1、數(shù)列通項與求和常見方法歸納、知能要點1、求通項公式的方法:(1)觀察法：找項與項數(shù)的關(guān)系,然后猜想檢驗，即得通項公式an；S1(2)利用前n項和與通項的關(guān)系公式法:SSn 1n>2；利用等差(比)數(shù)列求通項公式;(4)累加法:轉(zhuǎn)化法:an+1=Aa+B(Aw0,且 Aw 1).2、求和常用的方法:,e 一一 ,*2。+1如 an+1 - an = f ( n),累積法，如= f(n);an公式法:Snn(a an)2na1n(n 1)d2Snna(qa(1 qn)1 q1)(q 1)(2)裂項求和:將數(shù)列的通項分成兩個式子的代數(shù)差，即，然后累加時抵消中間的許多項.應(yīng)掌握以下常見的裂項:D

2、 1-n(n 1)D 1n(nk)1k2 12(k 11 _±_k k 12(k 1)k k(k 1)k k 1n(n 1)( n 2)2 n(n 1) (n 1)(n 2),n x n 1、. n , n 、n 12(、，n(3)錯位相減法：如果數(shù)列的通項是由一個等差數(shù)列的通項與一個等比數(shù)列的通項相乘構(gòu)成,那么常選用錯位相減法(這也是等比數(shù)列前 n項和公式的推導(dǎo)方法).(4)倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項和有其共性,則常可考慮選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和(這是等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)方法).(5)分組求和法：在直接運用公式法求和有困難時,常將“和式”中“同類項”

3、先合并在一起，再運用公式法求和、知能運用典型例題考點1:求數(shù)列的通項題型 1 an 1anf (n)解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為ananf （n）,利用累加法（逐差相加法）求解。【例1】已知數(shù)列 an滿足a1an 1 an一，求 an。 n解：由條件知：an 1 an1n(n 1)別令 n 1,2,3,(n1)上式得 （n 1）個等式累加之a(chǎn)1)a?) (a，a3)(a nan 1)(12)(23)(34)1) n所以ana111a1 2，an 2 1題型2an 1 f(n)an解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an 1f（n）,利用累乘法（逐商相乘法）求解。【例2】已知數(shù)列 an滿足解：由條件知土 ana

4、2 ? a3 ? a4a a2 a3題型3 an 1解法（待定系數(shù)法【例3】已知數(shù)列ana1.3求an o*12 an 12 31,2,3,(n1），代入上式得ana1(na11）個等式累乘之，即2 an3npan q （其中p, q均為常數(shù)，且 pq（ p 1）：轉(zhuǎn)化為：an 1 t p（an t）,其中t0)。q,再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。pan 中，a11 , an 1 2an解：設(shè)遞推公式an 1 2an3可以轉(zhuǎn)化為an 1 t2(ant）即an 1 2an t t 3 .故遞推公式為an 132( an3),令 bnan3,則 “a13 4 ,且也 bnan 13 2 .所以b

5、n是以“4為首項，2為an 3公比的等比數(shù)列,則 bn 4 2n12n1,所以 an2n 1 3.題型4 an 1pan qn（其中p, q均為常數(shù)，且pq（p 1）（q1) 0)。( 或 an 1pan rq n,其中p, q, r 均為常數(shù)）。解法：一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以1,得:P oan?q qn1 1引入輔助數(shù)列qbn (其中bn包)n ) , q得：bn 1 bnq1 一1再待定系數(shù)法解決。q【例4】已知數(shù)列an 中，a15 , an61一 an3an °一,1斛：在 an 1-an3(1)n 1兩邊乘以2n 1得：2n21?an12 門產(chǎn)？an)n2令 bn

6、2 ?an,則 bn1 -bn 1,解之得：bn33 2(2)n3b 1 -1 -nnnann 3(-)2(-)223題型5遞推公式為Sn與an的關(guān)系式。(或Snf)一Si 解法：這種類型一般利用 ann S Sn51(n ° 與 anSn(n 2) nnSnf (an)f(anJ 消去 Sn (n2)或與 Sn f (Sn Sn1)(n 2)消去an進(jìn)行求解。【例5】已知數(shù)列an前n項和Sn 求an 1與an的關(guān)系；(2)求通項公式解：由Sn4 an12n 2得：Sn 1an 1L 2n 1是Sn1 Sn(anan 1 )12n 1所以an12n 1an 11 2an12n(2)應(yīng)

7、用題型4( an 1Pan,其中p, q均為常數(shù)，且pq(p1)(q1) 0)的方法，上式兩邊同乘以2n 1 得:2n1an12nan2由 a1S1a1L21 2a11 .于是數(shù)列2n a。是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列2nan22(n1) 2nn2n 1題型6an 1rPan (P 0,an0)解法：這種類型一般是等式兩邊取對數(shù)后轉(zhuǎn)化為an 1 pan q ,再利用待定系數(shù)法求解。【例6】已知數(shù)列an中，a11,an 11 a2 (a a0),求數(shù)列an的通項公式。_.12 一解：由an 1 an兩邊取對數(shù)得lgana2lganig1,a-1令bn lg an，則bn 1 2bn ig再利

8、用待定系數(shù)法解得:a12n 1a(一)。a考點2:數(shù)列求和題型1公式法【例71已知an是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列 bn滿足bi1也1.，二,anbn 1 bn 1 nbn -3an的通項公式;(2)bn的前n項和.解:1(1)依題 ab+b2=b1, b1=1, b2=，解得 a2 3通項公式為an=2+3( n-1)=3 n-1,11一(2)由(I)知3nb+1=nbn, bn+尸一bn,所以bn是公比為一的等比數(shù)列31 (3)n所以bn的前n項和S=31 131_2 3n題型2裂項求和【例8】Sn為數(shù)列 an的前n項和.已知an >0,(1)求an的通項公式;5,1 一(2)設(shè)bn

9、,求數(shù)列 bn的刖n項和.anan 1解析：(1) an =2n 1 ；(2)由(1)知，bn =一(2n 1)(2n 3) 2 2n 112分2an2an4sh3 .)，2n 3所以數(shù)列 bn前n項和為b1 b2Mbn=i 5) (5 3川(2n 1)=-2n 36 4n 6題型3錯位相減求和* 一【例9】已知數(shù)列 an和bn滿足，& 2,b1 1,am 23(n N ),bl b2b3 Ibnbn 1 1(n N ).23 11 n求an與bn ；(2)記數(shù)列anbn的前n項和為Tn ,求Tn .解析：(1)由 a1 2,an 1 2an,得 為 2n.當(dāng) n 1 時，h b2 1

10、,故b2 2.1b n 1當(dāng)n 2時，一4 bn 1 bn,整理得,所以bn n.nbnn(2)由(1)知，anbn n 2n所以 Tn 2 2 22 3 231 11n 2n2Tn222 23324) 11 (n1) 2n n 2n 1所以 Tn2Tn Tn22223| 112n n 2n 1(1 n)2n 1 2所以 Tn (n 1)2n 1 2.題型4分組求和【例10已知an是等差數(shù)列，滿足 31 = 3, 34= 12,數(shù)列bn滿足b1 = 4, b4=20,且ban為等比數(shù)列.(1)求數(shù)列 an和 bn的通項公式；(2)求數(shù)列bn的前n項和.解：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,由題意

11、得a4 a112 3所以 an= a1+ ( n- 1)d= 3n( n= 1, 2,).設(shè)等比數(shù)列bn an的公比為q,由題意得解得q=2.3 b4a4 20 12q=b =8,所以 bnan= ( b1a1)qnT= 2n，從而 bn= 3n+2nT( n= 1, 2,).(2)由(1)知 bn=3n+2n Xn= 1, 2,).3 1 2n n數(shù)列3n的刖n項和為彳n( n+1),數(shù)列2 的刖n項和為1 x -= 2 - 1,21 2所以，數(shù)列bn的前n項和為|n(n+1) + 2n1.三、知能運用訓(xùn)練題1、(1)已知數(shù)列an中，a1 2,anan 12n 1(n 2),求數(shù)列an的通項

12、公式;(2)已知Sn為數(shù)列an的前n項和,1, Snan,求數(shù)列an的通項公式.【解】(1)2,an an 1 2n1(n2),an2n 1(anan 1) (an 1an 2)(an 23) a1) a1(2n1) (2n3)(2n5)n(2n 1 1)(2) a11,Snn2 an,n 2時,Sn 1(n 1)2an 1anSnSn 12n an(n 1)2an 1anan 1an 1an 2an 2an 3aa2%a1 a12n(n 1)2、已知數(shù)列an 中，a11,an2an3,求數(shù)列an的通項公式.【解】an1 2an 3,an3 2(an3)an 3是以2為公比的等比數(shù)列，其首項為

13、a12n 1an 2n 1 3.3、已知數(shù)列an中,a11,an1 2an 3n，求數(shù)列an的通項公式.an1 2anan 1 an_ n_ n22(4an廠bn 則 bn 1bn4、已知bnan(bn bn1) (bn1bn 2)(b2b1)biSn為數(shù)列an的前n項和,Sn3an2(n,n2),求數(shù)列an的通項公式.當(dāng) n 1 時，a1 S1 3ala11,當(dāng) n 2時，an & Sn1(3an 2)(3an2).2an 3anan3an 12an3是以3為公比的等比數(shù)歹u,2其首項為a11,an(I廣5、已知數(shù)列an中，a1 1, an1 3an 3n,求數(shù)列an的通項公式.【解

14、析】an 13an 3n ,an 1ana 人 a n_n _n 11，胃 ,n 1bn333數(shù)列bn是等差數(shù)列,bn 1 1(n 1) n,nan n 36、已知數(shù)列an中,a11色 2, an12Tan 1 二 an332(n 3),求數(shù)列an的通項公式.【解】由an2/曰-an 2 倚 anan31 (an 13an 2 )(n3)又a2a10,所以數(shù)列an 1an2是以1為首項，公比為 一的等比數(shù)列,3an 13)nan(anan(an 1 an 2 ) (an 2an 3)(a? a) a17、已知數(shù)列(1)求數(shù)列(2)設(shè) bn(3)n28 5(3)n2、n 33)(3)2( I)1

15、an是首項為正數(shù)的等差數(shù)列，數(shù)列an的通項公式;1an ?an 1的前n項和為n2n 1an 1 2an,求數(shù)列bn的前n項和Tn.【解析】(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d ,11,得a1a21-c一，所以 aa2 3.3(2)所以2,得aa2a2a32 所以5a2a3 15.解得司1,d 2,所以an 2n 1.由(I)知 bn 2n22n 44n，所以Tn1 41424n,4Tn 12_342 4(n1) 4兩式相減，得3Tn41424n4n 14(1 4n)1 43n34n 1所以Tn3n9(3n 1) 4n 198、已知數(shù)列an的前n2+ nn 項和 S = -2 ,nCN*.(1)求數(shù)列a

16、n的通項公式;(2)設(shè)bn= 2an+ ( 1)nan,求數(shù)列b的前2n項和.解：(1)當(dāng) n= 1 時，a1= S = 1;當(dāng) n>2 時)an = Si Si-1 =產(chǎn)+ n (n1) 2+ ( n1)=n.22故數(shù)列an的通項公式為an= n.(2)由(1)知，bn=2n+(1)nn.記數(shù)列bn的前 2n 項和為 T,則 T2n= (2 1+22+ 22n) + ( 1 + 23+4+ 2n).記 A= 21 + 22+ 22n, B= 1 + 2 3+4+ 2n,貝匹 24 =2-2, I 2B= ( 1+ 2) +(-3+4)+-+ - (2 n- 1) + 2n = n.故數(shù)

17、列bn的前 2n 項和 Tan = A+ B= 22n+1+n-2. 29、已知數(shù)列an的前n項和&=3n+8n, 0是等差數(shù)列，且an b bn 1.求數(shù)列bn的通項公式;(2)令Cn(an1-.求數(shù)列Cn的前n項和Tn.(bn 2)n解析：(1)由題意知當(dāng)n 2時，anSn Sn 1 6n 5,當(dāng) n 1時，& S111,所以 an 6n 5.a1b b2n 11 2b1 d設(shè)數(shù)列bn的公差為d ,由，即，可解得b14,d3,a2 b2 h 17 2b13d所以bn 3n 1.(2)由(l)知 Cn (6n 6)n 3(n 1) 2n 1,(3n 3)n又 TnC1C2 C

18、3Cn，得 Tn3 2 22 3 23 4 24 (n 1) 2n 1,_345n 2_2Tn 3 2 23 24 2 (n 1) 2 ,兩式作差，得Tn3 2 22 23n 210、等比數(shù)列 an的各項均為正數(shù)，且 2a1 3a2 1,a32求數(shù)列an的通項公式; 242n 1 (n 1) 2n 2n13 44(2 n1)2 1(n1) 2n 2所以 Tn 3n 2n 29a2 a6.(2)設(shè) bnlog3a log 3 a2log 3an,求數(shù)歹U bn的前n項和.解析：(1)設(shè)數(shù)列an的公比為q,由a2 9a2a6得039a2所以q21。9(211、由條件可知a>0,故q 1 q 3° 由 2 a1 3a21 得 2ai3a2q)bn故工bn所以數(shù)列在公差為10g3 ailog 3 a2log 3 ann(n 1)1-的前12(- nb1(1 2 n(n1 2.b21)1bnn項和為2nn 1d的等差數(shù)列 a中，已知n)2(1,所以a11。故數(shù)列a n的通項式為(1 2 .3)n(n 1)21112) (23) ."2nn 1日=10,且a,2a2+2,5 a3成等比數(shù)歹U.an=X。3n求 d, an；(2)若 d<0,求 | a +1 a2| +