1、2.1 導數的背景 復習： 1. 直線的斜率公式：2. 直線方程的點斜式：經過點 P1 ( x1 , y1 ) , 且斜率為 k 的直線方程為 y - y1 = k ( x - x1 ) .2.1導數的背景 （二）切線的斜率： 問題：如圖，P(1，1) 是曲線 y = x 2 上的一點，Q 是曲線上點 P 附近的一個點，觀察點 Q 沿曲線逐漸向點 P 接近時割線 PQ 的變化情況. （1）求割線 PQ 的斜率： 設點 Q 的橫坐標為 1+x，則點 Q 的縱坐標為 (1+x)2 . 點 Q 對于點 P 的縱坐標的增量（即函數的增量） y = (1+x)2 1 = 2 x + (x)2 . （二）

2、切線的斜率： 問題：如圖，P(1，1) 是曲線 y = x 2 上的一點，Q 是曲線上點 P 附近的一個點，觀察點 Q 沿曲線逐漸向點 P 接近時割線 PQ 的變化情況. （1）求割線 PQ 的斜率： 設點 Q 的橫坐標為 1+x，則點 Q 的縱坐標為 (1+x)2 . 點 Q 對于點 P 的縱坐標的增量（即函數的增量） y = (1+x)2 1 = 2 x + (x)2 . （2）求過 P 點的曲線的切線的斜率： 當點 Q 無限接近于點 P 時，也就是當x無限趨近于0時，割線 PQ 的極限位置叫做曲線在點 P 處的切線. 由點斜式，這條切線的方程為 y 1 = 2(x - 1)即 y = 2

3、x - 1 . （2）求過 P 點的曲線的切線的斜率： 當點 Q 無限接近于點 P 時，也就是當x無限趨近于0時，割線 PQ 的極限位置叫做曲線在點 P 處的切線. 由點斜式，這條切線的方程為 y 1 = 2(x - 1)即 y = 2x - 1 . （2）求當 t 0 時，平均速度的極限：所以，小球下落 3 秒時的速度是 29.4 (m / s) . 引言 問題 1：一個小球自由下落，求它在下落 3 秒時的速度. 學完本章的導數知識后，就能夠根據自由落體的運動公式，求出小球下落 3 秒時的速度.6060 xxxx 問題 2：用邊長為 60cm 的正方形鐵皮，做一個無蓋水箱，先在四角截去一個小

4、正方形，然后把四邊翻轉 90 角，再焊接而成. 水箱底邊的長取多少時，水箱容積最大？求最大容積. 學完導數一章之后，這個問題也就能夠解決了.2.1導數的背景 （一）瞬時速度： 問題 1：一個小球自由下落，求它在下落 3 秒時的速度. （1）求小球從 3 s 到 ( 3+t ) s 這段時間的平均速度 ( 其中t 叫做時間增量 )：這段時間內的位移增量s為 s = s (3+ t ) s (3) = 4.9 (3+ t )2 - 4.9 32= 29.4 t + 4.9(t )2 （2）求當 t 0 時，平均速度的極限：所以，小球下落 3 秒時的速度是 29.4 (m / s) .2.1導數的背景 （二）切線的斜率： 問題：如圖，P(1，1) 是曲線 y = x 2 上的一點，Q 是曲線上點 P 附近的一個點，觀察點 Q 沿曲線逐漸向點 P 接近時割線 PQ 的變化情況. （1）求割線 PQ 的斜率： 設點 Q 的橫坐標為 1+x，則點 Q 的縱坐標為 (1+x)2 . 點 Q 對于點 P 的縱坐標的增量（即函數的增量） y = (1+x)2 1 = 2 x + (x)2 . （2）求過 P 點的曲線的切線的斜率： 當點 Q 無限接近于點 P 時，也就是當x無限趨近于0時，割線 PQ 的極限位置叫做曲線在點 P 處的切線. 由點斜式，