1、會計學(xué)1經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分極限存在經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分極限存在(cnzi)準(zhǔn)則準(zhǔn)則第一頁，共33頁。準(zhǔn)則準(zhǔn)則 如果數(shù)列如果數(shù)列nnyx ,及及 nz滿足下列條件滿足下列條件: : ,lim,lim)2()3 , 2 , 1()1(azaynzxynnnnnnn 那末數(shù)列那末數(shù)列nx的極限存在的極限存在, , 且且axnn lim. . 證證,azaynn使得使得, 0, 0, 021 NN 第1頁/共32頁第二頁，共33頁。,1 ayNnn時時恒恒有有當(dāng)當(dāng),max21NNN 取取恒恒有有時時當(dāng)當(dāng),Nn , ayan即即,2 azNnn時時恒恒有有當(dāng)當(dāng), azan上兩式同時上兩式同時(tngsh)成立成立

2、, azxyannn,成立成立即即 axn.limaxnn 上述數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則上述數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則(zhnz)可以推廣到函數(shù)的極可以推廣到函數(shù)的極限限第2頁/共32頁第三頁，共33頁。準(zhǔn)則準(zhǔn)則 如果當(dāng)如果當(dāng)),(00 xUx ( (或或Mx ) )時時, ,有有 ,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx 那末那末)(lim)(0 xfxxx 存在存在, , 且等于且等于A. . 注意注意(zh (zh y):y):.,的的極極限限是是容容易易求求的的與與并并且且與與鍵鍵是是構(gòu)構(gòu)造造出出利利用用夾夾逼逼準(zhǔn)準(zhǔn)則則求求極極限限關(guān)關(guān)nnn

3、nzyzy準(zhǔn)則準(zhǔn)則(zhnz) I和準(zhǔn)則和準(zhǔn)則(zhnz) I稱為夾逼準(zhǔn)則稱為夾逼準(zhǔn)則(zhnz).第3頁/共32頁第四頁，共33頁。例例1 1).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夾逼定理由夾逼定理(dngl)得得. 1)12111(lim222 nnnnn第4頁/共32頁第五頁，共33頁。AC作為準(zhǔn)則作為準(zhǔn)則的應(yīng)用，下面證明一個重要的應(yīng)用，下面證明一個重要(zhngyo)的極限的極限1sinlim0 xxx,O設(shè)設(shè)單單位位圓圓如如右右圖圖，,tan,si

4、nACxABxBDx 弧弧于于是是有有xoBD.ACO ，得作單位圓的切線,xOAB的圓心角為扇形,BDOAB的高為 (0)2AOBxx 圓圓心心角角第5頁/共32頁第六頁，共33頁。,tansinxxx , 1sincos xxx即即.02也也成成立立上上式式對對于于 x,20時時當(dāng)當(dāng) xxxcos11cos0 2sin22x 2)2(2x ,22x , 02lim20 xx, 0)cos1(lim0 xx, 1coslim0 xx, 11lim0 x又又. 1sinlim0 xxx第6頁/共32頁第七頁，共33頁。例例2 2.cos1lim20 xxx 求求解解2202sin2limxxx

5、 原式原式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 第7頁/共32頁第八頁，共33頁。x1x2x3x1 nxnx滿滿足足條條件件如如果果數(shù)數(shù)列列nx,121 nnxxxx單調(diào)單調(diào)(dndio)增增加加,121 nnxxxx單調(diào)單調(diào)(dndio)減少減少單調(diào)單調(diào)(dndio)數(shù)列數(shù)列準(zhǔn)準(zhǔn)則則 單單調(diào)調(diào)有有界界數(shù)數(shù)列列必必有有極極限限.幾何解釋幾何解釋:AM第8頁/共32頁第九頁，共33頁。.)(333的的極極限限存存在在式式重重根根證證明明數(shù)數(shù)列列nxn 例例3 3證證,1nnxx 顯然顯然 ;是單調(diào)遞增的是單調(diào)遞增的nx, 331 x又又, 3

6、 kx假假定定kkxx 3133 , 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ,31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx ,32AA 2131,2131 AA解解得得(舍去舍去).2131lim nnx第9頁/共32頁第十頁，共33頁。exxx )11(lim定義定義(dngy)ennn )11(limnnnx)11( 設(shè)設(shè) 21! 2)1(1! 11nnnnn).11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn nnnnnnn1!)1()1( 作為準(zhǔn)則作為準(zhǔn)則(zhnz)的應(yīng)用，可以證明一個重要的的應(yīng)用，可以證明一個重要的極限極限第10頁/共3

7、2頁第十一頁，共33頁。).11()221)(111()!1(1)111()221)(111(!1)111(! 21111 nnnnnnnnnnnxn,1nnxx 顯然顯然 ;是是單單調(diào)調(diào)遞遞增增的的nx!1! 2111nxn 1212111 n1213 n, 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ennn )11(lim記為記為)71828. 2( e類似類似(li s)地地,第11頁/共32頁第十二頁，共33頁。因因此此的的極極限限都都存存在在且且等等于于時時，函函數(shù)數(shù)或或取取實實數(shù)數(shù)而而趨趨向向可可以以證證明明，當(dāng)當(dāng),)11(exxx .)11(limexxx ezzxxzz

8、z 10)1(lim,01于于是是有有時時，則則當(dāng)當(dāng)利利用用代代換換第12頁/共32頁第十三頁，共33頁。例例4 4.)11(limxxx 求求解解xxx )11(1lim1)11(lim xxx原式原式.1e 例例5 5.)23(lim2xxxx 求求解解422)211()211(lim xxxx原原式式.2e 第13頁/共32頁第十四頁，共33頁。例例6 6解解.)1ln(lim0 xxx 求求. 1ln)1(limln)1ln(lim)1ln(lim10100 exxxxxxxxx第14頁/共32頁第十五頁，共33頁。例例7 7解解)1ln(lim1lim00uuxeuxx .1lim0

9、 xexx 求求,1uex 令令),1ln(ux 即即, 0,0ux有有時時則則當(dāng)當(dāng)uuu)1ln(1lim0 . 1 第15頁/共32頁第十六頁，共33頁。則則，年年利利率率為為稱稱為為本本金金設(shè)設(shè)一一筆筆貸貸款款,)(0rA)1(01rAA 一一年年后后本本利利和和2012)1()1(rArAA 兩年后本利和兩年后本利和kkrAAk)1(0 年年后后本本利利和和，則則，年年利利率率仍仍為為期期計計息息如如果果一一年年分分rn，于于是是一一年年后后的的本本利利和和每每期期利利率率為為nrnnrAA)1(01 第16頁/共32頁第十七頁，共33頁。nkknrAAk)1(0 年后本利和年后本利和

10、年年后后的的本本利利和和，則則稱稱為為連連續(xù)續(xù)復(fù)復(fù)利利復(fù)復(fù)利利，即即每每時時每每刻刻計計算算如如果果計計息息期期數(shù)數(shù)kn)( rkrkrnnnknkeArnAnrAA00011lim)1(lim 第17頁/共32頁第十八頁，共33頁。1.兩個兩個(lin )準(zhǔn)則準(zhǔn)則2.兩個兩個(lin )重要重要極限極限夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則; 單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則 .; 1sinlim10 某過程某過程.)1(lim210e 某過程某過程,為某過程中的無窮小為某過程中的無窮小設(shè)設(shè) 第18頁/共32頁第十九頁，共33頁。思考題思考題 有小兔一對，若第二個月它們成年，第三個月生下小兔一對，以后每月生產(chǎn)小兔一對.

11、而所生小兔亦在第二個月成年，第三個月生產(chǎn)另一對小兔，以后每月亦生產(chǎn)小兔一對. 假定每產(chǎn)一對小兔必為一雌一雄，且均無死亡，試問一年后共有小兔幾對？并求出許多年后，兔子(t zi)總對數(shù)的月增長率.第19頁/共32頁第二十頁，共33頁。 解解 若用若用“”、“”分別表示一對未成年分別表示一對未成年和成年的兔子，則根據(jù)和成年的兔子，則根據(jù)(gnj)題設(shè)有下面的小題設(shè)有下面的小兔繁殖數(shù)量圖：兔繁殖數(shù)量圖： 去年12月 1今年 1 月 12 月 23 月 34 月 55 月 86 月 13 從上圖可看出, 從三月份開始, 每月的兔子總數(shù)恰好等于(dngy)它前面兩個月的兔子總數(shù)之和. 按此第20頁/共3

12、2頁第二十一頁，共33頁。規(guī)律(gul)可寫出數(shù)列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233可見(kjin)一年后共有兔子233對. 按上述規(guī)律(gul)寫出的無限項數(shù)列為著名的斐波那契(Fibonacci)數(shù)列, 其通項為 1125125151nnnF且此數(shù)列有遞推關(guān)系：), 2 , 1 , 0(12nFFFnnn第21頁/共32頁第二十二頁，共33頁。月相對就是第則記1%100) 1(,1nbFFbnnnn第n月的兔子對數(shù)的增長率 nnbnlim), 2 , 1 , 0(若數(shù)的月就表示許多年后兔子對則存在) 1lim(,nnb增長率。nnblim存在(cnzi)

13、的證明及求法如下：證), 2 , 1(111111110nbFFFFFFFbbnnnnnnnnn第22頁/共32頁第二十三頁，共33頁。用數(shù)學(xué)(shxu)歸納法容易證明：數(shù)列2nb是單調(diào)增加的；數(shù)列12 nb是單調(diào)減少的.又, 對一切223, 0nbn成立. 即數(shù)列 、2nb12 nb是有界的.根據(jù)“單調(diào)有界數(shù)列必有極限(jxin)”的準(zhǔn)則可知數(shù)列 和 的極限存在, 分別記作b*和b* , 即 2nb12 nbbbbbnnnn122lim,lim得兩邊取極限及分別對,1111212122nnnnbbbb第23頁/共32頁第二十四頁，共33頁。bbbb1111與兩式相減，得bbbbbb, 1.l

14、imlim, 0122bbbbbbnnnn否則有即由此得).1(, 0112nbbbbb因這是不可能的，得而由bbbbnnnn lim,lim即記作存在因此bbbbnn11,111得兩邊取極限對第24頁/共32頁第二十五頁，共33頁。解上方程，得 ，因為 故251b, 1nb618. 1251b即618. 1limlim1nnnnnFFb從而618. 01limnnb故許多年后兔子(t zi)的總對數(shù)均以每月61.8%的速率增長.第25頁/共32頁第二十六頁，共33頁。思考題思考題求極限求極限(jxin) xxxx193lim 第26頁/共32頁第二十七頁，共33頁。思考題解答思考題解答(ji

15、d) xxxx193lim xxxxx111319lim xxxxx 313311lim9990 e第27頁/共32頁第二十八頁，共33頁。練練 習(xí)習(xí) 題題._3cotlim. 40 xxx一、填空題一、填空題:._sinlim. 10 xxx._3sin2sinlim. 20 xxx._2sinlim. 5 xxx._cotlim. 30 xxxarc第28頁/共32頁第二十九頁，共33頁。xxx2tan4)(tanlim. 2 ._)1(lim. 72 xxxx._)11(lim. 8 xxxxxxxsin2cos1lim. 10 xxaxax)(lim. 3 二、求下列各極限二、求下列各極限:._)1(lim. 610 xxx第29頁/共32頁第三十頁，共33頁。nnnn)11(lim. 42 第30頁/共32頁第三十一頁，共33頁。練習(xí)題答練習(xí)題答案案第31頁/共32