1、第七章：偏微分方程一、 幾個基本概念例：1、方程的階數方程中出現的最高階導數的階數即為方程的階數一階二階2、線性、非線性、擬線性 方程經過有理化并消去分式后，若方程中沒有未知函數及其偏導數的乘積或冪等非線性項，稱該方程為線性線性：擬線性： 在非線性方程中，如果未知函數的所有最高階導數不是非線性，則稱此方程為擬線性 完全非線性：除擬線性之外的非線性方程二階，線性二階，擬線性二階，完全非線性3、齊次、非齊次 不含有未知函數及其偏導數的項自由項：自由項為零的方程齊次方程： 自由項不為零的方程非齊次方程： 非齊次齊 次二、 二階線性偏微分方程的分類，設則二階線性偏微分方程一般可表示為： A,B,C,D

2、,E,G,f 都是x,y的函數 二階線性方程的分類 ：為方程中自變量域內任意一點，則分類判別條件如下：（）若在點M處有： 則方程在該點處為雙曲線型 例如 （）若在點M處有： 則方程在該點處為拋物線型 例如 波動方程 熱傳導方程 （）若在點M處有： 則方程在該點處為橢圓型 例如 例1：判別下列方程的分類 當 ，即 異號，M點在二、四象限內，該區域內方程是雙曲型當 ，即 同號，M點在一、三象限內，該區域內方程是橢圓型當x或y為零，方程在x或y軸上是拋物型 拉普拉斯方程 三、三種典型方程的建立建立理論模型的原則步驟 抽象出系統的物化模型并簡化、假設 確定輸入、輸出變量和模型參數，建立數學模型 模型

3、求解 檢驗和修正所得的模型 1、均勻弦的微小橫振動方程的建立 設有一根均勻柔軟的細弦，張緊后兩端固定如圖，給弦以擾動，使其產生振動。確定弦上各點振動規律，即 確定位移 滿足的方程。解：取一小微元段 ，分析受力情況x 方向：u 方向：ABT1T20 xxxxu12G(1)(2)簡化假設 （1）弦是均勻的，所以質量均布，設單位長度弦的質量為 kg/m （5）弦是絕對柔軟的，不能抗彎，因此弦上各點張力與該點切 線方向一致。（2）弦的細小的，自重相比于張力顯得很小，可以忽略。（3）振動方向與弦長方向相垂直，且振動保持在一固定平面內 （4）振動是微小的，即弦上各點位移及弦的彎曲斜率很小 微元段的質量：G

4、 = 0 x 方向無運動，即：無外力的均勻弦微小橫振動方程 齊次一維波動方程x 方向：u 方向：ABT1T20 xxxxu12F(x,t)x 方向：u 方向：假設振動過程中，除了張力外，還有其它外力作用，設單位長度弦上的橫向外力為弦的強迫振動方程 非齊次一維波動方程2、熱傳導方程一根長為l的均勻細桿側面是絕熱，橫截面積足夠小以至在任何時刻都可以把斷面上所有點的溫度看作是相同。 設桿的截面積為S，比熱為C，導熱系數為k，密度為。 試確定溫度分布函數 滿足的方程。 x=0 x=lxx+x0熱量衡算：輸入輸出產生累計一維熱傳導方程: x處輸入的熱速率: xx處輸出的熱速率: 微元段累計的熱速率: 一

5、維熱傳導方程一維波動方程（無外力）（有外力）（無內熱源） 三維熱傳導方程 若物體內部有一個熱流，T(x,y,z,t)其分布函數為M(x,y,z)3、穩態方程（拉普拉斯方程）熱傳導持續進行下去，如果達到穩定狀態，溫度的空間分布不再變動，即 則方程變為穩態濃度分布方程 穩態溫度分布方程 三種典型方程是方程其中f 是任意函數 ,如的通解可以驗證對于方程：可以驗證為其通解泛定方程暫停：休息四、定解條件和定解問題1、初始條件（I.C.)： 初始時刻的狀態 （一）定解條件例1 對于弦的微小橫振動問題，假設初始速度為零， 初始位移符合正弦函數 初始條件給定的是整個系統的狀態，而不是某個局部（如入口、出口等）

6、的狀態。特別注意： 應是位置坐標的函數。 （1）第一類邊界條件已知函數直接給出未知函數 在邊界 上的值 （狄里赫利（Dirichlet） 例2 一根弦長為l ，兩端固定進行微小橫振動 ，建立其邊界條件。2、邊界條件（B.C.） 例3 細桿導熱問題中，桿長l，兩端分別保持溫度T1和T2 ，建立邊界條件。（2）第二類邊界條件已知導數（牛曼（Noumann）條件） 例4 細桿導熱問題中，桿長l，一端絕熱，另一端有恒定熱流q輸入，試建立邊界條件。x=0 x=l 熱流輸出怎樣？（3）第三類邊界條件混合邊界條件給出邊界上函數值與其法向導數構成的線性關系 （Robin條件） 例4 細桿導熱問題中，桿長l，一

7、端溫度為T0，另一端與溫度為T1的環境進行對流熱交換，試建立邊界條件。x=0 x=l（4）積分微分邊界條件 （5）銜接條件內外層壁： （二）定解問題 初值問題：只有初始條件，沒有邊界條件的定解問題 邊值問題： 沒有初始條件，只有邊界條件的定解問題 混合問題： 既有初始條件又有邊界條件的定解問題 定解問題 泛定方程（P.D.E) 定解條件 初始條件（B.C.）邊界條件（I.C.）五、線性迭加原理 所謂迭加：即幾種不同因素綜合作用于系統，產生的效果等于各因素獨立作用產生的效果之總和 線性迭加原理： 則級數 也是該方程之解 假設函數是線性齊次微分方程的特解。（i=1，2）六、分離變量法 例1、設兩端

8、固定的有界弦微小自由橫振動過程， 初始位移為(x)，初始速度為（x）解：（1）分離變量 設 （1） （2） （3） （4） 到33頁代入方程式（1）得 分離變量得 =設 于是可得到兩個常微分方程 到35頁= =+ 對于二階線性常系數常微分方程： 先求特征方程的解： 分三種情況 （）特征方程的根r1,r2為實數時 復 習（）特征方程的根r1=r2=r為重實數時 （）特征方程的根為復數，即 r1=+i r2= - i 返回31頁由邊界條件式（2）知 因為 所以只能 （5） （6） （）設0，則方程式（5）通解為（5） 由 由 （2）解定解問題 解固有值問題 到37頁解上述線性代數方程組得： 即 所

9、以 （）設 =0，方程（5）通解為由 由 即 所以 （）設 0，令 ，此時通解為由 由 因為B不能為零，所以只能所以稱為固有值（或本征值） -稱為固有函數（或本征函數） （7） 返回36頁返回54頁（3）求解不構成本征問題的常微分方程的通解（6） 將 代入上式 （8）將式（7）與式（8）相乘，得到一組特解 其中， 是任意常數（8）（7）（4）應用線性疊加原理求（5）由傅里葉級數確定系數（9）暫停：休息復習f(x)在l，l區間上的傅里葉展開式：在0，l區間上的只有余弦項的傅里葉展開式：在0，l區間上的只有正弦項的傅里葉展開式：傅里葉展開是基于三角函數的正交性根據正交性可直接確定系數：0000（1

10、0）至此， （9）（11）即構成了例1中定解問題的解（11）總結分離變量求解的關鍵點1、假設代入齊次方程進行分離變量；2、分離齊次邊界條件，組構本征值問題，并求解確定 本征值本征函數；3、求解另外一個常微分方程；4、用線性疊加原理寫出問題的解；5、代入初始條件，并用傅里葉展開法確定解中的常數。例 2 一維導熱問題（第三邊值條件）長為l 的均勻細桿，其側面（圓弧面）絕熱，桿的一端保持在0狀態下，另一端則與溫度為0環境介質進行自由熱交換。假設初始時刻溫度分布為(x)。試確定桿上各點溫度隨時間變化規律。 （1）（2）（3）（4）到第52頁（1）分離變量，設 代入方程（1）得： 于是得： （5） （6） 比較波動問題得到兩個常微分方程 ：返回上一頁由邊界條件式（2）（3）知（2） 解本征值問題 （7） （8） 式（5）與式（7）、式（8）構成本征值問題同前述同樣方法討論本征值的三種取值情況 經討論僅當0時才有非零解 設 于是方程式（5）通解為 由式（7）得 由式（8）得 則 即 得本征值(n =1，2，3 )得本征函數（(3） 將本征值代入式（6）并求解（4）由線性迭加原理得定解問題級數形式解(Cn =BnAn)（5）確定系數由初始條件由本證函數的正交性例 3、求解穩態問題 解：（1）分離變量 設 （1） （2） （3） 能否用分離變量法 求解？ 能