1、離散數學II 近世代數部分計算機科學與技術專業核心基礎課程國家級精品課程Galois(18111832)近世代數的創始人 Born: 25 Oct 1811 in Bourg La Reine (near Paris), FranceDied: 31 May 1832 in Paris, France1789年 -1857年第一個認識到無窮級數論并非多項式理論的平凡推廣而應當以極限為基礎建立其完整理論的數學家。寫了大約800篇論文 傅立葉（1768 1830 ）1817年當選為科學院院士，1822年任該院終身秘書 傅立葉級數 、傅立葉變換熱的解析理論 泊松（1781年 -1840年）數學家、幾

2、何學家和物理學家泊松定理、泊松公式、泊松方程、泊松分布 第六章 群 與 環123代數系統群的定義子群及其陪集群的同構及同態567環域的特征 素域多項式4有限域86.1 代數系統運算設S是一個非空集合，稱SS到S的一個映射f為S的一個二元代數運算，即：對于S中任意兩個元素a,b，通過f，唯一確定S中一個元素c：f (a, b)= c，常記為a * b = c。6.1 代數系統運算表*abcaabcbbaccccc代數系統 設S是一個非空集合，f1，fm是S 上的若干代數運算，把S及其運算f1, fm 看成一個整體來看, 叫做一個代數系統，記為（S， f1, , fm）6.1 代數系統交換律定義6

3、.1.2 設*是集合S上的二元代數運算，如果對于S中任意兩個元素a，b，等式a * b = b * a都成立，則稱運算 * 滿足交換律。結合律定義6.1.3 設 * 是集合S上的二元代數運算，如果對于S中任意三個元素a，b，c，等式 (a * b) * c = a * (b * c)都成立，則稱運算 * 滿足結合律。等冪律定義6.1.4 設 * 是集合S上的二元代數運算，a是S中的元素，如果a * a = a，則稱a是關于運算 * 的冪等元。如果S中每個元素都是關于*的冪等元，則稱運算*滿足等冪律。分配律定義6.1.5 設 * 和 + 是集合S上的兩個二元代數運算，如果對于S中任意三個元素a，

4、b，c，等式 a *(b + c)= (a * b)+ (a * c)， (b + c)* a =(b * a)+(c * a）都成立，則稱運算 * 對 + 滿足分配律。 吸收律定義6.1.6 設 * 和 + 是集合S上的兩個二元代數運算，如果對于S中任意兩個元素a，b，等式 a * (a + b) = a ， a + (a * b) = a，都成立，則稱運算 * 和 + 滿足吸收律。消去律定義6.1.7 設 * 是集合S上的二元代數運算,如果對于S中任意三個元素a,b,c,（1）若 a * b = a * c，則b = c，（2）若 b * a = c * a，則b = c，就稱 * 滿足消

5、去律。第六章 群 與 環123子群及其陪集群的同構及同態567環域的特征 素域多項式4有限域8群的定義代數系統6.2.1 半群定義6.2.1 設G是一個非空集合，若為G上的二元代數運算，且滿足結合律，則稱該代數系統（G， ）為半群。 6.2.2 群 定義6.2.2 設（G, ）為半群，如果滿足下面條件： (1) G中有一個元素1，適合對于G中任意元素a，都 有1a = a1 = a; (2) 對于G中任意a，都可找到G中一個元素a-1，滿足aa-1 = a-1a = 1， 則稱（G, ）為群。 元素1稱為G的單位元素，a-1稱為a的逆元素。6.2.3 群 的 性 質定理6.2.1 設(G, )

6、是一個群，則G中恰有一個元素1適合1a=a1=a, 而且對于任意a恰有一個元素a-1適合aa-1=a-1a=1。證明：(反證法）若1和1都是單位元素，則 1=11=1，故1=1。若b和c都是a的逆元素,則 b=b1=b(ac)=(ba)c = 1c = c故b = c. 群的單位元素是唯一的。任意元素的逆也是唯一的。有(a-1)-1=a。定理6.2.2群定義中的條件（1）和（2）可以減弱如下：(1) G中有一個元素左壹適合1a=a;(2) 對于任意a，有一個元素左逆a-1適合a-1a=1。 證明：先證aa-1=1。 因為a-1=1a-1 = (a-1a)a-1，故a-1= (a-1a)a-1。

7、 由(2)， a-1也應該有一個左逆適合ba-1=1。 于是： ba-1=b(a-1a)a-1) =(ba-1)(aa-1) =1(aa-1) = aa-1因此，aa-1=1。再證a1=a。 a1 = a(a-1a) =(aa-1)a = 1a = a證畢。定理6.2.3群定義中的條件（1）和（2）等于下列可除條件：對于任意a，b，有x使x a=b，又有 y使 ay=b。定理6.2.3證明：首先證明在任一群中可除條件成立。取x =ba-1，y=a-1b，即得x a=b，ay=b，故由(1)和(2)可以推出可除條件成立。再證明由可除條件也可以推出(1)、(2)，因而可以推出(1),(2)。任取c

8、 G，令1為適合x c=c的x ，則1c=c。對于任意aG，有y使cy=a，故1a=1(cy)=(1c)y=cy=a，即(1)成立。關于(2)，令a-1為適合x a=1的x ，則a-1a=1。即(2)成立。 定理6.2.4設G是一個群，在一個乘積a1an中可以任意加括號而求其值。證明： 只要證明任意加括號而得的積等于按次序由左而右加括號所得的積(a1a2)a3)an-1)an （1）(1)式對于n=1，2不成問題；對于n=3,由結合律也不成問題。現在對n用歸納法,假定對少于n個因子的乘積（1）式成立.試證對n個因子的乘積（1）式也成立。a1an任意加括號而得到的乘積A，求證A等于(1)式。設在

9、A中最后一次計算是前后兩部分B與C相乘： A = （B）（C）定理6.2.4今C的因子個數小于n，故由歸納假設,C等于按次序自左而右加括號所得的乘積（D）an。由結合律，A=(B)(C)=(B)(D)an)=(B)(D)an。但（B）（D）的因子個數小于n，故由歸納假設，（B）（D）等于按次序由左而右加括號所得的乘積 (B)(D)=(a1a2)a3)an-2)an-1因而A =(B)(D)an=(a1a2)a3)an-2)an-1）an即A等于（1）式。注意：當給出二元運算后，若無結合律，則三個以上元素的運算不一定有意義，本定理對有結合律的一切代數系統成立。現在a1an有意義，當它們都相同時，

10、稱n個a連乘積為a的n次方，記為an。我們規定a0=1，a-n=(an)-1= (a-1)n對于任意整數m、n，第一指數律 aman=am+n第二指數律 (am)n=amn。定義6.2.3若群(G, )的運算適合交換律，則稱(G, )為Abel群或交換群。阿貝爾(18021829)挪威數學家，以證明五次方程的根式解的不可能性和對橢圓函數論的研究而聞名。 1823年當阿貝爾的第一篇論文發表.1824年他發表了他的一元五次方程沒有代數一般解的論文 .在一個Abel群(G，)中，一個乘積可以任意顛倒因子的次序而求其值。證明：考慮一個乘積a1an。設是1，n上的一個一對一變換，欲證a(1) a(n)=

11、a1an對n用歸納法，n=1時只有一個a1,顯然成立，n=2時a1a2 =a2a1定理顯然成立，假定n-1時定理成立，試證n時定理亦成立。設將a1an中各因子任意顛倒次序而得一式 P = a(1) a(n) 因子an必在P中某處出現，因而P可以寫成 P =（P）an（P）定理6.2.5 P =（P）an（P） P 或P中可能沒有元素，但照樣適用以下的論證，由交換律， P=P (anP)=P (Pan)=(P P)an， 現在P P中只有n-1個元素a1,an-1,只不過次序有顛倒，故由歸納法假定， P P= a1an-1。 因此,P =（P P）an = a1an-1an，從而歸納法完成，定理

12、得證。 定理6.2.5在Abel群中，有第三指數律：(ab)m=ambm，m為任意整數。加法群如果群G的運算不寫作乘而寫作加+，則G叫做一個加法群，我們永遠假定一個加法群是一個Abel群： a+b=b+a在乘法群中寫做1的現在寫做0： a+0=a在乘法群中寫做a-1而稱為a的逆的，現在寫做-a而稱為a的負： a+(-a)= 0n為任意整數時，在乘法群中寫作an而稱為a的n次方的，現在寫做na而稱為a的n倍。三個指數律現在成為下面的形式： ma+na= (m+n)a m(na)=(mn)a m(a+b)= ma+mb， 群的其它結論：(ab)-1= b-1a-1消去律成立其運算表中每一行或每一列

13、中的元素互不相同。存在唯一的冪等元1。一元群、二元群、三元群是唯一的，且都是交換群有限半群中必存在冪等元。含有單位元的半群稱為獨異點。習題6.21. 設（G,）是代數系統,則（GG,*）是代數系統，這里GG的運算“*”規定如下：（a，b）*（c，d）=（ac，bd），其中:a,b,c,d為G中任意元素。證明：當（G,）是半群時,（GG,*）是半群；當（G,）有單位元素時,（GG,*）有單位元素；當（G,）是群時,（GG，*）是群； 證明：設（G,）是半群,a,b,c,d,e,f為G中任意元素,若有(a,b),(c,d),(e,f)屬于GG，則有(a,b)*(c,d)*(e,f)=(a,b)*(

14、ce,df)=(a(ce),b(df)=(ac)e,(bd)f)=(ac),(bd)*(e,f)=(a,b)*(c,d)*(e,f)這就證明了當（G,）是半群時,（GG,*）是半群.設（G,）有單位元素1，(a,b)是（GG,*）中任意元素,則有(a,b)=(a1,b1)=(a,b)*(1,1)且(a,b)=(1a,1b)=(1,1)*(a,b),故(1,1)就是（GG，*）的單位元素。設（G,）是群，1是群（G,）的單位元素，則由前面的證明知(1，1)就是（GG，*）的1且（GG，*）是半群。 我們來證明（GG，*）中的任意元素(a，b)有逆元素。(1，1)=(aa，bb )=(a，b)*(a，b )，其中a和b分別是a和b在群（G， ）中的逆元素。同樣有(1，1)=(aa，bb ) =(a，b )*(a，b )，這就證明了(a，b )是(a，b)的逆元素，從而說明（GG，*）是群。 2. 舉例說明不要求可除條件而要求消去條件，即要求由ax=ay可推出x=y，由xa=ya可推出x=y，則G不見得是一個群，若G有限怎么樣？解：例如，全體自然數在普通乘法下，適合消去律，但不是群。若G=a1，a2，an，用a右乘G中各元