1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 *三、二重積分的換元法三、二重積分的換元法 第二節(jié)一、利用直角坐標(biāo)計算二重積分一、利用直角坐標(biāo)計算二重積分 二、利用極坐標(biāo)計算二重積分二、利用極坐標(biāo)計算二重積分 二重積分的計算法 第十章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Oy)(1yx)(2yxxdc且在D上連續(xù)時, 0),(yxf當(dāng)被積函數(shù)bxaxyxD)()(:21Dyxyxfdd),(yyxfxxd),()()(21baxd由曲頂柱體體積的計算可知, 若D為 X - 型區(qū)域 則O)(1xy)(2xyxbyDax若D為Y - 型區(qū)域dycyxyD)()(:21yxyxfyyd),()()(21dcydDyxyxf

2、dd),(則一、利用直角坐標(biāo)計算二重積分一、利用直角坐標(biāo)計算二重積分目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 當(dāng)被積函數(shù)),(yxf2),(),(),(yxfyxfyxf2),(),(yxfyxf),(1yxf),(2yxf均非負(fù)均非負(fù)DDyxyxfyxyxfdd),(dd),(1在D上變號變號時,因此上面討論的累次積分法仍然有效 .由于Dyxyxfdd),(2目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xyOxyDO說明說明: (1) 若積分區(qū)域既是 X - 型區(qū)域又是Y - 型區(qū)域 , Dyxyxfdd),(為計算方便,可選擇積分序選擇積分序, 必要時還可以交換積分序交換積分序.)(2xyba)(1yx)(2yxd

3、c則有x)(1xyyyyxfxxd),()()(21baxdxyxfyyd),()()(21dcyd(2) 若積分域較復(fù)雜,可將它分成若干2D1D3DX - 型域或Y - 型域 , 321DDDD則 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 121221d y例例1. 計算,dDyxI其中D 是直線 y1, x2, 及yx 所圍的閉區(qū)域. 解法解法1. 將D看作X - 型區(qū)域, 則:DI21d xyyx d21d x2121321dxxx891221xyx解法解法2. 將D看作Y - 型區(qū)域, 則:DIxyx d21d yyyx222121321d2yyy891xy2xy 121 x2 xy21 yxy

4、xyxyO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 計算,dDyx其中D 是拋物線xy 2所圍成的閉區(qū)域. 解解: 為計算簡便, 先對 x 后對 y 積分,:Dxyx dDyxd21dy212221d2yyxyy2152d)2(21yyyy12612344216234yyyy845Dxy22 xy214Oyxy22yxy21y2y2y2 xy及直線則 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3. 計算,ddsinDyxxx其中D 是直線 ,0,yxy所圍成的閉區(qū)域.OxyDxxy 解解: 由被積函數(shù)可知,因此取D 為X - 型域 :00:xxyDDyxxxddsinxy0d0dsinxx0cosx20

5、dsinxxxx先對 x 積分不行, 說明說明: 有些二次積分為了積分方便, 還需交換積分順序.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2例例4. 交換下列積分順序22802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI解解: 積分域由兩部分組成:,200:2211xxyD822 yx2D22yxO222280:22xxyD21DDD將:D視為Y - 型區(qū)域 , 則282yxy20 yDyxyxfIdd),(282d),(yyxyxf20dy1D221xy 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5. 計算,dd)1ln(2yxyyxID其中D 由,42xy1,3xxy所圍成.Oyx124xyxy

6、32D1D1x解解: 令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如圖所示)顯然,1上在D),(),(yxfyxf,2上在D),(),(yxfyxfyxyyxIDdd)1ln(120yxyyxDdd)1ln(224目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、利用極坐標(biāo)計算二重積分二、利用極坐標(biāo)計算二重積分Oxkkkrrkkkkkkrrsin,cos對應(yīng)有在極坐標(biāo)系下, 用同心圓 r =常數(shù)則除包含邊界點的小區(qū)域外,小區(qū)域的面積kkkkkkrrrr)(21),2, 1(nkk在k),(kkrkkkkrrkkkr221內(nèi)取點kkkrr221)(及射線 =常數(shù), 分劃區(qū)域D 為kkrkrkrkO目錄 上頁 下

7、頁 返回 結(jié)束 kkkkkkknkrrrrf)sin,cos(lim10kknkkf),(lim10Dyxfd),(ddrr即Drrf)sin,cos(drrddrdO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )(rDOxD)(1r)(2rOx)()(21d)sin,cos(rrrrf設(shè),)()(:21rD則Drrrrfdd)sin,cos(d特別特別, 對20)(0:rDDrrrrfdd)sin,cos()(0d)sin,cos(rrrrf20d)(1r)(2rOxD目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 此時若 f 1 則可求得D 的面積d)(21202Dd思考思考: 下列各圖中域 D 分別與 x , y 軸相

8、切于原點,試答答: ;0) 1 (問 的變化范圍是什么?(1)(2)22)2()(rDyxO)(rDyxO)(rDOx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6. 計算,dde22Dyxyx其中.:222ayxD解解: 在極坐標(biāo)系下,200:arD原式Drrarde02ar02e212)e1(2a2ex的原函數(shù)不是初等函數(shù) , 故本題無法用直角2erddrr20d由于故坐標(biāo)計算.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注注:利用上題可得一個在概率論與數(shù)理統(tǒng)計及工程上非常有用的反常積分公式2de02xx事實上, 222Rddeyxyxyxyxdede2220de42xxxayxxadelim2222故式成立 .

9、)e1 (lim2aa222Rddeyxyx又目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例7. 求球體22224azyx被圓柱面xayx222)0( a所截得的(含在柱面內(nèi)的)立體的體積. 解解: 設(shè)由對稱性可知20,cos20:arDdd4422rrraVD20d4cos2022d4arrrad)sin1 (3322033a)322(3323axya2DOcos2rxyza2O目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 *三、二重積分換元法三、二重積分換元法 baxxfd)() )(txtttfd)()(定積分換元法),(),(:vuyyvuxxTDDvu),(滿足上在Dvuyvux),(, ),() 1 (一階偏

10、導(dǎo)數(shù)連續(xù);雅可比行列式上在D)2(;0),(),(),(vuyxvuJ(3) 變換DDT:則Dyxyxfdd),(Dvuyvuxf),(),(定理定理:,),(上連續(xù)在閉域設(shè)Dyxf變換:是一一對應(yīng)的 ,vuvuJdd),(OvuDTyxDO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 yxDOuOvD證證: 根據(jù)定理條件可知變換 T 可逆. 用平行于坐標(biāo)軸的 ,坐標(biāo)面上在vOu 直線分割區(qū)域 ,D任取其中一個小矩T形, 其頂點為),(, ),(21vhuMvuMuhu 1M4M3M2Mvkv通過變換T, 在 xOy 面上得到一個四邊形, 其對應(yīng)頂點為)4, 3, 2, 1(),(iyxMiii1M4M3M2

11、M,22kh 令則12xx ),(),(vuxvhux).,(, ),(43kvuMkvhuM)(),(ohvuux目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 14xx ),(),(vuxkvux)(),(okvuvx12yy )(),(ohvuuy同理得14yy )(),(okvuvy當(dāng)h, k 充分小時,曲邊四邊形 M1M2M3M4 近似于平行四 邊形, 故其面積近似為4121MMMM14141212yyxxyyxxkhkhvyvxuyuxhkvyuyvxuxhkvuJ),(目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 vuvuJdd),(d因此面積元素的關(guān)系為從而得二重積分的換元公式: Dyxyxfdd),(Dvuy

12、vuxf),(),(vuvuJdd),(例如例如, 直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)時, sin,cosryrx),(),(ryxJcossinrsincosrrDyxyxfdd),(Drrrrfdd)sin,cos(目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例8. 計算其中D 是 x 軸 y 軸和直線2 yx所圍成的閉域. 解解: 令,xyvxyu則2,2uvyuvx),(),(vuyxJyxDxyxyddevuvuDdde2120d21vvvd)ee(211201ee2121212121vvvuudexyxye,ddyx)(DD D2 yxDxyOD2vvu vuuvO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 uvOybx

13、 2yax 2DOyxxqy 2xpy 2,22yxvxyu例例9. 計算由,22xqyxpyybxyax22,)0,0(baqp所圍成的閉區(qū)域 D 的面積 S .解解: 令Dpqab則bvaqupD :D),(),(vuyxJ),(),(1yxvu31DyxSddbaqpvudd31vuJDdd)(31abpq目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例10. 試計算橢球體1222222czbyax解解: yxzVDdd2yxcDbyaxdd122222由對稱性, 1:2222byaxD取令,sin,cosrbyrax則D 的原象為20,1:rD),(),(ryxJcossinsincosrbbraa

14、DcV2rrrcbad1d210220cba34rba21rddrrba的體積V.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)(1) 二重積分化為二次積分的方法直角坐標(biāo)系情形直角坐標(biāo)系情形 : 若積分區(qū)域為)()(,),(21xyyxybxayxD則)()(21d),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf 若積分區(qū)域為)()(,),(21yxxyxdycyxD則)()(21d),(dd),(yxyxdcDxyxfyyxf)(1xyy )(2xyy xybaDOxy)(1yxx Ddc)(2yxx O目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )()(,),(21rrDDDrrfyxf)sin,cos(

15、d),(則)()(21d)sin,cos(drrrrf(2) 一般換元公式),(),(vuyyvuxxDyx),(,),(Dvu0),(),(vuyxJ且則DDvuvuyvuxfyxfdd ),(),(d),(J極坐標(biāo)系情形極坐標(biāo)系情形: 若積分區(qū)域為ddrr在變換下D)(1r)(2rOx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (3) 計算步驟及注意事項計算步驟及注意事項 畫出積分域 選擇坐標(biāo)系 確定積分序 寫出積分限 計算要簡便域邊界應(yīng)盡量多為坐標(biāo)線被積函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)變量易分離積分域分塊要少累次積分好算為妙圖示法不等式( 先積一條線, 后掃積分域 )充分利用對稱性應(yīng)用換元公式目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束

16、 yx1xy 1O思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 設(shè), 1 ,0)(Cxf且,d)(10Axxf求.d)()(d110yyfxfxIx提示提示: 交換積分順序后, x , y互換 yxIxyfxfyd)()(010d yyyfxfxd)()(010d xI2yyfxfxxd)()(d110yyfxfxd)()(010d x10d xyyfxfd)()(101010d)(d)(yyfxxf2A目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 cosar xaO2. 交換積分順序ararccos)0(d),(dcos022arrfIa提示提示: 積分域如圖rrar0dararccosararccosId),(rf目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè)P152 1 (2), (4); 2 (3), (4); 5; 6 (2), (4); 11(2), (4); 13 (3), (4); 14 (2), (3); 15 (1), (4); *19(1); *20 (2) 第三節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 axy2解：解：原式ay0daay2d22xaxy22yaax備用題備用題1. 給定改變積分的次序.)