試題試題2024北京北師大實驗中學高二12月月考數學2024年12月本試卷共4頁，共150分．考試時長120分鐘．考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．第一部分（選擇題，共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.2.已知表示圓，則實數的取值范圍為（）.A. B. C. D.3.從本不同的書中選出本分配給位同學，每人一本，則分配方案總數為（）A. B. C. D.4.平的內動點滿足方程，則動點的軌跡方程為（）A. B. C. D.5.已知拋物線的焦點為，點在上．若到直線的距離為5，則（）A.7 B.6 C.5 D.46.芻甍（chúméng）是中國古代算數中的一種幾何體，它是底面為矩形的屋脊狀的楔體．現有一個芻甍（如圖），底面為矩形，且，平面和為全等的正三角形，，則平面和底面的夾角的余弦值為（）A. B. C. D.7.如圖，某同學用兩根木條釘成十字架，并交于點，制成一個橢圓儀．木條中間分別挖一道槽，在另一活動木條的處鉆一個小孔，可以容納筆尖，、各在一條槽內移動，可以光滑移動以保證與的長度不變，當、各在一條槽內移動時，處筆尖就畫出一個橢圓．已知，且在橢圓的右頂點時，恰好在點，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.8.已知雙曲線的中心在原點，以坐標軸為對稱軸．則“的離心率為”是“的一條漸近線為”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件9.若橢圓與雙曲線有相同的焦點是兩曲線的一個交點，則的面積是（）A. B.1 C.2 D.410.已知是平自直角坐標系中的點集．設是中兩點間距離的最大值，是表示的圖形的面積，則（）A. B. C. D.第二部分（非選擇題，共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.已知空間向量，若，則__________．12.若直線與雙曲線只有一個公共點，則的一個取值為________．13.直線：被圓：截得的弦長最短，則實數______.14.如圖，在四棱錐中，平面，底面為正方形，，點分別為的中點，點為內的一個動點（包括邊界），若平面，則點的軌跡的長度為__________.15.已知曲線過原點，且除原點外的所有點均滿足其到原點的距離的立方與該點的橫縱坐標之積的比值為定值，給出下列四個結論：①曲線關于對稱；②若點在曲線上，則其方程為；③對于任意，曲線圍成的圖形的面積一定小于；④存在，使得曲線上有5個整點（即橫、縱坐標均為整數的點）．其中所有正確結論的序號是__________．三、解答題共6小題，共85分．解答題應寫出文字說明，驗算步驟或證明過程．16.有四個數字，（1）可以組成多少個四位數？（2）可以組成多少個無重復數字的四位偶數？（3）若將由這四個數字組成的無重復數字的四位數從小到大排列，則第10個四位數是多少？（直接寫出答案即可）17.已知點是拋物線的焦點，過點且斜率為的直線與拋物線交于兩點，是線段的中點．（1）當時，求與的坐標．（2）為坐標原點，記直線的斜率為，若，求直線的方程．18.如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，是的中點，且平面．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）在線段上是否存在點，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，說明理由．19.已知過點，直線．（1）求的方程；（2）已知與關于直線對稱，求直線被截得的弦長；（3）若是直線上的動點，為上的動點，為坐標原點，直接寫出的最小值．20.已知橢圓，過點的直線交橢圓于點．（1）當直線與軸垂直時，求；（2）在軸上是否存在定點，使為定值？若存在，求點的坐標及的值；若不存在，說明理由．21.已知橢圓過點，且離心率．（1）求橢圓的方程；（2）已知、是橢圓的左、右焦點，是第一象限內橢圓上的一點，分別連接并延長交橢圓于點分別表示和的面積，求的最大值．

參考答案第一部分（選擇題，共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.【答案】D【分析】將直線方程一般式化成斜截式方程，根據直線斜率與直線傾斜角的關系進行求解即可.【詳解】，所以該直線的斜率為，因此該直線的傾斜角為，故選：D2.【答案】D【分析】利用圓的方程的條件求解即可.【詳解】因為表示圓，所以，解得或，即實數的取值范圍是.故選:D.3.【答案】B【分析】利用排列組合直接求解.【詳解】由題可得，.故選：B4.【答案】A【分析】利用橢圓的定義求解即可.【詳解】由題意，點Px,y到兩個定點的距離之和等于，根據橢圓的定義可知，點Px,y的軌跡為焦點為的橢圓，且，，即，則，所以動點的軌跡方程為.故選：A.5.【答案】D【分析】利用拋物線的定義求解即可.【詳解】因為拋物線的焦點，準線方程為，點在上，所以到準線的距離為，又到直線的距離為，所以，故.故選：D.6.【答案】B【分析】利用等邊三角形的性質、矩形的性質，結合線面平行的性質、二面角的定義、平面與平面夾角定義進行求解即可.【詳解】取的中點，連接，因為為矩形，所以有，而，因此，因為平面，平面平面，所以，因此，因為，所以在矩形中，，因為和為全等的正三角形，所以，，，因為，，所以是平面和底面所成二面角的平面角.在等腰梯形中，過做，顯然，于是有，因此平面和底面的夾角的余弦值為，故選：B7.【答案】C【分析】設，則，由題意可得，，根據離心率公式即可求解.【詳解】由題意知與的長度不變，已知，設，則，當滑動到位置處時，點在上頂點或下頂點，則短半軸長，當在右頂點時，恰好在點，則長半軸長，故離心率為.故選：C.8.【答案】D【分析】根據題意，分別從充分性和必要性兩方面進行檢驗即可求解.【詳解】若雙曲線的離心率為，則，所以，若雙曲線的焦點在軸上，則漸近線方程為；若雙曲線的焦點在軸上，則漸近線方程為；所以“的離心率為”不是“的一條漸近線為”的充分條件；反之，雙曲線的一條漸近線為，若雙曲線的焦點在軸上，則漸近線方程為，所以，離心率；若雙曲線的焦點在軸上，則漸近線方程為，所以，離心率；所以“的離心率為”不是“的一條漸近線為”的必要條件；綜上：“的離心率為”是“的一條漸近線為”的既不充分也不必要條件，故選：D.9.【答案】B【分析】由題設中的條件，設兩個圓錐曲線的焦距為，橢圓的長軸長，雙曲線的實軸長為，由它們有相同的焦點，得到．根據雙曲線和橢圓的定義可得，，在中由三邊的關系得出其為直角三角形，由的面積公式即可運算得到結果．【詳解】由題意設兩個圓錐曲線的焦距為，橢圓的長軸長，雙曲線的實軸長為，由它們有相同的焦點，得到，即．不妨令P在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義，①由橢圓的定義，②①2②2得，即有，又，可得，，即，則的形狀是直角三角形即有的面積為，故B正確.故選：B．10.【答案】C【分析】先以t為變量，分析可知所求集合表示的圖形即為平面區域，結合圖形分析求解即可.【詳解】對任意給定，則，且，可知，即，再結合x的任意性，所以所求集合表示的圖形即為平面區域，如圖陰影部分所示，其中，可知任意兩點間距離最大值，陰影部分面積.故選：C.【點睛】方法點睛：數形結合的重點是“以形助數”，在解題時要注意培養這種思想意識，做到心中有圖，見數想圖，以開拓自己的思維．使用數形結合法的前提是題目中的條件有明確的幾何意義，解題時要準確把握條件、結論與幾何圖形的對應關系，準確利用幾何圖形中的相關結論求解．第二部分（非選擇題，共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.【答案】4【分析】根據空間向量共線的坐標運算可得答案.【詳解】若，則，解得，則.故答案為：4.12.【答案】（或，答案不唯一）【分析】聯立直線方程與雙曲線方程，根據交點個數與方程根的情況列式即可求解.【詳解】聯立，化簡并整理得：，由題意得或，解得或無解，即，經檢驗，符合題意.故答案為：（或，答案不唯一）.13.【答案】【分析】根據直線的方程，求得直線所過的定點，進而判斷點在圓內，由圓的性質可得當時弦長最短，進而求解即可.【詳解】直線的方程可化為，由，得，所以直線過定點.圓：，圓心，半徑為2，因為，所以點在圓內.設直線與圓交于，兩點，則當時，取最小值，由，得，所以.故答案為：.14.【答案】##【分析】記的中點為，點的軌跡與交于點，則平面平面，建立空間直角坐標系，利用垂直于平面，的法向量確定點的位置，利用向量即可得解.【詳解】由題知，兩兩垂直，以為原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，記的中點為，連接，因為為正方形，為中點，所以，且，所以為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，記點的軌跡與交于點，由題知平面，因為是平面內的相交直線，所以平面平面，所以即為點的軌跡，因為，所以，設，則，設為平面的法向量，則，令得，因為，所以，解得，則，又所以，所以.故答案為：【點睛】關鍵點睛：本題關鍵在于利用向量垂直確定點的軌跡與的交點位置，然后利用向量運算求解即可.15.【答案】①③④【分析】首先根據已知條件求出曲線方程，運用曲線的對稱性判斷①；將代入曲線方程即可判斷②；利用基本不等式放縮解決曲線所圍圖形面積判斷③；由整點定義判斷④.【詳解】對于①，先求曲線方程，設曲線上除原點外一點為，由已知，即.若點在曲線上，則也滿足曲線方程，所以曲線關于直線對稱，①正確；對于②，將代入曲線方程，得，即，故，此時方程為，②錯誤；對于③，，所以，所以在以圓心為，半徑為的圓內，結合圖形知道，③正確；對于④，由于，所以，由可知，，故其圖象在第一、三象限，由曲線的對稱性可知，要使曲線上有5個整點，則曲線在第一象限內有兩個整點，當整點為時，，此時整點都在曲線上，其有3個整點，不滿足題意；當整點為時，，此時整點均在曲線上，且均不在曲線上，其有5個整點，滿足題意，④正確.故答案為：①③④【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵是求出曲線方程，后運用性質，如對稱性，整點，面積借助放縮成半圓即可求解.三、解答題共6小題，共85分．解答題應寫出文字說明，驗算步驟或證明過程．16.【答案】（1）192（2）10（3）2130【分析】（1）依次考慮千位、百位、十位、個位的數字，根據分步乘法計數原理可得答案；（2）分個位是0、2兩種情況計算可得答案；（3）分千位數字是1、2兩種情況計算可得答案.【小問1詳解】依次考慮千位、百位、十位、個位的數字，根據分步乘法計數原理，共有個；【小問2詳解】當個位是0時，共有個無重復數字的四位偶數；當個位是2時，千位是1或3，共有個無重復數字的四位偶數，因此，共有個；【小問3詳解】當千位數字是1時，由這四個數字組成的無重復數字的四位數共有個；當千位數字是2百位數字是0時，由這四個數字組成的無重復數字的四位數共有個，當千位數字是2百位數字是1時，由這四個數字組成的無重復數字的四位數共有個，所以由這四個數字組成的無重復數字的四位數從小到大排列，則第10個四位數是2130．17.【答案】（1），中點（2）【分析】（1）利用方程組和韋達定理即可求解中點坐標和弦長；（2）利用方程組和韋達定理即可求解直線方程.【小問1詳解】拋物線的焦點F1,0，當時，直線聯立，消去得:，，所以設點Ax1由韋達定理，設中點，則，，所以中點的坐標為，所以由過焦點弦長公式得：，【小問2詳解】直線，聯立，消去得，，所以設點Ax1由韋達定理，因為，，解得，所以的方程為．18.【答案】（1）證明見解析（2）（3）存在滿足條件的點，【分析】（1）利用線面垂直的判定定理直接證明即可；（2）建立空間直角坐標系，利用向量法直接求面面角的余弦值即可；（3）設，即可表示出，由線面平行可得，即可求解.【小問1詳解】在菱形中，連接，得等邊，因為是的中點，所以，因為平面平面，所以．因為平面平面，且，所以平面．【小問2詳解】因為平面平面，則有，由(1)知，故兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標系，因為，所以為等邊三角形，同理也為等邊三角形，則，設平面的一個法向量為m=x,y,z則令得，又因為平面，所以平面的一個法向量為，所以，故平面與平面夾角的余弦值為．【小問3詳解】設，則，若平面，則，解得，故存在滿足條件的點，且．19.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根據圓心在弦的垂直平分線上，可以聯立兩個垂直平分線方程求得，再由兩點之間距離公式求得半徑即可得到圓的方程；（2）根據點與關于直線對稱，求出坐標，再結合幾何法直接求弦長；（3）作出草圖，根據對稱得到，可知當三點共線時，取得最小值，進而求解即可.【小問1詳解】由題知，直線的垂直平分線方程為，由，線段中點為，可知線段的垂直平分線方程為，因此聯立，解得，即點．又因為，所以，圓．【小問2詳解】由題知，點與關于直線對稱，設，則，可得點直線，即，點到直線的距離為，因為的半徑為，所以直線截所得的弦長為.【小問3詳解】點到直線距離為，設點與關于直線對稱，設，則，可得點，則作圖如下