1、迎戰2012年高考數學函數的奇偶性與周期公式推導方法一、奇函數、偶函數對于函數f(x)，其定義域關于原點對稱:1、對于函數f(X)的定義域內任意一個X，都有f(x)=f(x)或f+f(x)=0，則稱f(x)為奇函數.2、對于函數f(x)的定義域內任意一個x,都有f(x)=f(x)或f(x)f(x)=0，則稱f(x)為偶函數.二、判斷函數的奇偶性1、定義法判斷有解析式的函數的奇偶性例1、判斷下列函數的奇偶性：(1)f(x)=|x+1|x1|；f(x)=(1+x)、1:；(3)f(x)1x12|x2|2(4)f(x)x(1x)(x0),x(1x)(x0).15剖析：根據函數奇偶性的定義進行判斷.解

2、：(1)函數的定義域x(x，+X)，對稱于原點f(x)=|x+1|x1|=|x1|x+1|=(|x+1|x1|)=f(x)f(x)=|x+1|x1|是奇函數.所以f(x)1x先確定函數的定義域.由>0，得1<xv1，其定義域不對稱于原點,1x既不是奇函數也不是偶函數。解：函數f(x)(1x定義域-f(x)'1(x)2Jx2f(x)是偶函數f(x)(1x(3)去掉絕對值符號,根據定義判斷1x20,由lx2I21°，得xx1,0且x4.的定義域為-1,0)U(0,關于原點對稱，且有x+2>0.從而有f(x)=1x2x22，這時有f(一x)x.1(x)2故f(x)

3、為奇函數.(4函數f(x)的定義域是(一x,0)U(0,+%),并且當x>0時，一xv0,f(x)=(x)1(x)=x(1+x)=f(x)(x>0).當xv0時，一x>0,.°.f(x)=x(1x)=f(x)(xv0).故函數f(x)為奇函數.評述：(1)分段函數的奇偶性應分段證明(2)判斷函數的奇偶性應先求定義域再化簡函數解析式證明抽象函數的奇偶性例2、已知f(x)是定義在R上的不恒為零的函數，且對于任意的a,bR都滿足：f(ab)=af(b)+bf(a).求f(0),f(1)的值；(2)判斷f(x)的奇偶性，并證明你的結論.分析：應用公式f(ab)=af(b)+

4、bf(a),取a、b的一些特殊的值進行計算.解：(1)f(0)=f(00)=0f(0)+0f(0)=0；由f(1)=f(11)=1f(1)+1f(1),得f(1)=0.(2)f(x)是奇函數.證明：因為f(1)=f(1)2=f(1)f(1)=0,所以f(1)=0,f(x)=f(1x)=f(x)+xf(1)=f(x).因此，f(x)為奇函數.點評：研究抽象函數的奇偶性，應緊緊圍繞題目所給的抽象函數的性質進行研究.如果覺得所給抽象函數的性質符合某些已知函數(如二次函數等)的性質，可以用已知函數替代抽象函數進行思考，探索求解思路。例3、定義在區間(1,1)上的函數f(x)滿足：對任意的x，y(1,1

5、)，都有f(x)f(y)f().求證：f(x)為奇函數;1xy思路點撥欲證明f(x)為奇函數，就要證明f(x)f(x)，但這是抽象函數，應設f(xy)”中的x，y進行合1xy法充分利用條件“對任意的X，y(1,1)，都有f(x)f(y)理“賦值”解析令x=y=0,則f(0)+f(0)=f(10)=f(0)f(0)=0令x(1,1)x(1,1)xx.f(x)+f(x)=f(1x2)=f(0)=0二f(x)=f(x)f(x)在(1,1)上為奇函數“賦值”，而抽象函數的點評：對于抽象函數的奇偶性問題，解決的關鍵是巧妙進行不等式問題，要靈活利用已知條件，尤其是f(x1)f(x2)=f(x1)+f(x2

6、)奇偶函數的性質及其應用1、奇偶函數圖象的對稱性(1)奇函數的圖象關于原點對稱,偶函數的圖象關于y軸對稱。(2)若yf(ax)是偶函數f(ax)f(ax)f(x)的圖象關于直線xa對稱;稱;若yf(bx)是奇函數f(bx)f(bx)f(x)的圖象關于點(b，°)中心對例、若函數f(x)在(4，)上為減函數，且對任意的xR，有f(4X)f(4x)，則A、f(2)f(3)B、f(2)f(5)C、f(3)f(5)D、f(3)f(6)2、(1)偶函數的和、差、積、商(分母不為0)仍為偶函數。(2)奇函數的和、差仍為奇函數，奇數(偶數)個奇函數的積、商(分母不為0)為奇(偶)函數。(4)奇函數

7、與偶函數的積為奇函數(5)定義在(,+%)上的任意函數f(x)都可以唯一表示成一個奇函數與一個偶函數之和(1)若f(x)是奇函數且在x0處有定義，則f(0)0。(逆否命題可判斷一個函數不是奇函數)(2)奇函數的反函數也為奇函數。(3)若f(x)0，則f(x)既是奇函數又是偶函數，若f(x)m(m°),則f(x)是偶函數。函數的周期性公式1、定義：對于函數f(x)，如果存在一個非零常數T,使得定義域內的每一個X值，都滿足f(xT)f(x)，那么函數f(x)就叫做周期函數，非零常數T叫做這個函數的周期。周期性不僅僅是三角函數的專利，抽象函數的周期性是高考熱點，主要難點是抽象函數周期的發現

8、，主要有幾種情況：2、抽象函數的周期(1)若函數f(x)滿足f(ax)f(bx)(ab)，則f(x)的周期是t(2)若函數f(x)滿足f(ax)f(bx)(ab)，則f(x)的周期是T2ba(3)若函數f(x)滿足f(ax)f(bx)1(ab)，則f(x)的周期是(4)函數圖象有xa，xb(ab)兩條對稱軸型，即f(xa)=f(ax)，f(b(5)x)=f(bx)，則f(x)的周期是T2ba函數f(x)滿足f(xa)fi)(ab)'則f(x)的周期是T證明：(1)(2)對于定義域中任意x滿足f(ax)f(bx)0(ab)，則有f(x(2b2a)f(x)，故函數f(x)的周期是T2(ba

9、)(3)若f(xa)f(xb)1(ab)，則得f(x2a)f(x2a)(2b2a)，所以函數f(x)的周期是T2b2a；同理若f(xa)f(xb)1(ab)，則f(x)的周期是T2(ba)(4)函數圖象有xaxb(ab)兩條對稱軸,即f(ax)f(ax)f(bx)f(bx)從而得f(x2a)(2b2a)f(x)，故函數f(x)的周期是T2(ba)(5)由f(xa)11f(xf(xa)(ab)b)得f(x2a)f(x2b)，進而得f(x2a)f(x2b)1由前面的結論得f(x)的周期是T4(ba)用函數周期性例題解析例1.(1996年高考題)設f(x)是()上的奇函數，f(2x)f(x),當0x

10、1時,f(x)x，則f(7.5)等于(A)0.5;(B)-0.5;(C)1.5;(D)-1.5.分析：此題的關鍵在于求yf(x)的周期，如果類比模型函數ysinx及誘導公式sin(x)sinx，將由ysinx最小正周期為2，可以猜想f(x)周期為224，會使問題得以解決.解：f(4x)f2(2x)f(x2)f(x)f(x)f(4x)f(x),故函數的周期為4.f(7.5)f(80.5)f(0.5)f(0.5)0x1時,f(x)x,f(7.5)0.5,選擇(B).例2.(1989年北京市中學生數學競賽題)已知f(x)是定義在實數集上的函數，且f(x2)1f(x)1f(x)，f(1)23,求f(1

11、989)的值.分析：回顧三角部分的知識，不難發現tg(x-)4匚型與f(x)滿足的關系式的結構完全類似1tgx由于tgx的周期,而這個一相當于原題中的442,于是可猜想:f(x)是以428為其一個周期的周期函數解：由已知得f(x2)曽,那么f(4x)2(2x)1f(2x)1f(2x)11f(x)1f(x)1f(x)1f(x)f(8x)(4x)1f(4x)f(x)，即函數f(x)是以8為周期的周期函數.由于f(1)23知,f(8k1)f(1)2,3f(1989)f(19854)1f(1985)f(248181)1f(1)12.3(2,3)、.32,f(1989)2.二、比較函數值大小例3.若f(

12、x)(xR)是以2為周期的偶函數，當0,1時,f(x)x19981,試比較f(98)、19101104f(石)、f(石)的大小.解：f(x)(xR)是以2為周期的偶函數,98f(98)謂)謂)f(6診f(6古)14f(6決16f(律)f(J6),1919115f(石)f(W)15191、17'f(x)1x1998在0,1上是增函數，且0丄1716191f(17)1614陽101f()f(茯即f(1798咗)104三、求函數解析式例4.(1989年高考題)設f(X)是定義在區間(,)上且以2為周期的函數，對kZ，用|k表示區間(2k1,2k1),已知當x|0時，f(x)2x2.求f(x)

13、在Ik上的解析式解：設x(2k1,2k1),2k1x2k11x2k1x|0時，有2f(x)x2,由1x2k1得f(x2k)(x2k)2f(x)是以2為周期的函數，f(x2k)f(x),f(x)(x2k)2.例5設f(x)是定義在(,)上以2為周期的周期函數，且f(x)是偶函數，在區間2,3上,2f(x)2(x3)24.求x1,2時，f(x)的解析式解：當x3,2，即x2,3，f(x)f(x)2(x3)242(x3)24又f(x)是以2為周期的周期函數，于是當x1,2,即3x42時,有f(x)f(x4)f(x)22(x4)3242(x1)24(1x2).f(x)2(x1)24(1x2).四、判斷

14、函數奇偶性例6.已知f(x)的周期為4,且等式f(2x)f(2x)對任意xR均成立,判斷函數f(x)的奇偶性.解：由f(x)的周期為4,得f(x)f(4x)，由f(2x)f(2x)得f(x)f(4x),f(x)f(x),故f(x)為偶函數.五、確定函數圖象與x軸交點的個數例7.設函數f(x)對任意實數x滿足f(2x)f(2x),f(7x)f(7x)且f(0)0,判斷函數f(x)圖象在區間30,30上與x軸至少有多少個交點解：由題設知函數f(x)圖象關于直線x2和x7對稱，又由函數的性質得f(x)是以10為周期的函數.在一個周期區間0,10上，f(0)0,f(4)f(22)f(22)f(0)0且

15、f(x)不能恒為零，故f(X)圖象與X軸至少有2個交點.而區間30,30有6個周期，故在閉區間30,30上f(x)圖象與x軸至少有13個交點.a31a21a21tg()41tg()4tg(2-時tg(n1)4,于是an1an11an1tg(n不難用歸納法證明數列的通項為：antg(n44于是有1,5,91997是以4為公差的等差數列，)，且以4為周期.a1a5a9a1997，由19971(n1)4得總項數為500項,六、在數列中的應用例8.在數列an中，a1.3,an1an1(n2),求數列的通項公式，并計算1Bn1a1a5a9a1997-分析：此題的思路與例2思路類似解：令a1tg,貝Ua2

16、11tgtg()1a11tg4a1a5a9a1997500a15003.七、在二項式中的應用例9.今天是星期三，試求今天后的第9292天是星期幾？分析：轉化為二項式的展開式后，利用一周為七天這個循環數來進行計算即可解：9292(911)92C929192C929191C；0912C；29119292(7131)92C92(713)92C；2(713)91C<92)(713)2c92(713)1因為展開式中前92項中均有7這個因子，最后一項為1,即為余數，故9292天為星期四.八、復數中的應用例10.(上海市1994年高考題)設z丄-i(i是虛數單位)，則滿足等式zn乙且大于122的正整數

17、n中最小的是(A)3；(B)4；(C)6；(D)7分析：運用z1 3-I方幕的周期性求值即可.2 2解：nzz,z(zn1)0zn11，3z1,n1必須是3的倍數，即n13k(kN),n3k1(kN).k1時,n最小，(n)min4.故選擇(B)九、解“立幾”題例f(3)為周期的函數，從而f(119)f(4293)f(3)，又由已知等式得f(1)又由f(x)是R上的偶函數得f(1)f(1)，又在已知等式中令x1得f(1)f(1)1，即f(1)1，所以f(119)1.ABCDAB1C1D1是單位長方體，黑白二蟻都從點A出發，沿棱向前爬行，每走一條棱稱為“走完一段”。白蟻爬行的路線是AA1A1D1

18、,黑蟻爬行的路線是ABBB1.它們都遵循如下規則：所爬行的第i2段所在直線與第i段所在直線必須是異面直線(其中iN).設黑白二蟻走完第1990段后，各停止在正方體的某個頂點處，這時黑白蟻的距離是(A)1；(B).2；(C)、.3；(D)0.解：依條件列出白蟻的路線AA,A1D1D1C1C1CCBBAAA1,立即可以發現白蟻走完六段后又回到了A點.可驗證知：黑白二蟻走完六段后必回到起點，可以判斷每六段是一個周期.1990=63314，因此原問題就轉化為考慮黑白二蟻走完四段后的位置，不難計算出在走完四段后黑蟻在D1點，白蟻在C點，故所求距離是.2.例12、已知定義在R上的偶函數f(x)滿足f(x2)f(x)1對于xR恒成立，且f(x)0，則f(119)1f(x2)解析由f(x2)f(x)1f(X4)f(x)，可見f(x)是以4函數的周期公式推導方法112a?f(x+a)=-f(x),f(x+a)=，f(x+a)=,這幾個式子的周期為什么是f(x)f(x)1.f(