1、四四. 實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣是一類特殊的矩陣，它們一定可以對角化。實對稱矩陣是一類特殊的矩陣，它們一定可以對角化。即存在可逆矩陣即存在可逆矩陣 , 使得使得P1P AP 更可找到正交矩陣更可找到正交矩陣 ，使得，使得1TAT T定理定理1 1：實對稱矩陣的特征值為實數：實對稱矩陣的特征值為實數. .證：設證：設 是是 的任一特征值，往證的任一特征值，往證 A 是對應于是對應于 的特征向量，的特征向量， 那么那么, (0)A 設設12nxxx 用用 表示表示 的共軛復數，的共軛復數， 表示表示 的共軛復向量。的共軛復向量。 那么那么 (1)A 又又 是實對稱矩陣，是實對

2、稱矩陣， 且且AAA.TAA = (2)AAA由由(1)(2)有有 = ,A 等號兩邊同時左乘等號兩邊同時左乘T 左邊左邊()TT 右邊右邊()() ()TTTTTTAAA TT 即即()0T 思索思索1212(,)Tnnxxx xxx 1122nnxxxxxx 222120nxxx (0) 0 即即 為實數。為實數。 定理定理1 1的意義：的意義：由于對稱矩陣由于對稱矩陣 的特征值的特征值 為實數，所以齊次線性方程組為實數，所以齊次線性方程組又由于又由于 ，可知該齊次線性方程組一定有實的，可知該齊次線性方程組一定有實的根底解系，從而對應的特征向量可以取實向量。根底解系，從而對應的特征向量可以

3、取實向量。Ai ()0iAE x 0iAE 是實系數方程組。是實系數方程組。定理定理2：實對稱矩陣：實對稱矩陣 的對應于不同特征值的特征向量正交。的對應于不同特征值的特征向量正交。A12,pp是依次與之對應的特征向量。是依次與之對應的特征向量。證：設證：設 是對稱矩陣是對稱矩陣 的兩個特征值，且的兩個特征值，且12,A12, 那么那么11122212, ()AppApp 11,TTTp Ap A 于是于是 11212122TTTp pp A ppp 212,Tp p 12120.Tp p,21 120.Tp pA為實對稱矩陣，為實對稱矩陣，TAA 11111TTTppAp 思索思索1212(,

4、)0Tpppp即即 正交。正交。12,pp定理定理3： 為為 階實對稱矩陣，階實對稱矩陣， 是是 的的 重特征值，重特征值，An0 Ak即即 的根底解系所含向量個數為的根底解系所含向量個數為.k0()0AE X 那么對應于那么對應于 的特征向量中，線性無關的向量的個數為的特征向量中，線性無關的向量的個數為 0 ,k0(),knr AE 那么那么 0().r AEnk 知道結論即可知道結論即可定理定理4：(實對稱矩陣必可對角化實對稱矩陣必可對角化)對于任一對于任一 階實對稱矩陣階實對稱矩陣 ，nA一定存在一定存在 階正交矩陣階正交矩陣 使得使得n,T1.TAT 其中其中 是以是以 的的 個特征值

5、為對角元素的對角陣。個特征值為對角元素的對角陣。 An證：設實對稱陣證：設實對稱陣 的互不相等的特征值為的互不相等的特征值為A12,s 它們的重數依次為它們的重數依次為12,sr rr那么那么12srrrn 由定理，特征值由定理，特征值 重數為重數為 對應的線性無關的對應的線性無關的特征向量為特征向量為 個。個。 i irir把它們正交化，再單位化，即得把它們正交化，再單位化，即得 個單位正交的特征向量。個單位正交的特征向量。ir12 srrrn 所以，可得這樣的單位正交向量所以，可得這樣的單位正交向量 個。個。n又又 是實對稱陣，是實對稱陣，A上面得到的上面得到的 個單位特征向量兩兩正交。個

6、單位特征向量兩兩正交。n以它們為列向量構成正交矩陣以它們為列向量構成正交矩陣 ，有，有T11TATTT 不同特征值對應的特征向量正交，不同特征值對應的特征向量正交，其中其中 的對角元素含有的對角元素含有 個個 1r1 2r2 個個srs 個個恰是恰是 的的 個特征值。個特征值。An求正交矩陣求正交矩陣 ，把實對稱矩陣，把實對稱矩陣 化為對角陣的方法：化為對角陣的方法：TA1. 解特征方程解特征方程0,AE 求出對稱陣求出對稱陣 的全部不同的特征值。的全部不同的特征值。A即求齊次線性方程組即求齊次線性方程組()0iAE X 的根底解系。的根底解系。3. 將屬于每個將屬于每個 的特征向量先正交化，

7、再單位化。的特征向量先正交化，再單位化。i 2. 對每個特征值對每個特征值 ，求出對應的特征向量，求出對應的特征向量，i 這樣共可得到這樣共可得到 個兩兩正交的單位特征向量個兩兩正交的單位特征向量n12,n 4. 以以 為列向量構成正交矩陣為列向量構成正交矩陣12,n 12(,)nT 有有1TAT 即即111rrTAT 必需留意：對角陣中必需留意：對角陣中 的順序的順序12,n 12,n 要與特征向量要與特征向量 的陳列順序一致。的陳列順序一致。例例1：設：設324202 ,423A T求正交矩陣求正交矩陣 ，1TAT 使得使得 為對角陣。為對角陣。解：解：32422423AE 218 0 1

8、231,8. 當當 時，齊次線性方程組為時，齊次線性方程組為121 0AE X 424212424AE 212000000 得根底解系得根底解系112 ,0p 202 .1p 21322xxx 令令1310,01xx 令令先正交化：先正交化：1112 ,0p 21221114501(,)4222(,)55101pp 再單位化：令再單位化：令1151122,5500 244355522535351535 當當 時，齊次線性方程組為時，齊次線性方程組為38 80AE X 5248282425AE 1011012000 132312xxxx 令令31x 得根底解系得根底解系311,21p 單位化得單

9、位化得3213211,323123 123(,)T 得正交矩陣得正交矩陣142353 5221353 552033 5 有有1118TAT 例例2：設：設T求正交矩陣求正交矩陣 ，1TAT 使得使得 為對角陣。為對角陣。220212 ,020A 解：解： 20212022EA 214 0 1234,1,2. 當當 時，由時，由14 40,AE x 2204232024AE 102012000 122 .1p 即即132322xxxx 得根底解系得根底解系只需把只需把 單位化，得單位化，得1p12 32 3 ,1 3 思索為什么？思索為什么？當當 時，由時，由21 0,AE x 120202021AE 120021000 221.2p 即即123222xxxx 得根底解系得根底解系只需把只需把 單位化，得單位化，得2p,3231322 當當