1、全等三角形的提高拓展訓練知識點睛全等三角形的性質：對應角相等，對應邊相等，對應邊上的中線相等，對應邊上的高相等，對應角的角平分線相等，面積相等.尋找對應邊和對應角，常用到以下方法：(1)全等三角形對應角所對的邊是對應邊，兩個對應角所夾的邊是對應邊(2)全等三角形對應邊所對的角是對應角，兩條對應邊所夾的角是對應角.(3)有公共邊的，公共邊常是對應邊.(4)有公共角的，公共角常是對應角.(5)有對頂角的，對頂角常是對應角.(6)兩個全等的不等邊三角形中一對最長邊(或最大角)是對應邊(或對應角)，一對最短邊(或最小角)是對應邊(或對應角).要想正確地表示兩個三角形全等，找出對應的元素是關鍵.全等三角

2、形的判定方法：(1)邊角邊定理(SAS):兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等.(2)角邊角定理(ASA):兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等.(3)邊邊邊定理(SSS:三邊對應相等的兩個三角形全等.(4)角角邊定理(AAS):兩個角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等.(5)斜邊、直角邊定理(HL):斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等.全等三角形的應用：運用三角形全等可以證明線段相等、角相等、兩直線垂直等問題，在證明的過程中，注意有時會添加輔助線.拓展關鍵點：能通過判定兩個三角形全等進而證明兩條線段間的位置關系和大小關系而證明兩條線段或兩個角的和、差、倍、分相等是幾

3、何證明的基礎.例題精講板塊一、截長補短【例1】已知ABC中，A60,BD、CE分別平分ABC和.ACB,BD、CE交于點O,試判斷BE、CD、BC的數量關系，并加以證明.【例2】如圖，點M為正三角形ABD的邊AB所在直線上的任意一點（點B除外），作DMN60,射線MN與ZDBA外角的平分線交于點N,DM與MN有怎樣的數量關系？D【變式拓展訓練】如圖，點M為正方形ABCD的邊AB上任意一點，MNDM且與ZABC外角的平分線交于點N,MD與MN有怎樣的數量關系?【例3】已知：如圖，ABCD是正方形，ZFAD=ZFAE.求證：BE+DF=AE.相交于點0.求證：0A平分DOE.【例4】以ABC的AB

4、、AC為邊向三角形外作等邊ABD、ACE,連結CD、BE【例5】如圖所示，ABC是邊長為1的正三角形，BDC是頂角為120的等腰三角形，以D為頂點作一個60的MDN，點M、N分別在AB、AC上，求AMN的周長.A/NMC一；CD/ABC+/AED=180【例6】五邊形ABCDE中，AB=AE,BC+DE=CD,求證：AD平分/CDE板塊二、全等與角度【例7】如圖，在ABC中，BAC60,AD是BAC的平分線，且ACABBD,求ABC的度數？BC,AIAnrTfIgDLA【例8在等腰ABC中，ABAC,頂角A20,在邊AB上取點D,使AD求BDC?【例91如圖所示，在ABC中，ACBC,BAN5

5、0ABM60,求NMB.C20,又M在AC上，N在BC上，且滿足BDC28,求DBCDAC12,CAB36,ABD48,【例10】在四邊形ABCD中，已知ABAC,的度數？ABD60,ADB76,【例11如圖所示，在四邊形ABCD中,求ACD的度數？【例12】在正ABC內取一點ABC外取一點E,使DBEDBC,且BEBA,求BED.【例13如圖所示，在ABC中，BACBCA44,M為ABC內一點，使得MCA30,MAC16,求BMC的度數？（含答D全等三角形證明經典50題1, 已知：AB=4,AC=2,D是BC中點，AD是整數，求AD延長AD到E,使DE=AD,則三角形ADC全等于三角形EBD

6、即BE=AC=2在三角形ABE中,AB-BE<AE<AB+BE即:10-2<2AD<10+24<AD<6又AD是整數，則AD=512, 已知：D是AB中點，/ACB=90°,求證：CDAB23, 已知：BC=DE,/B=/E,/C=/D,F是CD中點，求證：/證明：連接BF和EF。因為BC=ED,CF=DF,/BCF=/EDF。所以三角形BCF全等于三角形EDF（邊角邊）。所以BF=EF,/CBF=/DEF。連接BE。在三角形BEF中,BF=EF。所以/EBF=/BEF。又因為/ABC=/AED。所以/ABE=/AEB。所以AB=AE。在三角形AB

7、F和三角形AEF中,AB=AE,BF=EF,/ABF=/ABE+/EBF=/AEB+/BEF=/AEF。所以三角形ABF和三角形AEF全等。所以/BAF=/EAF(/1=/2)。4, 已知：/1=/2,CD=DE,EF/AB,求證:EF=AC證明:過E點，作EG/AC,交AD延長線于G則/DEG=/DCA,/DGE=/2又?？CD=DE?ADC6GDE(AAS)?EG=AC?/EF/AB?/DFE=/1?/仁/2?/DFE=/DGE?EF=EG?EF=AC5./B=2/C已知：AD平分/BAC,AC=AB+BD,求證:證明：在AC上截取AE=AB,連接ED?/AD平分/BAC?/EAD=/BA

8、D又？?？AE=AB,AD=AD?AED6ABD(SAS)?/AED=/B,DE=DB?/AC=AB+BDAC=AE+CE?CE=DE?/C=ZEDC?/AED=/C+ZEDC=2/C?/B=2ZC12.如圖，四邊形ABCD中，AB/DC,BE、CE分別平分ZABC、/BCD,且點E在AD上。求證：BC=AB+DC。證明：在BC上截取BF=BA,連接EF.ZABE=ZFBE,BE=BE,貝U"ABE也AFBE(SAS),ZEFB=ZA;AB平行于CD,則:ZA+ZD=180又ZEFB+ZEFC=180,則ZEFC=ZD;又ZFCE=ZDCE,CE=CE,故"FCE也4DCE

9、(AAS),FC=CD.所以,BC=BF+FC=AB+CD.EDB13?已知：ABED，/EAB=/BDE,AF=CD,EF=BC，求證：/F=/CAB/ED,AE/BD推出AE=BD,又有AF=CD,EF=BC所以三角形AEF全等于三角形DCB,所以：/C=/F14. 已知：AB=CD,/A=/D,求證：/B=/C證明：設線段AB,CD所在的直線交于E,（當AD<BC時，E點是射線BA,CD的交點,當AD>BC時，E點是射線AB,DC的交點）。則：AED是等腰三角形。所以：AE=DE而AB=CD所以：BE=CE（等量加等量，或等量減等量）所以：BEC是等腰三角形所以：角8二角C.

10、15. P是/BAC平分線AD上一點，AC>AB,求證：PC-PB<AC-AB作B關于AD的對稱點B因為AD是角BAC的平分線，B'在線段AC上（在AC中間,因為AB較短）因為PC<PB+B'C,PGPB<B'C,而B'C=AC-AB'=AC-AB,所以PC-PB<AC-AB16. 已知/ABC=3/C,Z1=/2,BELAE,求證：AC-AB=2BE/BAC=180-(/ABC+/C=180-4/C/1=/BAC/2=90-2/C/ABE=90-/1=2/C延長BE交AC于F因為，/1=/2,BE±AE所以，AB

11、F是等腰三角形AB=AF,BF=2BE/FBC=/ABC-/ABE=3/C-2/C=ZCBF=CFAC-AB=AC-AF=CF=BF=2BE17. 已知，E是AB中點，AF=BD,BD=5,AC=7,求DC作AG/BD交DE延長線于GAGE全等BDEAG=BD=5AGFsCDFAF=AG=5所以DC=CF=218. （5分）如圖，在ABC中，BD=DC,Z1=/2,求證：AD±BC.延長AD至H交BC于H;BD=DC;所以：/DBC=/角DCB;/仁/2;/DBC+/1=/角DCB+/2;/ABC=/ACB;所以：AB=AC;三角形ABD全等于三角形ACD;/BAD=/CAD;AD是

12、等腰三角形的頂角平分線所以：AD垂直BC19. （5分）如圖，0M平分/POQ,MA±OP,MB±OQ,A、B為垂足，AB交OM于點N.求證：/OAB=/OBA因為AOM與MOB都為直角三角形、共用OM,且/MOA=/MOB所以MA=MB所以/MAB=/MBA因為/OAM=/OBM=90度所以/OAB=90-/MAB/OBA=90-/MBA所以/OAB=/OBA20. （5分）如圖，已知AD/BC,ZFAB的平分線與/CBA的平分線相交于巳CE的連線交AP于D.求證：AD+BC=AB.證明：做BE的延長線，與AP相交于F點，?/PA/BC?/PAB+/CBA=180,又T,

13、AE,BE均為/PAB和/CBA的角平分線10?/EAB+/EBA=90AEB=90,EAB為直角三角形在三角形ABF中，AE±BF,且AE為/FAB的角平分線11?三角形FAB為等腰三角形，AB=AF,BE=EF在三角形DEF與三角形BEC中，/EBC=/DFE,且BE=EF，/DEF=/CEB,?三角形DEF與三角形BEC為全等三角形，？DF=BC21.(6分)如圖，ABC中，AD是/CAB的平分線，且AB=AC+CD,求證:?AB=AF=AD+DF=AD+BCC=2/B證明：在AB上找點巳使AE=AC?/AE=AC,/EAD=/CAD,AD=AD?ADEADC。DE=CD，/A

14、ED=/C?/AB=AC+CD,?DE=CD=AB-AC=AB-AE=BE/B=/EDB/C=ZB+/EDB=2/B22. (6分)如圖，E、F分別為線段AC上的兩個動點，且DE，AC于E,BF±AC于F,若AB=CD,AF=CE,BD交AC于點M.(1) 求證：MB=MD,ME=MF(2)當E、F兩點移動到如圖的位置時，其余條件不變，上述結論能否成立？若成立請給予證明；若不成立請說明理由.分析：通過證明兩個直角三角形全等，即RtADEC也RtzBFA以及垂線的性質得出四邊形BEDF是平行四邊形.再根據平行四邊形的性質得出結論解答：解：（1）連接BE,DF.?/DE±AC于

15、E,BF±AC于F,?/DEC=/BFA=90,DE/BF,在RtzDEC和RtABFA中，?/AF=CE,AB=CD,?RtADEC也RtABFA,?DE=BF.?四邊形BEDF是平行四邊形.?MB=MD,ME=MF;連接BE,DF.?/DE±AC于E,BF±AC于F,?/DEC=/BFA=90,DE/BF,在RtzDEC和RtABFA中，12?/AF=CE,AB=CD13?RtDEC也氐BFA,?E=BF.?四邊形BEDF是平行四邊形.?MB=MD,ME=MF.23. (7分)已知：如圖，DC/AB,且DC=AE,E為AB的中點，(1)求證：AEDEBC.(2

16、) 觀看圖前，在不添輔助線的情況下，除EBC外，請再寫出兩個與AAED的面積相等的三角形.(直接寫出結果，不要求證明)：(1)DC/AE,且DC=AE,所以四邊形AECD是平行四邊形。于是知AD=EC,且/EAD=/BEC。由AE=BE,所以AEDEBC。(2)AAEC、ACD、ECD都面積相等。24. (7分)如圖，ABC中，/BAC=90度，AB=AC,BD是/ABC的平分線,BD的延長線垂直于過C點的直線于E,直線CE交BA的延長線于F.求證：BD=2CE.證明：延長BA、CE,兩線相交于點F?/BE±CE?/BEF=/BEC=90在ABEF和ABEC中/FBE=/CBE,BE

17、=BE,/BEF=/BEC?BEFBEC(ASA)?EF=EC?CF=2CE?/ABD+/ADB=90,/ACF+/CDE=90又？/ADB=/CDE?/ABD=/ACF在AABD和AACF中/ABD=/ACF,AB=AC,/BAD=/CAF=90?ABDACF(ASA)?BD=CF?BD=2CE1425、(10分)如圖：DF=CEAD=BCZD=ZC。求證：AEDAABFG26、（10分）如圖：AEBC交于點MF點在AM上，BE/CF,BE=CF求證：AMlUAABC的中線。證明：?/BE|CF?/E=ZCFM,/EBM=/FCM?/BE=CF?BEMCFM?BM=CM?AM是AABC的中線

18、.27、（10分）如圖：在AABC中，BA=BCD是AC的中點。求證：BD±AG三角形ABD和三角形BCD的三條邊都相等，它們全等，所以角ADB和角CDB相等，它們的和是180度，所以都是90度，BD垂直ACBF=CF28、（10分）AB=ACDB=DCF是AD的延長線上的一點。求證：證明：在AABD與AACD中AB=ACBD=DCAD=AD?ABDACD/ADB=/ADC/BDF=/FDC在ABDF與AFDC中BD=DC/BDF=/FDCDF=DF?FBD也AFCD?BF=FC1529、（12分）如圖：AB=CDAE=DFCE=FB求證：AF=DE16因為AB=DCAE=DF,CE

19、=FBCE+EF=EF+FB所以三角形ABE二三角形CDF因為角DCB=角ABFAB=DCBF=CE三角形ABF=三角形CDE所以AF=DE30忿園里有一條“Z"字形道路ABCD，如圖所示，其中AB/CD,在AB,CD,BC三段路旁各有一只小石凳E,F,M,且BE=CF,M在BC的中點，試說明三只石凳E,F,M恰好在一條直線上？證：?/AB平彳fCD（已知）?/B=/C（兩直線平行，內錯角相等）?M在BC的中點（已知）?EM=FM（中點定義）在LBME和ACMF中BE=CF（已知）/B=/C（已證）EM=FM（已證）?BME全等與CMF（SAS）?/EMB=/FMC（全等三角形的對應

20、角相等）?/EMF=/EMB+/BMF=/FMC+/BMF=/BMC=18（等式的性質）?E,M,F在同一直線上31.已知：點A、F、E、C在同一條直線上，AF=CE,BE/DF,BE=DF.求證：ABECDF.證明:?/AF=CE?AF+EF=CE+EF?AE=CF?/BE/DF?/BEA=/DFC又?？BE=DF?/ABE6CDF(SAS)1732.已知：如圖所示，AB=AD,BC=DC,E、F分別是DC、BC的中點，求證：AE=AF。連結BD,得到等腰三角形ABD和等腰三角形BDC,由等腰兩底角相等得:角ADC在結合已知條件證得：ADEABF得AE=AF/5=/6.33.如圖，在四邊形A

21、BCD中，E是AC上的一點，/1=/2,/3=/4,求證：因為角仁角2/3=/4所以角ADC=角ABC.又因為AC是公共邊，所以AAS=三角形ADC全等于三角形ABC.所以BC等于DC，角3等于角4,EC=EC三角形DEC全等于三角形BEC所以/5=/634.已知AB/DE,BC/EF,D,C在AF上，且AD=CF,求證：AAB4ADEF.因為D,C在AF上且AD=CF所以AC=DF又因為AB平行DE,BC平彳fEF所以角A+角EDF,角BCA二角F（兩直線平行，內錯角相等）然后SSA（角角邊）三角形全等35.已知：女口圖，AB=AC,BDAC,CEAB,垂足分另U為D、E,BD、CE相交于點

22、F,求證：BE=CD證明：因為AB=AC,所以/EBC=/DCB因為BD±AC,CE±AB所以/BEC=/CDBBC=CB（公共邊）則有三角形EBC全等于三角形DCB所以BE=CD18DF1ACTFoAB于A,BC=AE.若AB=5，求AD的長？36、如圖，在ABC中，AD為/BAC的平分線,求證：DE=DF.AASffiAADEBAADF37 .已知：如圖,ACBC于C,DEAC于E,AD角C二角E=90度角8=角EAD=90度-角BACBC=AEABCDAEAD=AB=538 .如圖：AB=AC,ME±AB,MF±AC，垂足分別為證明E、F,白求證：

23、MB=MC?AB=AC-A?ABC是等腰二角形aJ?/B=/C/又？ME=MF,BEM和ACEM是直角三角形?BEM全等于CEM匚F?MB=MC/、BMC40?在ABC中，ACB90,ACBC,直線MN經過點C,且ADMN于D,BEMN于E.(1)當直線MN繞點C旋轉到圖1的位置時，求證：ADC也CEB:成立，說明理由DELAB于E,(1)證明：？?/ACB=9019?/ACD+/BCE=90,而AD，MN于D,BE，MN于E,20;(2)AM±ANO?/ADC=/CEB=90,/BCE+/CBE=90,?/ACD=/CBE.在以ADC和RtACEB中，/ADC=/CEB/ACD=/

24、CBEAC=CB?RtAADC也RtCEB(AAS),?AD=CE,DC=BE,?DE=DC+CE=BE+AD;(2)不成立，證明：在八ADC和ACEB中，/ADC=/CEB=90/ACD=/CBEAC=CB?ADCCEB(AAS),?AD=CE,DC=BE,?DE=CE-CD=AD-BE;41.如圖所示，已知AE±ABAF±AC,AE=ABAF=AC求證：(1)EC=BF(2)EC±BF(1) 證明；因為AE垂直AB所以角EAB=角EAC+角CAB=90度因為AF垂直AC所以角CAF=角CAB+角BAF=90度所以角EAC=角BAF因為AE=ABAF=AC所以三

25、角形EAC和三角形FAB全等所以EC=BF角ECA=角F(2) 延長FB與EC的延長線交于點G因為角ECA二角F(已證)所以角6二角CAF因為角CAF=90度所以EC垂直BF42.如圖：BE±AC,CF±AB,BM=AC,CN=AB。求證：證(1)AM=AN明：(1)?/BE±AC,CF±AB?/ABM+/BAC=90,/ACN+/BAC=90?/ABM=/ACN?/BM=AC,CN=AB?ABMNAC?AM=AN(2)?/ABMNAC?/BAM=/N?/N+/BAN=90?/BAM+/BAN=9021即/MAN=90求證:BC/EF連接BF、?AM&#

26、177;AN43 .如圖，已知/A=/D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.CE,證明ABF全等于DEC(SAS),BCEF然后通過四邊形BCEF對邊相等的證得平行四邊形從而求得BC平行于EF44 .如圖，已知AC/BD,EA、EB分別平分/CAB和/DBA,CD過點巳貝UAB與AC+BD相等嗎？請說明理由在AB上取點N,使得AN=AC/CAE=/EAN,AE為公共邊,所以三角形CAE全等三角形EAN所以/ANE=/ACE又AC平行BD所以/ACE+/BDE=180而/ANE+/ENB=180所以/ENB=/BDE/NBE=/EBNBE為公共邊,所以三角形EBN全等三角形EBD所以BD=BN所以AB=AN+BN=AC+BD，且DF=DE.求證:BE/CF.45、（10分）如圖，已知：AD是BC上的中線證明：?/AD是中線?BD=CD?/DF=DE,/BDE=/CDF