1、正交增量過程姓名：張轉花主要內容主要內容定義定義性質性質正交增量過程的協方差正交增量過程的協方差 上的正交增量過程上的正交增量過程正交增量過程與噪聲正交增量過程與噪聲正交增量過程的積分正交增量過程的積分，-定義定義：設設 是一二階矩過程，若對任意的是一二階矩過程，若對任意的有有 則稱則稱 是是T上的正交增量過程。上的正交增量過程。(t),tXT1234tttt2143( (t )(t )( (t )(t ) 0E XXXX(t),tXT性質：正交增量過程的協方差正交增量過程且X（a）=0，則具有以下性質(t),tTX , T ab,)Ta 或2221( , )( , )(min( , )s t

2、,sttsXXXXXC s tR s ts tT（）（2）當，且時， （） （）s t T，2221s=0 是正交增量過程，且X(0)=0,Z是一個標準正態隨機變量，且對 ，X（t) 與Z相互獨立，求Y(t）= X(t)+Z,t=0的協方差函數。 解 由于EX(t)=0,EZ=0,故Ey(t)=0,于是 0t ( , ) cov(Y(s),Y(t) cov(X(s) Z,X(t) Z)( , ) D(Z) R ( , ) 1min( , ) 1YXXXC s tC s ts tDs t 設X (t),t是正交增量過程，則存在唯一的分布函數F(即唯一的非降右連續函數），滿足 F(t)=0, t

3、F(t)=F(), t和 F(u)-F(t)=證明 對滿足定理條件的F，令t=-,則顯然有 F(u)=2()()XuXt u 對校驗函數F( )非降，由X(u)-X(t)和X(t)-X(-), 的正交性，有 (u)(t) ,XXu 222(u)(u)(t)(t)()(u)(t)(t)()(t)FXXXXXXXXF命題2(u) F(u)(u)(u)0,0FXX 即F(t)右連續 由假設X(t)的右連續性，有以同樣的計算，對于u u 例1.Brown運動 ， 是 上的正交增量過程，相應的分布函數滿足 tttEBttB，），2)()(-2，-tttFttFttF,2)()(,)(, 0)(22正交增

4、量過程與噪聲一、附屬函數 引理1 設x(t)， 是正交增量過程，那么對任意的rst 成立tTt)( T222)()(x)()(x)()(xrxsEsxtErxtE證明：222)()( x)()( x)()( x)()( x )()( x)()( x)()( xrxsEsxtErxssxtrxssxtErxtE現在取定 ，定義 0t定義 稱函數族G(t)+c中的函數為正交增量過程x( t), 的附屬函數。反之，如果二階矩過程x(t), 滿足上述定理而且它又是實的，那么x(t),是實正交增量過程應用引理容易推出 是 的單調減小函數，并且對任意的 有 因此，函數族 不依賴于 ，記為G(t)+c.0tG0t21tt212)()(-12txtxEtGtGtt）（）（ctGt)(00t)()()()()()()(t)()(t220020000sGtGsxtxEtxtxEtGttxtxEtGttt當）（時當TtTt定理 設x（t）， 是正交增量過程，G(t)是它的附屬函數，那么 Tt)()()()(2sGtGsxtxE(S=t)Tt（1）應用（1）推出定理定理2其它情形可類似證之正交增量過程中的積分（1）（2）（2）（3）（4