1、2.3等腰三角形的等腰三角形的 性質定理性質定理將一把等腰三角尺和一個重錘如將一把等腰三角尺和一個重錘如圖放置，就能檢查一根講臺邊沿能圖放置，就能檢查一根講臺邊沿能否程度，他知道為什么嗎？否程度，他知道為什么嗎？ 1 1有有_的三角形的三角形 叫做等腰三角形叫做等腰三角形A AC CB B腰腰腰腰底邊底邊頂角頂角底角底角底角底角 (1) 3從圖形的對稱性來說，從圖形的對稱性來說， 等腰三角形是等腰三角形是_圖形圖形, 它的對稱軸是它的對稱軸是 _ 頂角平分線所在的直線。頂角平分線所在的直線。 (2) 底邊和腰相等的等腰三角形底邊和腰相等的等腰三角形 是是_三角形？三角形？等邊等邊兩邊相等兩邊相

2、等軸對稱軸對稱 知知:在在ABC中，中，AB=AC求證求證: C = BACBD“等腰三角形的兩個底角相等等腰三角形的兩個底角相等 ACB 知：如圖，知：如圖，ABC中，中， AB=AC求證：求證：C=BD證明：作底邊證明：作底邊BC上的中線上的中線AD AB=AC (知 AD=AD 公共邊 BD=CD (中線的定義ABD ACD B=C 全等三角形 對應角相等(SSS)在ABD 和 ACD中等腰三角形的兩個底角相等等腰三角形的兩個底角相等 等腰三角形的性質定理等腰三角形的性質定理1 等腰三角形的兩個底角相等等腰三角形的兩個底角相等.也可以說成也可以說成 “在同一個三角形中在同一個三角形中,等

3、邊對等角等邊對等角用符號言語可表示為：用符號言語可表示為：在在ABC中中 AB=AC B= CACB運用等腰三角形性質定理可以進展運用等腰三角形性質定理可以進展簡單的計算、推理、判別、簡單的計算、推理、判別、.練習：判別正誤口答(1) 如圖，在ABC中， BC. ABBC，CAB AC. (2) 如圖，在ABC中， ACBC， ADCBEC.AB.CABDE“等邊對等角只能在同一個三角形中用 ACB 知：如圖，知：如圖，ABC中，中， AB=AC求證：求證：C=BD證明：作底邊證明：作底邊BC上的中線上的中線AD AB=AC (知 AD=AD 公共邊 BD=CD (中線的定義ABD ACD B

4、=C 全等三角形 對應角相等(SSS)在ABD 和 ACD中等腰三角形的兩個底角相等等腰三角形的兩個底角相等ABCDABCDABCDABCD頂角平分線頂角平分線底邊上的高底邊上的高底邊上的中線底邊上的中線等腰三角形的性質定理2 等腰三角形的頂角平分線,底邊上的中線和高線相互重合(簡稱等腰三角形三線合一).ABCDABCDABCDABCD返返 回回ADCB12AB=AC，1=2_ADBC，BD=CDAB=AC，ADBC_1=2 ，BD=CDAB=AC，BD=CD_1=2 ， ADBC在在ABC中中例例1 如圖如圖,在在ABC中中,AB=AC, A =50, 求求 B , C的度數的度數. B C

5、 A解解: AB=AC, B= C(等腰三角形的兩個底角相等) A+ B+ C=180, A=50 1802ABC 18050652BA底角底角頂角頂角底角底角頂角頂角等腰三角形的底角可以是直等腰三角形的底角可以是直角或鈍角嗎？為什么？角或鈍角嗎？為什么？不能，由于等腰三角形兩底角相等，假設底角是直角或鈍角，不能，由于等腰三角形兩底角相等，假設底角是直角或鈍角，那么三角形的內角和大于那么三角形的內角和大于180. 2 2等腰三角形的一個底角是等腰三角形的一個底角是7070， 那么其頂角是那么其頂角是_ _ 3假設等腰三角形的一個內角等于假設等腰三角形的一個內角等于70 那么它的底角度數那么它的

6、底角度數_.1 如圖，在如圖，在ABC中，中，AB=AC， 外角外角 ACD=100，那么，那么B=_ ABCD100 4 假設等腰三角形中一個角是另一個角的兩倍，假設等腰三角形中一個角是另一個角的兩倍，那么它的底角是那么它的底角是_度度小結：當等腰三角形中遇小結：當等腰三角形中遇“角的計算問題，角的計算問題，需對各種能夠的情況分類討論需對各種能夠的情況分類討論804070或5572或 45ACB 推論推論 等邊三角形的各角都相等，等邊三角形的各角都相等， 并且每一個角都等于并且每一個角都等于60 解：ABC是等邊三角形 AB=BC=ACC=A=B同一個三角形中等邊對等角 推論也可以和定理、定

7、義、性質、根身手實 一 樣作為推理、論證的根據 A=B=C=1803=60如何求等邊三角形如何求等邊三角形ABC的內角的內角 度數？度數？A+B+C=180知知AEF是等邊三角形，是等邊三角形， 點點B, E，F,C在同不斷線上，在同不斷線上， 且且BE=EF=FC， 求求BAC的度數。的度數。ABCEFABCDE“ 等腰三角形等腰三角形 兩腰上的中線兩腰上的中線 _“ 等腰三角形等腰三角形 兩腰上的高線兩腰上的高線 _ “ 等腰三角形等腰三角形 兩底角的平分線兩底角的平分線 相等嗎？相等嗎？ 相等 相等知：知： 如圖如圖 ，在，在ABC中，中，ABAC， BD, CE分別是分別是ABC ,A

8、CB的平分線。的平分線。求證：求證： BD=CEABCDE例例2 求證求證“等腰三角形兩底角的平分線相等等腰三角形兩底角的平分線相等 等腰三角形兩底角的平分線相等等腰三角形兩底角的平分線相等等腰三角形等腰三角形的主要特征的主要特征從角看從角看-從邊看從邊看-從從“三線看三線看-從整體看從整體看-分類思想分類思想 -在在 處理等腰三角形問題處理等腰三角形問題中中 有著重要有著重要 的作用的作用 兩邊相等兩邊相等兩個底角相等兩個底角相等兩腰上的中線相等兩腰上的中線相等兩腰上的高線相等兩腰上的高線相等 兩底角平分線相等兩底角平分線相等是軸對稱圖形是軸對稱圖形1 1、鈍角三角形不能夠是等腰三角形、鈍角

9、三角形不能夠是等腰三角形 。2 2、等腰三角形的底角能夠是銳角或者直角、等腰三角形的底角能夠是銳角或者直角、 鈍角都可以。鈍角都可以。3 3、等腰三角形的頂角平分線一定垂直底邊。、等腰三角形的頂角平分線一定垂直底邊。4 4、等腰三角形底邊上的中線一定垂直于、等腰三角形底邊上的中線一定垂直于 底邊。底邊。5 5、等腰三角形的角平分線、高線和中線的、等腰三角形的角平分線、高線和中線的 總數一共能畫出總數一共能畫出9 9條。條。判別：XXXAEDCB例3、 知(如圖，AD平分BAC， ADB=ADC，求證: ADBC證明:如圖，延伸AD，交BC于點E，AD 平分平分BAC， BAD=CAD角平分線的

10、意義角平分線的意義而AD=AD 公共邊ADB=ADC知知ABD ACDASAAB=AC全等三角形的對應邊相等全等三角形的對應邊相等ABCS是全腰三角形全腰三角形的定義是全腰三角形全腰三角形的定義AE是全腰三角形是全腰三角形ABC頂角的平分線。頂角的平分線。 AEBC 等腰三角形三線合一等腰三角形三線合一即ADBC 例例2 知線段知線段a, h(如圖如圖),用直尺和圓規作等腰三用直尺和圓規作等腰三角形角形ABC,使底邊使底邊BC=a, BC邊上的高為邊上的高為h.DBCADBCAah1.,BCa作線段2.,BClBCD作線段垂直平分線交于點3.,lDAhABAC在直線 上截取連接，ABC就是所求

11、作的等腰三角形。幫他歸納從邊看從邊看: :從角看從角看: :從重要線段看：從重要線段看：從對稱性看：從對稱性看： 等腰三角形是軸對稱圖形等腰三角形是軸對稱圖形兩腰相等兩腰相等兩底角相等兩底角相等等腰三角形的頂角的角平分線、等腰三角形的頂角的角平分線、底邊上的中線和高線重合。底邊上的中線和高線重合。等腰三角形的性質等腰三角形的性質文字表達文字表達幾何言語幾何言語等腰三角形的兩等腰三角形的兩底角相等簡稱底角相等簡稱等邊對等角等邊對等角AB=ACB=C1=2 ADBC，BD=CDACBD12ABC在在ABC中，中，AB=AC2 .2 .等腰三角形的等腰三角形的頂角平分線、底頂角平分線、底邊上的中線、

12、底邊上的中線、底邊上的高相互重邊上的高相互重合簡稱合簡稱“三線合一三線合一知一個可以推出另外兩個知一個可以推出另外兩個課堂小結課堂小結等腰三角形等腰三角形概念概念性質性質等邊對等角等邊對等角三線合一三線合一有兩邊相等的三角形有兩邊相等的三角形腰、底、頂角、底角腰、底、頂角、底角軸對稱性軸對稱性1 1、等腰三角形的兩個底角相等、等腰三角形的兩個底角相等. .或或 “在同一個三角形中在同一個三角形中, ,等邊對等角等邊對等角簡稱簡稱“等腰三角形三線合一等腰三角形三線合一2 2、等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線 和底邊上的高相互重合和底邊上的高相互重合. .

13、歸納等腰三角形的性質如下：歸納等腰三角形的性質如下：ADBC等腰三角形一條腰上的高與另一條腰的夾角是50，試求出它頂角的度數挑戰本人：挑戰本人：提示：等腰三角形遇“高線問題中，要思索高線在三角形內部和外部兩種情形。5050頂角頂角140頂角是頂角是40 1知等腰三角形ABC中， A=70求 B 的度數ABCF 2知知ABC中，中，AB=AC,且且BC=BF=AF 求求A 的度數的度數13解： BF=AF BF=BC 23+ 2+C =180 AB=AC 1 = A 2= C ABC= C+2+2=180設A=那么1= 2=1+ A=2 3=2 -= A=36 C=ABC=2 等邊對等角等邊對等

14、角ABCABCABCFF(1) FA=FB BC=BF (2) FA=FB CB=CF(3) FA=FB FB=FCF結論：A=36A= 223223從等腰三角形紙片的從等腰三角形紙片的 底角底角 頂點出發，將其剪成兩個頂點出發，將其剪成兩個等腰三角形，求原等腰三角形紙片的頂角度數等腰三角形，求原等腰三角形紙片的頂角度數5=1807=180頂角頂角71800提示：等腰三角形，遇到邊提示：等腰三角形，遇到邊不確定時要分類討論不確定時要分類討論問題延伸問題延伸2：從等腰三角形紙片的頂點出發，：從等腰三角形紙片的頂點出發， 將其剪成兩個等腰三角形，將其剪成兩個等腰三角形， 求出此等腰三角形紙片的頂角度數求出此等腰三角形紙片的頂