(s)B(s)H12011年9月第 1 頁(yè)/531 頁(yè)/5338 頁(yè)/53+Xi(s)+G1G3G2Xo(s)+H2/G1E(s)B(s)H1+Xi(s)+G3Xo(s)H2/G1E(s)B(s)2011年9月第 1 頁(yè)/531 頁(yè)/5339 頁(yè)/53+Xi(s)+G3Xo(s)H2/G1E(s)B(s)+Xi(s)Xo(s)B(s)2011年9月第 1 頁(yè)/531 頁(yè)/5340

19、頁(yè)/53Xi(s)Xo(s)+Xi(s)Xo(s)B(s)2011年9月第 1 頁(yè)/531 頁(yè)/5341 頁(yè)/53最后結(jié)果：Xi(s)Xo(s)+Xi(s)+G1G3G2Xo(s)+E(s)B(s)H1H22011年9月第 1 頁(yè)/531 頁(yè)/5342 頁(yè)/53含有多個(gè)局部反饋回路的閉環(huán)傳遞函數(shù)也可以直接由下列公式求取括號(hào)內(nèi)每一項(xiàng)的符號(hào)是這樣決定的：在相加點(diǎn)處，對(duì)反饋信號(hào)為相加時(shí)取負(fù)號(hào)，對(duì)反饋信號(hào)為相減時(shí)取正號(hào)。2011年9月第 1 頁(yè)/531 頁(yè)/5343 頁(yè)/53使用上述公式需要具備以下兩個(gè)條件： 整個(gè)框圖只有一條前向通道 各局部反饋回路間存在公共的傳遞函數(shù)方框。2011年9月第 1 頁(yè)/531 頁(yè)/5344 頁(yè)/53如圖，系統(tǒng)有兩個(gè)獨(dú)立的局部反饋回路，其間沒有公共的方框。若直接用式，則會(huì)錯(cuò)誤地得出傳遞函數(shù)：_Xo(s)G1(s)E(s)+Xi(s)G2(s)R2R1_2011年9月第 1 頁(yè)/531 頁(yè)/5345 頁(yè)/53顯然，應(yīng)先將兩局部反饋回路分別簡(jiǎn)化成兩個(gè)方框，然后，將此兩方框串聯(lián)，得傳遞函數(shù)_Xo(s)G1(s)E(s)+Xi(s)G2(s)R2R1_可見G(s)G(s)， G(s)是正確的傳遞函數(shù)。2011年9月第 1 頁(yè)/531 頁(yè)/5346 頁(yè)/53在下圖中