1、備戰2021年九年級中考復習數學高分沖刺訓練幾何專題：胡不歸問題（一）1如圖，菱形ABCD的邊長為6，B120°點P是對角線AC上一點（不與端點A重合），則AP+PD的最小值為 2如圖，M為矩形ABCD中AD邊中點，E、F分別為BC、CD上的動點，且BE2DF，若AB1，BC2，則ME+2AF的最小值為 3如圖，在直角坐標系中，直線l1：yx+與x軸交于點C，與y軸變于點A，分別以OC、OA為邊作矩形ABCO，點D、E在直線AC上，且DE1，則BD+CE的最小值是 4如圖，平行四邊形ABCD中，DAB30°，AB6，BC2，P為邊CD上的一動點，則PB+PD的最小值等于 5

2、菱形ABCD邊長為4，ABC60°，點E為邊AB的中點，點F為AD上一動點，連接EF、BF，并將BEF沿BF翻折得BEF，連接E'C，取E'C的中點為點G，連接DG，則2DG+EC最小值為 6如圖，等邊ABC中，AB10，點E為AC中點，D是線段BE上的一個動點，則CD+BD的最小值是 7如圖，已知點A坐標為（，1），B為x軸正半軸上一動點，則AOB度數為 ，在點B運動的過程中AB+OB的最小值為 8如圖，四邊形ABCD是菱形，AB8，且ABC60°，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，則AM+BM的最小值為 9如圖，ABC中，ABAC10，tanA2，B

3、EAC于點E，D是線段BE上的一個動點，則CD+BD的最小值是 10在平面直角坐標系中，點A的坐標為（2，0），點B為（0，1），若C為線段OA上一動點，則BC+AC的最小值是 11在ABC中，ACB90°，ABC60°，P為AC上一動點，AB10，則2BP+AP的最小值為 12如圖，矩形ABCD中AB3，BC，E為線段AB上一動點，連接CE，則AE+CE的最小值為 13在直角三角形ABC中，ABC90°，BAC30°，BC2，P是AB邊上一動點，則PC+AP的最小值為 14如圖，直線yx3分別交x軸、y軸于B、A兩點，點C（0，1）在y軸上，點P在x軸

4、上運動，則PC+PB的最小值為 15在平面直角坐標系中，已知，A（2，0），C（0，1），若P為線段OA上一動點，則CP+AP的最小值為 16如圖，在矩形ABCD中，AD4，AB4，E，F分別是BD，BC上的一動點，且BF2DE，則AF+2AE的最小值是 17如圖，ABAC，A（0，），C（1，0），D為射線AO上一點，一動點P從A出發，運動路徑為ADC，在AD上的速度為4個單位/秒，在CD上的速度為1個單位/秒，則整個運動時間最少時，D的坐標為 18如圖，P為菱形ABCD內一點，且P到A、B兩點的距離相等，若C60°，CD4，則PB+PD的最小值為 19如圖，在ABC中，CAB30

5、°，ACB90°，AC3，D為AB的中點，E為線段AC上任意一點（不與端點重合），當E點在線段AC上運動時，則DE+CE的最小值為 20如圖，ABCD中，DAB30°，AB8，BC3，P為邊CD上的一動點，則PB+PD的最小值等于 21如圖，ABCD中，DAB30°，AB6，BC2，P為邊CD上的一動點，則2PB+PD的最小值等于 22如圖，ABC中，ABAC10，tanA3，CDAB于點D，點E是線段CD的一個動點，則BE+CE的最小值是 參考答案1解：如圖，過點P作PEAB于點E，過點D作DFAB于點F，四邊形ABCD是菱形，且B120°，

6、DACCAB30°，PEAP，DAF60°，ADF30°，AFAD63，DF3，AP+PDPE+PD，當點D，P，E三點共線且DEAB時，PE+DP的值最小，最小值為DF的長，AP+PD的最小值為3故答案為：32解：如圖，過點M作MHBC于H設DFx，則BE2x四邊形ABCD是矩形，BADBD90°，MHBC，MHB90°，四邊形ABHM是矩形，AMDMBH1，ABMH1，EH12x，ME+2AF+2+，欲求ME+2AF的最小值，相當于在x軸上找一點Q（2x，0），使得點Q到J（0，4），和K（1，1）的距離之和最小（如下圖），作點J關于x軸的

7、對稱點J，連接KJ交x軸于Q，連接JQ，此時JQ+QK的值最小，最小值KJ，J（0，4），K（1，1），KJ，ME+2AF的最小值為，故答案為3解：如圖，過點B作BMAC交x軸于M，在直線BM上截取BBDE1，過點B作BFOM于F，過點E作EHOC于H，連接BHyx+與x軸交于點C，與y軸變于點A，A（0，），C（，0），OA，OC，tanACO，ACO30°，EHOC，EHEC，BBDE，BBDE，四邊形DBBE是平行四邊形，BDBE，BMAC，BMCACO30°，BCM90°，BC，BM2BC3，BM1+3，MFB90°，BFMB，BD+ECBE+E

8、HBH，BHBF，BD+EC，BD+EC的最小值為，故答案為4解：如圖，過點P作PEAD交AD的延長線于E，過點B作BMAE于M在RtABM中，AMB90°，A30°，AB6，BMAB3，四邊形ABCD是平行四邊形，CDAB，PDEA30°，PED90°，PEPD，PB+PDBP+PE，BP+PEBM，BP+PE3，BP+PE的最小值為3，PB+PD的最小值為35解：過點DA作DHBC交BC的延長線于H，取BC的中點M，連接GM，在MC上截取MQ，使得MQ，連接GQ，DGAEEB2，由翻折的性質可知，BEBE2，CGGE，CMMB，GMBE1，BMMC2

9、，MQ，MG2MQMC，GMQGMC，GMQCMG，GQGCCE，四邊形ABCD是菱形，ABCD，ABCD4，DCHABC60°，DHCH，CHCDcos60°2，DHCH2，QHQC+CH+2，QD，2DG+CE2（DG+CE）2（DG+GQ）2DQ，2DG+CE的最小值為故答案為6解：過點C作CFAB于點F，過點D作DHAB于點H，則CD+DHCF，ABC是等邊三角形，AB10，AABC60°，ABAC10CFACsinA10×5，點E為AC中點，ABE30°，DH，CD+BDCD+DHCF，CD+BD5，CD+BD的最小值是5，故答案為：

10、57解：過A作ACx軸于點C，延長AC到點D，使ACCD，過D作DEOA于點E，與x軸交于點F，點A坐標為（，1），ACCD1，OC，tanAOB，AOB30°，DAE60°，EFOF，DEADsin60°，當點B與點F重合時，AB+OBAF+OFDF+EFDE，根據垂線段最短定理知，此時AB+OB為最小值故答案為30°；8解：如圖，過點A作AHBC于T，過點M作MHBC于H四邊形ABCD是菱形，ABC60°，DBCABC30°，MHBC，BHM90°，MHBM，AM+BMAM+MH，ATBC，ATB90°，ATA

11、Bsin60°4，AM+MHAT，AM+MH4，AM+BM4，AM+BM的最小值為4，故答案為49解：如圖，作DHAB于H，CMAB于MBEAC，AEB90°，tanA2，設AEa，BE2a，則有：100a2+4a2，a220，a2或2（舍棄），BE2a4，ABAC，BEAC，CMAB，CMBE4（等腰三角形兩腰上的高相等）DBHABE，BHDBEA，sinDBH，DHBD，CD+BDCD+DH，CD+DHCM，CD+BD4，CD+BD的最小值為4故答案為410解：過點A作直線AD交y軸于點D，使sinOAD，過點C作CEAD，交AD于點E，在RtAOD中，sinOAD，設

12、OD2x，則AD3x，A（25，0），OD2+OA2AD2即（2x）2+（3x）2（5）2解得x2，OD2x4，B（0，1），BD5，在RtACE中，sinOAE，CEAC，BC+ACBC+CE當B，C，E在同一直線上，即BEAD時，BC+AC的值最小，最小值等于垂線段BE的長，此時，BDE是直角三角形，OADDBE，sinDBE，DE，在RtBDE中，BE2BD2DE225，BE，BC+AC的值最小值是，故答案為：11解：如圖，在射線AC的下方作射線AM，使得CAM45°，過點P作PHAM于H，過點B作BTAM于T，交AC于K在RtABC中，C90°，AB10，ABC60

13、°，BCABcos60°5，ACABsin60°5，ATK90°，TAK45°，AKTCKCBK45°，CKBC5，AKACCK55，KTAK，BK5，BTKT+BK，PHA90°，PHPA，2PB+PA2（PB+PA）2（PB+PH），PB+PHBT，PB+PH，PB+PH的最小值為，2PB+PA的最小值為5+512解：四邊形ABCD是矩形，B90°，tanCAB，CAB30°，AC2BC2，在射線AB的下方作MAB30°，過點E作ETAM于T，過點C作CHAM于HETAM，EAT30

14、6;，ETAE，CAH60°，CHA90°，AC2，CHACsin6°2×3，AE+ECCE+ETCH，AE+EC3，AE+EC的最小值為3，故答案為313解：如圖，在ABC外作MABBAC30°過點C作CEAM于點E，交AB于點P，EPAP當CPAM時，PC+APPC+PE的值最小，最小值是CE的長，在RtACE中，CEA60°，AC4CEACsin60°2PC+AP的最小值為2故答案為214解：如圖所示，過P作PDAB于D，直線yx3分別交x軸、y軸于B、A兩點，令x0，則y3；令y0，則x3，A（0，3），B（3，0）

15、，AOBO3，又AOB90°，AOB是等腰直角三角形，BAOABO45°BPD，BDP是等腰直角三角形，PDPB，PC+PB（PC+PB）（PC+PD），當C，P，D在同一直線上，即CDAB時，PC+PD的值最小，最小值等于垂線段CD的長，此時，ACD是等腰直角三角形，又點C（0，1）在y軸上，AC1+34，CDAC2，即PC+PD的最小值為，PC+PB的最小值為4，故答案為：415解：如圖，取一點D（0，1），連接AD，作CNAD于點N，PMAD于點M，在RtAOD中，OA2，OP1AD3PAMDAO，AMPAOD90°APMADO即PMAPPC+APPC+PM

16、當CPAD時，CP+APCP+PM的值最小，最小值為CN的長CNDAOD即CN所以CP+AP的最小值為故答案為16解：連接DF，延長AB到T，使得BTAB，連接DT四邊形ABCD是矩形，BADABC90°，BCAD，tanDBA，ADEDBF，DBA30°，BD2AD，BF2DE，2，DBFADE，2，DF2AE，AF+2AEAF+DF，FBAT，BABT，FAFT，AF+2AEDF+FTDT，DT4，AF+2AE4，AF+2AE的最小值為4，故答案為：417解：如圖，作DHAB于H，CMAB于M，交AO于D運動時間t+CD，ABAC，AOBC，BOOC1，A（0，），C（

17、1，0），ABAC，AOBC，OBOC1，ABAC4，DAHBAO，DHAAOB90°，AHDAOB，DHAD，AD+CDCD+DH，當C，D，H共線且和CM重合時，運動時間最短，BCAOABCM，CM，AM，AD4MD，設MDm，則AD4m，則有：16m2m2，m或（舍棄），AD，D（0，），故答案為（0，）18解：如圖，連接PA，連接BD，過點P作PEAD于E，過點B作BFAD于F四邊形ABCD是菱形，ABBCCDAD，AC60°，ABD，DCB都是等邊三角形，ADDB，ADB60°，PAPB，DADB，PDAB，ADPBDPADB30°，PEAD，

18、PED90°，PEPD，PB+PDPB+PE，BFAD，PB+PEBF，BFABsin60°2，PB+PD2，PB+PD最小值為2故答案為219解：如圖，在ABC中，CAB30°，ACB90°，AC3，作CGABGCACAB30°過點D作DFCG交AC于點E，EFCE所以DE+CEDE+EFDF最小，CAB30°，ACB90°，AC3，AB2D為AB的中點，CDADABDCF60°DFDCcos60°所以DE+CE的最小值為故答案為20解：如圖過點P作AD的垂線交AD延長線于點E，四邊形ABCD是平行四邊形，ABCD，EDPDAB30°，EPDP，要求PB+PD的最小值，即求PB+EP的最小值，當點B、P、E三點共線時，PB+EP